人教A版高中数学必修5同步-数列-6课件.ppt

1、2.4等 比 数 列第1课时等 比 数 列1.1.等比数列等比数列一个数列一个数列从第从第2 2项起项起,每一项与它的前一项的比等于同每一项与它的前一项的比等于同一个常数一个常数,这个数列叫做等比数列这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比这个常数叫做等比数列的公比数列的公比,用用q q表示表示(q0).(q0).【思考】【思考】(1)(1)定义中为什么定义中为什么“从第从第2 2项起项起”,从第从第1 1项起可以吗项起可以吗?提示提示:因为数列的第因为数列的第1 1项没有前一项项没有前一项,因此必须因此必须“从第从第2 2项起项起”.(2)(2)怎样利用递推公式表示等比数列怎样利用递推公式表示

2、等比数列?提示提示:=q(n2)=q(n2)或或 =q(q0).=q(q0).nn 1aan 1naa2.2.等比中项等比中项在在a a与与b b中间插入一个数中间插入一个数G,G,使使a,G,ba,G,b成等比数列成等比数列,那么那么G G叫叫做做a a与与b b的等比中项的等比中项.【思考】【思考】G G是是a a与与b b的等比中项的等比中项,a,a与与b b的符号有什么特点的符号有什么特点?a,G,b?a,G,b满满足的关系式是什么足的关系式是什么?提示提示:a a与与b b同号同号,满足的关系式是满足的关系式是G G2 2=ab.=ab.3.3.等比数列的通项公式等比数列的通项公式首

3、项为首项为a a1 1,公比是公比是q(q0)q(q0)的等比数列的通项公式为的等比数列的通项公式为a an n=a=a1 1q qn-1n-1.【思考】【思考】等比数列的通项公式是等比数列的通项公式是a an n=2=2n-1n-1,其图象是由什么样的点其图象是由什么样的点组成的组成的?与函数与函数y=2y=2x-1x-1的图象有什么关系的图象有什么关系?提示提示:通项公式为通项公式为a an n=2=2n-1n-1的图象是由离散的点构成的图象是由离散的点构成,这这些离散的点都在函数些离散的点都在函数y=2y=2x-1x-1的图象上的图象上.【素养小测】【素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(

4、对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”)(1)(1)一个数列从第一个数列从第2 2项起项起,每一项与它的前一项的比等于每一项与它的前一项的比等于常数常数,这个数列一定是等比数列这个数列一定是等比数列.()(2)(2)若若G G是是a a与与b b的等比中项的等比中项,则则G=G=()(3)(3)若若a,G,ba,G,b满足满足G G2 2=ab,=ab,则则a,G,ba,G,b一定是等比数列一定是等比数列.(.()ab.提示提示:(1)(1).应等于同一个常数应等于同一个常数.(2)(2).G=.G=(3)(3).如如0,0,00,0,0满足满足0 02 2=0=00,0,但不是等比数列但

5、不是等比数列.ab.2.2.已知已知2,b,82,b,8是等比数列是等比数列,则实数则实数b=b=()A.6A.6B.4B.4C.-4C.-4D.4D.4或或-4-4【解析】【解析】选选D.D.因为因为2,b,82,b,8成等比数列成等比数列,所以所以b=b=4.4.2 83.3.在等比数列在等比数列aan n 中中,a,a1 1=-3,a=-3,a4 4=81,=81,则则a an n=_=_.【解析】【解析】设等比数列设等比数列aan n 的公比为的公比为q,q,因为因为a a1 1=-3,a=-3,a4 4=81,=81,所以所以81=-381=-3q q3 3,解得解得q=-3,q=-

