解三角形的实际应用举例高度、角度问题课件.ppt

1、【思考【思考】【点拨【点拨】测量高度问题测量高度问题【名师指津【名师指津】解决测量高度问题的步骤：解决测量高度问题的步骤：【特别提醒【特别提醒】在解题中，要综合运用立体几何与平面几何在解题中，要综合运用立体几何与平面几何知识，注意方程思想的运用知识，注意方程思想的运用.【例【例1 1】如图，测量河对岸的塔高】如图，测量河对岸的塔高ABAB时，时，可以选与塔底可以选与塔底B B在同一水平面内的两个在同一水平面内的两个测点测点C C和和D.D.现测得现测得BCD=BCD=，BDC=,BDC=,CD=s,CD=s,并在点并在点C C测得塔顶测得塔顶A A的仰角为的仰角为，求塔高求塔高AB.AB.【审

2、题指导【审题指导】先利用三角形内角和定理求出先利用三角形内角和定理求出CBDCBD的度数，的度数，再利用正弦定理求出再利用正弦定理求出BCBC的长，然后在的长，然后在RtRtABCABC中求出中求出ABAB，即，即塔高塔高.【规范解答【规范解答】在在BCDBCD中，中，BCD=BCD=，BDC=BDC=，CBD=180CBD=180-(+),-(+),在在ABCABC中，由于中，由于ABC=90ABC=90，BCsBCs.sinsin 180sinsinsinBCs.sin()，即ABtan,BCsintanABBC tans.sin()测量角度问题测量角度问题【名师指津【名师指津】解决测量角

3、度问题的注意点：解决测量角度问题的注意点：(1)(1)注意作图的准确性，通过积累、归纳，学会根据题目已知的注意作图的准确性，通过积累、归纳，学会根据题目已知的方向角、方位角、仰角、俯角等已知量顺利地作出图形方向角、方位角、仰角、俯角等已知量顺利地作出图形.(2)(2)注意数学思想方法的应用：注意数学思想方法的应用：化归与转化思想，即将实际问题抽象概括，转化为解三角形化归与转化思想，即将实际问题抽象概括，转化为解三角形的问题；的问题；方程思想，即在三角形中应用正、余弦定理列方程（组）方程思想，即在三角形中应用正、余弦定理列方程（组）求解；求解；函数思想，题目中涉及最值问题的往往需要考虑构建函数函

4、数思想，题目中涉及最值问题的往往需要考虑构建函数解析式求最值解析式求最值.【特别提醒【特别提醒】当一些题目的图形是空间立体图形时，除要作当一些题目的图形是空间立体图形时，除要作好图外，还要发挥空间想象能力好图外，还要发挥空间想象能力.【例【例2 2】某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇】某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在在A A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为处获悉后，立即测出该渔船在方位角为4545，距离，距离A A为为1010海里海里的的C C处，并测得渔船正沿方位角为处，并测得渔船正沿方位角为105105的方向，以的方向，以9 9海里海里/小时的小时的速度向

5、小岛靠拢，我海军舰艇立即以速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以2121海里海里/小时的速度前去营小时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间.【审题指导【审题指导】解答本题的关键是设出相遇点，根据题意画出图形，解答本题的关键是设出相遇点，根据题意画出图形，标出有关数据并恰当选择有关定理解三角形标出有关数据并恰当选择有关定理解三角形.【规范解答【规范解答】设舰艇与渔船在设舰艇与渔船在B B点相遇点相遇.如图，则如图，则AC=10AC=10海里，海里，ACB=120ACB=120.设所需时间为设所需时间为t t小时，小时，则则AB=21tAB=21t海里，海

6、里，CB=9tCB=9t海里海里,在在ABCABC中，根据余弦定理，得中，根据余弦定理，得ABAB2 2=AC=AC2 2+BCBC2 2-2AC-2ACBCcos120BCcos120，即即(21t)(21t)2 2=10=102 2+81t+81t2 2+2+210109t9t整理得，整理得，36t36t2 2-9t-10=0-9t-10=0，解得解得 （舍去）（舍去）.12，25tt312 或所以舰艇需要所以舰艇需要 小时靠近渔船小时靠近渔船.此时此时AB=14AB=14海里，海里，CB=6CB=6海里，海里，由正弦定理，得由正弦定理，得CAB21.8CAB21.8，21.821.8+4

7、5+45=66.8=66.8,舰艇的航向是北偏东约舰艇的航向是北偏东约66.866.8.23CBABsinCABsin120，363 32sinCAB1414，【典例】（【典例】（1212分）某兴趣小组测分）某兴趣小组测量电视塔量电视塔AEAE的高度的高度H(H(单位：单位：m m），），如示意图，垂直放置的标杆如示意图，垂直放置的标杆BCBC的的高度高度h=4 mh=4 m，仰角，仰角ABE=ABE=，ADE=.ADE=.该小组已测得一组该小组已测得一组，的值，算出了的值，算出了tantan=1.24=1.24，tantan=1.20=1.20，请据此算出，请据此算出H H的值的值.【审题指

