人教A版高中数学必修5同步数列2课件.ppt

1、2.2等 差 数 列第1课时等 差 数 列1.1.等差数列的定义等差数列的定义(1)(1)条件条件:从第从第2 2项起项起.每一项与每一项与前一项前一项的差等于的差等于同一个同一个常数常数.(2)(2)结论结论:这个数列是这个数列是等差等差数列数列.(3)(3)相关概念相关概念:常数叫做数列的常数叫做数列的公差公差,常用常用d d表示表示.【思考】【思考】(1)(1)为什么强调为什么强调“从第从第2 2项起项起”?提示提示:第第1 1项前面没有项项前面没有项,无法与后续条件中无法与后续条件中“与前一与前一项的差项的差”相吻合相吻合;定义中包括首项这一基本量定义中包括首项这一基本量,且必须从第且

2、必须从第2 2项起保证项起保证使数列中各项均与其前面一项作差使数列中各项均与其前面一项作差.(2)(2)如何理解如何理解“每一项与前一项的差每一项与前一项的差”?提示提示:它的含义也有两个它的含义也有两个:其一是强调作差的顺序其一是强调作差的顺序,即后即后面的项减前面的项面的项减前面的项;其二是强调这两项必须相邻其二是强调这两项必须相邻.2.2.等差中项等差中项(1)(1)前提前提:三个数三个数a,A,ba,A,b成等差数列成等差数列.(2)(2)结论结论:A A叫做叫做a,ba,b的等差中项的等差中项.(3)(3)满足的关系式满足的关系式:2A=:2A=a+ba+b.人教A A版高中数学必修

3、5 5同步数列2 2人教A A版高中数学必修5 5同步数列2 2【思考】【思考】等式等式“2A=a+b”2A=a+b”有哪些等价形式有哪些等价形式?提示提示:2A=a+b2A=a+bA-a=b-AA-a=b-AA=.A=.ab2人教A A版高中数学必修5 5同步数列2 2人教A A版高中数学必修5 5同步数列2 23.3.等差数列的通项公式等差数列的通项公式递推公式递推公式通项公式通项公式a an+1n+1-a-an n=d(nN=d(nN*)a an n=a a1 1+(n-1)d+(n-1)d(nN(nN*)人教A A版高中数学必修5 5同步数列2 2人教A A版高中数学必修5 5同步数列

4、2 2【素养小测】【素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”)(1)(1)若一个数列每一项与前一项的差是一个常数若一个数列每一项与前一项的差是一个常数,则该则该数列是等差数列数列是等差数列.()(2)(2)常数列也是等差数列常数列也是等差数列.()人教A A版高中数学必修5 5同步数列2 2人教A A版高中数学必修5 5同步数列2 2(3)(3)根据等差数列的通项公式根据等差数列的通项公式,可以求出数列中的任意可以求出数列中的任意一项一项.()(4)(4)若三个数若三个数a,b,ca,b,c满足满足2b=a+c,2b=a+c,则则a,b,ca,b,c一定是

5、等差数一定是等差数列列.()人教A A版高中数学必修5 5同步数列2 2人教A A版高中数学必修5 5同步数列2 2提示提示:(1)(1).如数列如数列2,7,9,1.2,7,9,1.虽然虽然7-2=5,9-7=2,1-9=-8,7-2=5,9-7=2,1-9=-8,每一项与前一项的差都是常数每一项与前一项的差都是常数,但不是同一个常数但不是同一个常数,故故不是等差数列不是等差数列.(2).(2).因为从第因为从第2 2项起每一项与前一项的差是同一个常项起每一项与前一项的差是同一个常数数0.0.人教A A版高中数学必修5 5同步数列2 2人教A A版高中数学必修5 5同步数列2 2(3).(3