6、3,则该数列的通项则该数列的通项a an n=(-3)=(-3)(-3)(-3)n-1n-1=(-3)=(-3)n n.答案答案:(-3)(-3)n n类型一等比数列基本量的计算类型一等比数列基本量的计算 【典例】【典例】1.(20191.(2019南宁高一检测南宁高一检测)在等比数列在等比数列aan n 中中,若若a a2 2=3,a=3,a5 5=-24,=-24,则则a a1 1=()2233A.B.C.D.3322 2.(20192.(2019资阳高一检测资阳高一检测)已知各项为正数的等比数列已知各项为正数的等比数列aan n 中中,a,a2 2=1,a=1,a4 4a a6 6=64

7、,=64,则公比则公比q=q=()A.4A.4B.3B.3C.2C.2D.D.3.(20193.(2019齐齐哈尔高一检测齐齐哈尔高一检测)在公比为整数的等比数在公比为整数的等比数列列aan n 中中,a,a2 2-a-a3 3=-2,a=-2,a1 1+a+a3 3=,则则aan n 的通项公式的通项公式a an n=_=_.2103【思维【思维引】引】1.1.用用a a1 1,q,q表示出表示出a a2 2,a,a5 5代入解题代入解题.2.2.将条件用将条件用a a1 1,q,q表示表示,消元求公比消元求公比.3.3.联立方程组联立方程组,利用两式相除计算解题利用两式相除计算解题.【解析

8、】【解析】1.1.选选C.C.设公比为设公比为q,q,则则 则则q=-2,q=-2,则则a a1 1=2.2.选选C.C.因为各项为正数的等比数列因为各项为正数的等比数列aan n 中中,a,a2 2=1,=1,a a4 4a a6 6=64,=64,所以所以 且且q0,q0,解得解得a a1 1=q=2,q=2,所以公比所以公比q=2.q=2.435121aa qq8aa q，2a3.2213511a q1a q a q64，12，3.3.设等比数列的首项为设等比数列的首项为a a1 1,公比为公比为q,q,因为因为a a2 2-a-a3 3=-2,a=-2,a1 1+a+a3 3=所以所以

9、 两式相除整理可得两式相除整理可得,2q,2q2 2-5q-3=0,-5q-3=0,由公比由公比q q为整数可得为整数可得,q=3,a,q=3,a1 1=.=.所以所以a an n=3=3n-2n-2.答案答案:3 3n-2n-2103，211211a qa q210aa q3，13【内化【内化悟】悟】计算等比数列的基本量时常用到哪种运算计算等比数列的基本量时常用到哪种运算?提示提示:常用到两式相除常用到两式相除.【类题【类题通】通】关于等比数列基本量的运算关于等比数列基本量的运算(1)(1)基本量基本量:a:a1 1,q,n,a,q,n,an n;(2)(2)联系联系:基本量之间的联系就是通

10、项公式基本量之间的联系就是通项公式a an n=a=a1 1q qn-1n-1,将将条件表示后采用代入、等式相除、整体构造等方法计条件表示后采用代入、等式相除、整体构造等方法计算算.【习练【习练破】破】在等比数列在等比数列aan n 中中(1)(1)已知已知a a3 3=9,a=9,a6 6=243,=243,则则a a5 5=_=_.(2)(2)已知已知a a1 1=,a,an n=,q=,q=,则则n=_n=_.981323【解析】【解析】(1)(1)由由a a3 3=9,a=9,a6 6=243,=243,得得a a1 1q q2 2=9,a=9,a1 1q q5 5=243.=243.

11、所以所以q q3 3=27,=27,所以所以q=3.q=3.所以所以a a1 1=1.=1.所以所以a a5 5=a=a1 1q q4 4=1=13 34 4=81.=81.答案答案:81812439(2)(2)因为因为a a1 1=,q=,a=,q=,an n=,=,所以所以 所以所以 所以所以n-1=3,n-1=3,所以所以n=4.n=4.答案答案:4 4981323n 1192().383n 13282()().3273【加练【加练固】固】已知已知a an n=625,n=4,q=5,=625,n=4,q=5,求求a a1.1.【解析】【解析】a a1 1=5,=5,故故a a1 1=5

