人教A版高中数学必修5同步数列7课件.ppt

1、第2课时等比数列的性质1.1.等比数列的项之间的关系等比数列的项之间的关系等比数列等比数列aan n,m,n,p,qN,m,n,p,qN*两项关系两项关系a an n=a=am mq qn-mn-m三项关系三项关系若若m+n=2p,m+n=2p,则则a an na am m=四项关系四项关系若若m+n=p+q,m+n=p+q,则则a am ma an n=a=ap pa aq q2pa【思考】【思考】等比数列两项之间的关系等比数列两项之间的关系a an n=a=am mq qn-mn-m中中,当当nmnm时成立吗时成立吗?提示提示:成立成立,如如a a2 2=a=a5 5q q2-52-5=a

2、=a5 5q q-3-3=53a.q2.2.等比数列的单调性等比数列的单调性递增数列递增数列a a1 100q1q1a a1 1000q10q000q10q1a a1 101q1【思考】【思考】当当q=1,q0q=1,q0时时,分别是什么数列分别是什么数列?提示提示:当当q=1q=1时是常数列时是常数列;当当q0q1q1时时,一定是递增数列一定是递增数列.()(3)(3)等比数列等比数列aan n 中中,a,a1 1,a,a4 4,a,a7 7,a,a1010,仍然是等比数仍然是等比数列列.()28a.人教A A版高中数学必修5 5同步数列7 7人教A A版高中数学必修5 5同步数列7 7提示

3、提示:(1)(1).a.a2 2a a6 6=(2)(2).当数列的公比当数列的公比q1q1时时,若若a a1 10,0,则是递减数列则是递减数列.(3).a(3).a1 1,a,a4 4,a,a7 7,a,a1010,是以是以a a1 1为首项为首项,q,q3 3为公比的等比为公比的等比数列数列.24a.人教A A版高中数学必修5 5同步数列7 7人教A A版高中数学必修5 5同步数列7 72.2.等比数列等比数列aan n 的公比的公比q=-q=-,a,a1 1=,则数列则数列aan n 是是()A.A.递增数列递增数列B.B.递减数列递减数列C.C.常数列常数列D.D.摆动数列摆动数列【

4、解析】【解析】选选D.D.由于公比由于公比q=-0,q=-0,所以数列所以数列aan n 是摆动是摆动数列数列.12212人教A A版高中数学必修5 5同步数列7 7人教A A版高中数学必修5 5同步数列7 73.3.在等比数列在等比数列aan n 中中,已知已知a a7 7aa1212=10,=10,则则a a8 8aa9 9aa1010aa1111=_=_.【解析】【解析】因为因为a a7 7a a1212=a=a8 8a a1111=a=a9 9a a1010=10,=10,所以所以a a8 8a a9 9a a1010a a1111=10=102 2=100.=100.答案答案:100

5、100人教A A版高中数学必修5 5同步数列7 7人教A A版高中数学必修5 5同步数列7 7类型一等比数列性质的应用类型一等比数列性质的应用 【典例】【典例】1.1.若数列若数列aan n 是递增的等比数列是递增的等比数列,a,a2 2a a5 5=20,=20,a a1 1+a+a6 6=9,=9,则则a a1111=()42516A.5B.C.D.2545人教A A版高中数学必修5 5同步数列7 7人教A A版高中数学必修5 5同步数列7 72.(20192.(2019莆田高一检测莆田高一检测)已知各项都为正数的等比数已知各项都为正数的等比数列列aan n 满足满足:a:a3 3a a7

6、 7=2=2 ,a,a3 3=1,=1,则则a a2 2=()24a12A.B.C.2D.222人教A A版高中数学必修5 5同步数列7 7人教A A版高中数学必修5 5同步数列7 7【思维【思维引】引】1.1.利用利用a a2 2a a5 5=a=a1 1a a6 6转化求值转化求值.2.2.利用利用a a3 3a a7 7=求出求出q,q,进而求出进而求出a a2 2.25a人教A A版高中数学必修5 5同步数列7 7人教A A版高中数学必修5 5同步数列7 7【解析】【解析】1.1.选选C.C.因为数列因为数列aan n 是递增的等比数列是递增的等比数列,a a2 2a a5 5=20,

7、a=20,a1 1+a+a6 6=9,=9,所以所以a a1 1a a6 6=a=a2 2a a5 5=20,=20,所以所以a a1 1,a,a6 6是一元二次方程是一元二次方程x x2 2-9x+20=0-9x+20=0的两个根的两个根,且且a a1 1aa6 6,解得解得a a1 1=4,a=4,a6 6=5,=5,所以所以q q5 5=a a1111=a=a1 1q q1010=4=4 54，2525.164人教A A版高中数学必修5 5同步数列7 7人教A A版高中数学必修5 5同步数列7 72.2.选选B.B.各项都为正数的等比数列各项都为正数的等比数列aan n 满足满足:a a