6、).只需将项数只需将项数n n代入即可求出数列中的任意一项代入即可求出数列中的任意一项.(4).(4).若若a,b,ca,b,c满足满足2b=a+c,2b=a+c,即即b-a=c-b,b-a=c-b,故故a,b,ca,b,c为等差为等差数列数列.人教A A版高中数学必修5 5同步数列2 2人教A A版高中数学必修5 5同步数列2 22.2.下列数列是等差数列的是下列数列是等差数列的是()A.A.B.1,B.1,C.1,-1,1,-1C.1,-1,1,-1D.0,0,0,0D.0,0,0,01 1 1 14 6 8 10，357，人教A A版高中数学必修5 5同步数列2 2人教A A版高中数学必

7、修5 5同步数列2 2【解析】【解析】选选D.D.因为因为 -,-,故排除故排除A;A;因为因为 -1 -,-1 -,故排除故排除B;B;因为因为-1-11-(-1),-1-11-(-1),故排除故排除C.C.16141816353人教A A版高中数学必修5 5同步数列2 2人教A A版高中数学必修5 5同步数列2 23.3.已知等差数列已知等差数列aan n 的首项的首项a a1 1=2,=2,公差公差d=3,d=3,则数列则数列aan n 的通项公式为的通项公式为()A.aA.an n=3n-1=3n-1B.aB.an n=2n+1=2n+1C.aC.an n=2n+3=2n+3D.aD.

8、an n=3n+2=3n+2【解析】【解析】选选A.aA.an n=a=a1 1+(n-1)d=2+(n-1)3=3n-1.+(n-1)d=2+(n-1)3=3n-1.4.4.+1+1与与 -1-1的等差中项是的等差中项是()A.1A.1B.-1B.-1C.C.D.D.1 1222【解析】【解析】选选C.C.设等差中项为设等差中项为x,x,由等差中项的定义知由等差中项的定义知x=.x=.(2 1)(2 1)22 类型一等差数列的定义及应用类型一等差数列的定义及应用【典例】【典例】1.(20191.(2019遂宁高一检测遂宁高一检测)已知数列已知数列aan n 满足满足a an+1n+1-a-a

9、n n=2,nN=2,nN*,且且a a3 3=3,=3,则则a a1 1=_=_.2.2.已知数列已知数列aan n 满足满足a a1 1=2,a=2,an+1n+1=(nN(nN*),),b bn n=(nN(nN*).).求证求证:数列数列bbn n 是等差数列是等差数列,并求出首项和公差并求出首项和公差.nna13an1a【思维【思维引】引】1.1.由由a an n和和a an+1n+1的关系判断数列的关系判断数列aan n 是等差是等差数列及其公差数列及其公差,由第三项求第一项由第三项求第一项;2.2.根据要证结论根据要证结论,方法一方法一:将已知等式变为将已知等式变为 =某常数的形

10、式某常数的形式,方法二方法二:b:bn+1n+1-b-bn n是常数是常数.n1n11aa【解析】【解析】1.1.因为因为a an+1n+1-a-an n=2,nN=2,nN*,所以数列所以数列aan n 是等差数列是等差数列,其公差为其公差为2,2,因为因为a a3 3=a=a1 1+2+22=3,2=3,所以所以a a1 1=-1.=-1.答案答案:-1-12.2.方法一方法一:因为因为 所以所以 =+3,=+3,所以所以 -=3,-=3,又因为又因为b bn n=(nN=(nN*),),所以所以b bn+1n+1-b-bn n=3(nN=3(nN*),),且且b b1 1=.=.所以数列

11、所以数列bbn n 是等差数列是等差数列,首项为首项为 ,公差为公差为3.3.nn1n13a1aa，n11an1an11an1an1a11a1212方法二方法二:因为因为b bn n=,=,且且a an+1n+1=所以所以b bn+1n+1=+3=b=+3=bn n+3,+3,所以所以b bn+1n+1-b-bn n=3(nN=3(nN*),b),b1 1=.=.所以数列所以数列bbn n 是等差数列是等差数列,首项为首项为 ,公差为公差为3.3.n1anna13an11ann13aan1a11a1212【素养【素养探】探】在与等差数列定义有关的问题中在与等差数列定义有关的问题中,经常利用核心