12、.=5.nn 14 1a625q5类型二等比中项及其应用类型二等比中项及其应用【典例】【典例】1.1.若三个实数若三个实数a,b,ca,b,c成等比数列成等比数列,其中其中a=3-a=3-,c=3+,c=3+,则则b=b=()A.2A.2B.-2B.-2C.C.2 2D.4D.4552.2.设等差数列设等差数列aan n 的公差的公差d d不为不为0,a0,a1 1=9d,=9d,若若a ak k是是a a1 1与与a a2k2k的等比中项的等比中项,则则k k等于等于世纪金榜导学号世纪金榜导学号()A.2A.2B.4B.4C.6C.6D.8D.8【思维【思维引】引】1.1.利用利用b b是是

13、a,ca,c的等比中项求值的等比中项求值.2.2.将将a ak,k,a a2k2k用用d d表示出来表示出来,再利用等比中项列式求值再利用等比中项列式求值.【解析】【解析】1.1.选选C.C.三个实数三个实数a,b,ca,b,c成等比数列成等比数列,则则b b2 2=ac=(3-)(3+)=9-5=4,=ac=(3-)(3+)=9-5=4,则则b=b=2.2.2.2.选选B.B.因为因为a an n=(n+8)d,=(n+8)d,又因为又因为 =a=a1 1a a2k2k,所以所以(k+8)d(k+8)d2 2=9d=9d(2k+8)d,(2k+8)d,解得解得k=-2(k=-2(舍去舍去)或

14、或k=4.k=4.552ka【内化【内化悟】悟】等比数列中等比数列中,a,a1 1和和a a5 5的等比中项是哪一项的等比中项是哪一项?a?a2 2和和a a8 8呢呢?提示提示:a a1 1和和a a5 5的等比中项是的等比中项是a a3 3,a,a2 2和和a a8 8的等比中项是的等比中项是a a5 5.【类题【类题通】通】应用等比中项解题的两个关注点应用等比中项解题的两个关注点(1)(1)如果出现等比数列两项的乘积时如果出现等比数列两项的乘积时,就要注意考查是就要注意考查是否能转化为等比中项表示否能转化为等比中项表示;(2)(2)等比中项一般不唯一等比中项一般不唯一,但是如果在等比数列

15、中但是如果在等比数列中,还要还要关注项的关系关注项的关系,如如a a4 4是是a a2 2,a,a6 6的等比中项的等比中项,而而a a4 4=a=a2 2q q2 2,因此因此a a4 4与与a a2 2的符号相同的符号相同.【习练【习练破】破】-1,a,b,c,-25-1,a,b,c,-25是等比数列是等比数列,则则abc=_abc=_.【解析】【解析】设该等比数列的公比为设该等比数列的公比为q,q,因为因为b b是是a,ca,c的等比中项的等比中项,也是也是-1,-25-1,-25的等比中项的等比中项,所以所以b b2 2=-1=-1(-25)=25,(-25)=25,所以所以b=b=5

16、,5,又因为又因为b=-1b=-1q q2 20,0,所以所以b=-5,b=-5,所以所以abc=babc=b3 3=-125.=-125.答案答案:-125-125【加练【加练固】固】已知数列已知数列-1,a-1,a1 1,a,a2 2,-4,-4成等差数列成等差数列,-1,b,-1,b1 1,b,b2 2,b,b3 3,-4,-4成等比数列成等比数列,求求 的值的值.212aab【解析】【解析】因为因为-1,a-1,a1 1,a,a2 2,-4,-4成等差数列成等差数列,设公差为设公差为d,d,则则a a2 2-a-a1 1=d=d=(-4)-(-1)=-1,(-4)-(-1)=-1,因为

17、因为-1,b-1,b1 1,b,b2 2,b,b3 3,-4,-4成等比数列成等比数列,所以所以 =(-1)=(-1)(-4)=4,(-4)=4,所以所以b b2 2=2.2.若设公比为若设公比为q,q,则则b b2 2=(-1)q=(-1)q2 2,所以所以b b2 20.0.所以所以b b2 2=-2,=-2,所以所以 1322b212aa11.b22类型三等比数列的判定类型三等比数列的判定角度角度1 1利用定义证明等比数列利用定义证明等比数列【典例】【典例】已知数列已知数列aan n 满足满足a a1 1=1,2a=1,2an+1n+1=3a=3an n+1.+1.证明证明:a:an n