8、3 3a a7 7=2 ,=2 ,所以所以 =2 ,=2 ,所以所以q=,q=,因为因为a a3 3=1,=1,所以所以a a2 2=24a25a24a212.22【内化【内化悟】悟】考查数列项的哪个要素的关系来确定所用的性质考查数列项的哪个要素的关系来确定所用的性质?提示提示:需要考查数列项的下标关系需要考查数列项的下标关系,即项数的关系即项数的关系.【类题【类题通】通】1.1.解答等比数列问题的基本方法解答等比数列问题的基本方法基本量法基本量法(1)(1)基本步骤基本步骤:运用方程思想列出基本量运用方程思想列出基本量a a1 1和和q q的方程组的方程组,解出解出a a1 1和和q,q,然

9、后利用通项公式求解然后利用通项公式求解.(2)(2)优缺点优缺点:适用面广适用面广,入手简单入手简单,思路清晰思路清晰,但有时运算但有时运算稍繁稍繁.2.2.利用等比数列的性质解题利用等比数列的性质解题(1)(1)基本思路基本思路:充分发挥项的充分发挥项的“下标下标”的指导作用的指导作用,分析分析等比数列项与项之间的关系等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题选择恰当的性质解题.(2)(2)优缺点优缺点:简便快捷简便快捷,但是适用面窄但是适用面窄,有一定的思维含有一定的思维含量量.【习练【习练破】破】在等比数列在等比数列aan n 中中,a,a2 2a a3 3a a4 4=8,a=8,a

10、7 7=32,=32,则则a a2 2=()A.-1A.-1B.1B.1C.C.1 1D.2D.2【解析】【解析】选选C.C.等比数列等比数列aan n 中中,a,a2 2a a3 3a a4 4=8,=8,则则 =8,=8,则则a a3 3=2,=2,因为因为a a7 7=32,=32,所以所以q q4 4=16,=16,解得解得q=q=2,2,所以所以a a2 2=1.1.33a73aa【加练【加练固】固】等比数列等比数列aan n 中中,a,a4 4,a,a8 8是关于是关于x x的方程的方程x x2 2+10 x+4=0+10 x+4=0的两的两个实根个实根,则则a a2 2a a6

11、6a a1010=()A.8A.8B.-8B.-8C.4C.4D.8D.8或或-8-8【解析】【解析】选选B.B.根据题意根据题意,等比数列等比数列aan n 中中,有有a a4 4a a8 8=a=a2 2a a1010=a a4 4,a,a8 8是关于是关于x x的方程的方程x x2 2+10 x+4=0+10 x+4=0的两个实根的两个实根,则则a a4 4a a8 8=4,a=4,a4 4+a+a8 8=-10,=-10,则则a a4 40,a0,a8 80,0,则有则有a a6 6=a=a4 4q q2 20,200,200,得得n n lg 2lg 1.30.300.11114.8

12、lg 1.120.05 ，即当即当n5n5时该公司全年投入的研发资金开始超过时该公司全年投入的研发资金开始超过200200万万元元.所以所以20222022年会超过年会超过200200万元万元.【加练【加练固】固】某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m m倍倍,那么该单位此年的月平均增长率是那么该单位此年的月平均增长率是_.【解析】【解析】由题意可知由题意可知,这一年中的每一个月的产值成这一年中的每一个月的产值成等比数列等比数列,因为因为 =m,=m,所以月平均增长率为所以月平均增长率为 -1.-1.答案答案:-1 -1121aa11m11m类型

13、三等比数列与等差数列的综合应用类型三等比数列与等差数列的综合应用角度角度1 1灵活设项解题灵活设项解题【典例】【典例】三个数成等比数列三个数成等比数列,其积为其积为64,64,如果第一个数如果第一个数与第三个数各减去与第三个数各减去1,1,则这三个数成等差数列则这三个数成等差数列,求这三个求这三个数数.【思维【思维引】引】利用等比数列设出前三项利用等比数列设出前三项,表示出等差数表示出等差数列后求未知数列后求未知数.【解析】【解析】因为三个数成等比数列因为三个数成等比数列,设三个数为设三个数为 ,a,aq,a,aq,则则 a aaq=aaq=a3 3=64,=64,所以所以a=4,a=4,所以

14、三个数为所以三个数为 ,4,4q,4,4q,第一个数与第三个数各减去第一个数与第三个数各减去1 1为为 -1,4,4q-1,-1,4,4q-1,则则 -1+4q-1=8,-1+4q-1=8,即即2q2q2 2-5q+2=0,-5q+2=0,解得解得q=2q=2或或 ,所以这三个数为所以这三个数为2,4,82,4,8或或8,4,2.8,4,2.aqaq4q4q4q12【素养【素养探】探】在利用等比数列设项解题过程中在利用等比数列设项解题过程中,常常用到核心素养中常常用到核心素养中的数学运算的数学运算,通过解方程求公比解题通过解方程求公比解题.本例中的条件若改为本例中的条件若改为“其积为其积为51