8、导【审题指导】根据题中的直角三角形，利用正切三角函数的定根据题中的直角三角形，利用正切三角函数的定义求解即可义求解即可.【规范解答【规范解答】2 2分分同理同理:4 4分分AD-AB=DB,AD-AB=DB,故得故得 6 6分分解得解得:1010分分因此，算出的电视塔的高度因此，算出的电视塔的高度H H是是124 m.124 m.1212分分HHtanAD,ADtanHhAB,BD.tantanHHh,tantantanhtan4 1.24H124.tantan1.24 1.20【误区警示【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练【即时训练】

9、已知已知D D、C C、B B三点在地面三点在地面的同一直线上，的同一直线上，DC=aDC=a，从，从C C、D D两点测两点测得得A A点的仰角分别为点的仰角分别为、（），），则则A A点离地面的高点离地面的高ABAB等于（等于（）(A)(B)(A)(B)(C)(D)(C)(D)asinsinsin()asinsincos()acoscossin()acoscoscos()【解析【解析】选选A.A.在在ADCADC中，中，DAC=-,ADCDAC=-,ADC=，DC=a,DC=a,在在RtRtABCABC中中,DCAC,sinDACsinADCDCsinADCasinAC.sinDACsin

10、asinsinABACsin.sin()1.1.从从A A处望处望B B处的仰角为处的仰角为，从，从B B处望处望A A处的俯角为处的俯角为，则，则，的关系是（的关系是（）(A)(B)(A)(B)=(C)+(C)+=90=90 (D)+=180 (D)+=180【解析【解析】选选B.B.作出示意图知作出示意图知=.=.2.2.如图所示，为测一树的高度，如图所示，为测一树的高度，在地面上选取在地面上选取A A，B B两点，从两点，从A A、B B两点分别测得树尖的仰角为两点分别测得树尖的仰角为3030，4545,且且A A，B B两点间的距两点间的距离为离为60 m60 m，则树的高度为，则树的

11、高度为()()(A)(B)(A)(B)(C)(D)(C)(D)(3030 3)m(30 15 3)m(1530 3)m(15 15 3)m【解析【解析】选选A.A.设树的高度为设树的高度为h h，由题意可知，由题意可知 在在ABPABP中，由正弦定理得，中，由正弦定理得，BP2h,BPAB,sinAsinAPB2h60,h3030 3 m.sin30sin 45303.3.如图所示，海平面上的甲船如图所示，海平面上的甲船位于中心位于中心O O的南偏西的南偏西3030，与，与O O相距相距1010海里的海里的C C处，现甲船以处，现甲船以3030海里海里/小时的速度沿直线小时的速度沿直线CBCB

12、去营救位于中心去营救位于中心O O正东方向正东方向2020海里的海里的B B处的乙船，甲船需要处的乙船，甲船需要_小时到达小时到达B B处处.【解析【解析】在在OBCOBC中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得CBCB2 2=CO=CO2 2+OB+OB2 2-2CO-2COOBcos120OBcos120=100+400+200=700=100+400+200=700，CB=(CB=(海里海里),),因此甲船到达因此甲船到达B B处需要的时间为处需要的时间为 (小时小时).).答案：答案：10 710 77303734.4.一艘轮船由海平面上的一艘轮船由海平面上的A A地出发向南偏西地出发向南

13、偏西4040的方向行驶的方向行驶4040海海里到达里到达B B地，再由地，再由B B地向北偏西地向北偏西2020的方向行驶的方向行驶4040海里到达海里到达C C地，地，则则A A、C C两地相距两地相距_海里海里.【解析【解析】画出示意图可知画出示意图可知ABCABC为等边三角形，所以为等边三角形，所以A A、C C两地相两地相距距4040海里海里.答案：答案：40405.5.如图所示，港口如图所示，港口A A北偏东北偏东3030方向的点方向的点C C处有一观测站，处有一观测站，港口正东方向的港口正东方向的B B处有一轮船，测得处有一轮船，测得BCBC为为3131海里海里.该轮船从该轮船从B

14、 B处沿正西方向航行处沿正西方向航行2020海里后到达海里后到达D D处，测得处，测得CDCD为为2121海里海里.问此时轮船离港口问此时轮船离港口A A还有多少海里还有多少海里?【解析【解析】由已知得由已知得CAD=60CAD=60，在，在BCDBCD中，由余弦定理中，由余弦定理得得故故从而从而sinACDsinACD=sin(BDC-60=sin(BDC-60)=sinBDCcos60=sinBDCcos60-cosBDCsin60-cosBDCsin60=在在ACDACD中，由正弦定理得中，由正弦定理得于是于是 (海里海里)，即此时轮船离港口即此时轮船离港口A A还有还有1515海里海里.222BDCDBC1cosBDC,2 BD CD7 24 3sinBDC1 cosBDC,75 3.14ADCDsinACDsin60，CD sinACDAD15sin60