18、+1+1是等比数列是等比数列.世纪金榜导学号世纪金榜导学号【思维【思维引】引】证明证明 为常数为常数,或整体构造证明或整体构造证明.n 1na1a1【证明】【证明】方法一方法一:因为因为2a2an+1n+1=3a=3an n+1,+1,所以所以a an+1n+1=所以所以 n31a22，nnnn 1nnnn31333a1aa1a1322222a1a1a1a12，n 1na13.a12方法二方法二:因为因为2a2an+1n+1=3a=3an n+1,+1,所以所以2a2an+1n+1+2=3a+2=3an n+1+2,+1+2,即即2a2an+1n+1+2=3a+2=3an n+3,+3,所以所

19、以2(a2(an+1n+1+1)=3(a+1)=3(an n+1),+1),所以所以 所以所以 a an n+1+1 是以是以 为公比的等比数列为公比的等比数列.n 1na13.a1232【素养【素养探】探】在利用定义法证明等比数列的过程中在利用定义法证明等比数列的过程中,常常用到核心素常常用到核心素养中的逻辑推理养中的逻辑推理,利用等比数列的定义进行证明利用等比数列的定义进行证明.若将本例中的条件改为若将本例中的条件改为“a an+1n+1=2a=2an n+1”,+1”,其他条件不变其他条件不变,证明证明:a:an n+1+1是等比数列是等比数列.证明证明:因为因为a an+1n+1=2a

20、=2an n+1,+1,所以所以 所以所以aan n+1+1是以是以2 2为公比的等比数列为公比的等比数列.n 1nnnnna12a1 12a22a1a1a1，角度角度2 2已知已知S Sn n与与a an n的关系证明等比数列的关系证明等比数列【典例】【典例】已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,且满足且满足S Sn n=a an n+b(nN+b(nN*,bR,b0).,bR,b0).(1)(1)求证求证:a:an n 是等比数列是等比数列;(2)(2)求证求证:a:an n+1+1不是等比数列不是等比数列.世纪金榜导学号世纪金榜导学号32【思维【思维引】引】

21、(1)(1)消去消去S Sn n,利用利用a an n,a,an-1n-1的关系证明的关系证明;(2)(2)考查出数列的前三项进行证明考查出数列的前三项进行证明.【证明】【证明】(1)(1)因为因为S Sn n=a=an n+b,+b,所以当所以当n2n2时时S Sn-1n-1=a=an-1n-1+b,+b,两式相减得两式相减得S Sn n-S-Sn-1n-1=a=an n+b-a+b-an-1n-1-b,-b,所以所以a an n=a=an n-a-an-1n-1,所以所以a an n=3a=3an-1n-1,又又a a1 1=-2b0,=-2b0,故故aan n 是公比为是公比为q=3q=

22、3的等比数列的等比数列.323232323232(2)(2)令令n=1,n=1,则则S S1 1=a=a1 1+b,+b,所以所以a a1 1=-2b,=-2b,所以所以a a2 2=-6b,a=-6b,a3 3=-18b,=-18b,所以数列所以数列aan n+1+1的前三项为的前三项为a a1 1+1=1-2b,a+1=1-2b,a2 2+1=1-6b,+1=1-6b,a a3 3+1=1-18b,(a+1=1-18b,(a2 2+1)+1)2 2=1+36b=1+36b2 2-12b.-12b.(a(a1 1+1)(a+1)(a3 3+1)=1+36b+1)=1+36b2 2-20b,-