15、2,512,如果第一个数与第如果第一个数与第三个数各减去三个数各减去2”,2”,试求这三个数试求这三个数.【解析】【解析】设三个数依次为设三个数依次为 ,a,aq,a,aq,因为因为 a aaq=512,aq=512,所以所以a=8.a=8.因为因为 +(aq-2)=2a,+(aq-2)=2a,所以所以2q2q2 2-5q+2=0,-5q+2=0,所以所以q=2q=2或或q=,q=,所以这三个数为所以这三个数为4,8,164,8,16或或16,8,4.16,8,4.aqaqa(2)q12角度角度2 2等差、等比数列性质等差、等比数列性质【典例】【典例】(2019(2019东莞高一检测东莞高一检

16、测)已知已知aan n 是等差数是等差数列列,b,bn n 是正项等比数列是正项等比数列,且且b b1 1=1,b=1,b3 3=b=b2 2+2,b+2,b4 4=a=a3 3+a+a5 5,b b5 5=a=a4 4+2a+2a6 6,则则a a2 0182 018+b+b9 9=世纪金榜导学号世纪金榜导学号()A.2 274A.2 274B.2 074B.2 074C.2 226C.2 226D.2 026D.2 026【思维【思维引】引】分别用等差数列的首项分别用等差数列的首项a a1 1、公差、公差d d、等比、等比数列的公比数列的公比q q表示出已知条件表示出已知条件,求出求出a

17、a1 1,d,q,d,q后求后求a a2 0182 018+b+b9.9.【解析】【解析】选选A.A.设等差数列设等差数列aan n 的公差为的公差为d,d,正项等比数正项等比数列列bbn n 的公比为的公比为q0,q0,因为因为b b1 1=1,b=1,b3 3=b=b2 2+2,b+2,b4 4=a=a3 3+a+a5 5,b,b5 5=a=a4 4+2a+2a6 6,所以所以q q2 2=q+2,q=q+2,q3 3=2a=2a1 1+6d,q+6d,q4 4=3a=3a1 1+13d,+13d,解得解得q=2,aq=2,a1 1=d=1,=d=1,则则a a2 0182 018+b+b

18、9 9=1+2 017+2=1+2 017+28 8=2 274.=2 274.【类题【类题通】通】等比数列项的设法等比数列项的设法(1)(1)三数成等比数列常设成三数成等比数列常设成 ,a,aq,a,aq或或a,aq,aqa,aq,aq2 2.(2)(2)若四个数成等比数列若四个数成等比数列,可设为可设为 ,a,aq,aq,a,aq,aq2 2.若四个正数成等比数列若四个正数成等比数列,可设为可设为 ,aq,aq,aq,aq3 3.aqaqaq3aq【习练【习练破】破】设公差不为零的等差数列设公差不为零的等差数列aan n 满足满足a a3 3=7,=7,且且a a1 1-1,-1,a a2

19、 2-1,a-1,a4 4-1-1成等比数列成等比数列,则则a a1010等于等于_.【解析】【解析】设等差数列设等差数列aan n 的公差为的公差为d,d,则则d0,d0,则则a a1 1=a=a3 3-2d=7-2d,a-2d=7-2d,a2 2=a=a3 3-d=7-d,-d=7-d,a a4 4=a=a3 3+d=7+d,+d=7+d,由于由于a a1 1-1,a-1,a2 2-1,a-1,a4 4-1-1成等比数列成等比数列,则则(a(a2 2-1)-1)2 2=(a=(a1 1-1)(a-1)(a4 4-1),-1),即即(6-d)(6-d)2 2=(6-2d)(6+d),=(6-

20、2d)(6+d),化简得化简得d d2 2-2d=0,-2d=0,由于由于d0,d0,解解得得d=2,d=2,因此因此,a,a1010=a=a3 3+7d=7+7+7d=7+72=21.2=21.答案答案:2121【加练【加练固】固】已知数列已知数列aan n 是由实数构成的等比数列是由实数构成的等比数列,a,a1 1=2,=2,且且a a2 2-4,a-4,a3 3,a,a4 4成等差数列成等差数列,则则aan n 的公比为的公比为_.【解析】【解析】因为数列因为数列aan n 是由实数构成的等比数列是由实数构成的等比数列,a a1 1=2,=2,且且a a2 2-4,a-4,a3 3,a,a4 4成等差数列成等差数列,所以所以2a2a3 3=(a=(a2 2-4)+a-4)+a4 4,即即2 22q2q2 2=2q-4+2q=2q-4+2q3 3,整理整理,得得(q-2)(q(q-2)(q2 2+1)=0,+1)=0,所以所以aan n 的公比的公比q=2.q=2.答案答案:2 2