23、20b,32因为因为b0,b0,所以所以(a(a2 2+1)+1)2 2(a(a1 1+1)(a+1)(a3 3+1),+1),故数列故数列aan n+1+1不是等比数列不是等比数列.【类题【类题通】通】关于等比数列的证明关于等比数列的证明(1)(1)定义法定义法涉及涉及a an+1n+1,a,an n,a,an-1n-1的式子的式子,将关系式代入后证明将关系式代入后证明 (n2)(n2)为常数为常数.涉及涉及S Sn n与与a an n的式子的式子,则利用则利用a an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1,n2,n2,消去消去S Sn n,判断判断a an n,a,an-1n-1或或a a

24、n+1n+1,a,an n的关系证明的关系证明.n 1nnn 1bbbb或(2)(2)等比中项法等比中项法证明证明 =a=an-1n-1a an+1n+1(n2)(n2)即可即可,常用于证明表达式较为复常用于证明表达式较为复杂的三项成等比数列杂的三项成等比数列.2na【习练【习练破】破】已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,S,Sn n=(a(an n-1)(nN-1)(nN*).).(1)(1)求求a a1 1,a,a2 2;(2);(2)求证求证:数列数列aan n 是等比数列是等比数列.13【解析】【解析】(1)(1)由由S S1 1=(a=(a1 1-1)

25、,-1),得得a a1 1=(a=(a1 1-1),-1),所以所以a a1 1=-.=-.又又S S2 2=(a=(a2 2-1),-1),即即a a1 1+a+a2 2=(a=(a2 2-1),-1),得得a a2 2=.=.(2)(2)当当n2n2时时,a,an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=(a=(an n-1)-(a-1)-(an-1n-1-1),-1),得得 =-.=-.又又a a1 1=-,=-,所以所以aan n 是首项为是首项为-,-,公比为公比为-的等比数列的等比数列.1313121313141313121212nn 1aa12【加练【加练固】固】已知数列已知数列a

26、an n 是首项为是首项为2,2,公差为公差为-1-1的等差数列的等差数列,令令b bn n=,求证数列求证数列bbn n 是等比数列是等比数列,并求其通项公式并求其通项公式.na1()2【证明】【证明】由已知得由已知得a an n=2+(n-1)=2+(n-1)(-1)=3-n,(-1)=3-n,所以数列所以数列bbn n 是等比数列是等比数列.因为因为b b1 1=所以所以b bn n=2 2n-1n-1=2=2n-3n-3.3n 13n 13 n1n 13 nn1()b112()()21b22()2 故，3 111()24，1()41.情节是叙事性文学作品内容构成的要素之一,是叙事作品中

27、表现人物之间相互关系的一系列生活事件的发展过程。2.它由一系列展示人物性格,反映人物与人物、人物与环境之间相互关系的具体事件构成。3.把握好故事情节,是欣赏小说的基础,也是整体感知小说的起点。命题者在为小说命题时,也必定以情节为出发点,从整体上设置理解小说内容的试题。通常从情节梳理、情节作用两方面设题考查。4.根据结构来梳理。按照情节的开端、发展、高潮和结局来划分文章层次,进而梳理情节。5.根据场景来梳理。一般一个场景可以梳理为一个情节。小说中的场景就是不同时间人物活动的场所。6.根据线索来梳理。抓住线索是把握小说故事发展的关键。线索有单线和双线两种。双线一般分明线和暗线。高考考查的小说往往较简单,线索也一般是单线式。7.阅历之所以会对读书所得产生深浅有别的影响，原因在于阅读并非是对作品的简单再现，而是一个积极主动的再创造过程，人生的经历与生活的经验都会参与进来。8.少年时阅历不够丰富，洞察力、理解力有所欠缺，所以在读书时往往容易只看其中一点或几点，对书中蕴含的丰富意义难以全面把握。9.自信让我们充满激情。有了自信，我们才能怀着坚定的信心和希望，开始伟大而光荣的事业。自信的人有勇气交往与表达，有信心尝试与坚持，能够展现优势与才华，激发潜能与活力，获得更多的实践机会与创造可能。