12、素养中经常利用核心素养中的数学抽象和逻辑推理的数学抽象和逻辑推理,通过研究一个数列中任意相邻通过研究一个数列中任意相邻两项两项a an+1n+1与与a an n(nN(nN*)的关系的关系,判定该数列是否为等差数判定该数列是否为等差数列列,培养学生推理、论证的能力培养学生推理、论证的能力.将本例将本例2 2的条件的条件“a a1 1=2,a=2,an+1n+1=”改为改为“a a1 1=,a an na an-1n-1=a=an-1n-1-a-an n(n2)”,(n2)”,其他条件不变其他条件不变,如何解答如何解答?nna13a12【解析】【解析】因为因为a an na an-1n-1=a=

13、an-1n-1-a-an n(n2),(n2),所以所以 =1.(n2)=1.(n2)又因为又因为b bn n=,=,所以所以b bn+1n+1-b-bn n=1(nN=1(nN*)且且b b1 1=2.=2.所以数列所以数列bbn n 是等差数列是等差数列,其首项为其首项为2,2,公差为公差为1.1.nn111aan1a11a【类题【类题通】通】定义法判定数列定义法判定数列aan n 是等差数列的步骤是等差数列的步骤:(1)(1)作差作差a an+1n+1-a-an n;(2)(2)对差式进行变形对差式进行变形;(3)(3)当当a an+1n+1-a-an n是一个与是一个与n n无关的常数

14、时无关的常数时,数列数列aan n 是等差数列是等差数列;当当a an+1n+1-a-an n不是常数不是常数,是与是与n n有关的代数式时有关的代数式时,数列数列aan n 不是等差数列不是等差数列.【习练【习练破】破】若数列若数列aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=10+=10+l lg2g2n n(nN(nN*),),求证求证:数数列列aan n 为等差数列为等差数列.【证明】【证明】因为因为a an n=10+lg2=10+lg2n n=10+nlg2,=10+nlg2,所以所以a an+1n+1=10+(n+1)lg2.=10+(n+1)lg2.所以所以a an+1n+

15、1-a-an n=10+(n+1)lg2-(10+nlg2)=10+(n+1)lg2-(10+nlg2)=lg2(nN=lg2(nN*).).所以数列所以数列aan n 为等差数列为等差数列.【加练【加练固】固】1.1.以下选项中构不成等差数列的是以下选项中构不成等差数列的是()A.2,2,2,2A.2,2,2,2B.3m,3m+a,3m+2a,3m+3aB.3m,3m+a,3m+2a,3m+3aC.cos 0,cos 1,cos 2,cos 3C.cos 0,cos 1,cos 2,cos 3D.a-1,a+1,a+3D.a-1,a+1,a+3【解析】【解析】选选C.C.选项选项A A是公差

16、为是公差为0 0的等差数列的等差数列;选项选项B B是公是公差为差为a a的等差数列的等差数列;选项选项D D是公差为是公差为2 2的等差数列的等差数列.2.2.判断下列数列是否为等差数列判断下列数列是否为等差数列.(1)a(1)an n=3n+2.(2)a=3n+2.(2)an n=n=n2 2+n.+n.【解析】【解析】(1)a(1)an+1n+1-a-an n=3(n+1)+2-(3n+2)=3(=3(n+1)+2-(3n+2)=3(常数常数),n),n为任为任意正整数意正整数,所以此数列为等差数列所以此数列为等差数列.(2)(2)因为因为a an+1n+1-a-an n=(n+1)=(

17、n+1)2 2+(n+1)-(n+(n+1)-(n2 2+n)=2n+2(+n)=2n+2(不是常不是常数数),),所以此数列不是等差数列所以此数列不是等差数列.类型二等差中项的应用类型二等差中项的应用【典例】【典例】1.1.已知已知a=a=,b=,b=,则则a,ba,b的等差中的等差中项为项为()A.A.B.B.C.C.D.D.1321323213122.a2.an n 是等差数列是等差数列,a,a1 1与与a a2 2的等差中项为的等差中项为1,a1,a2 2与与a a3 3的等的等差中项为差中项为2,2,则公差则公差d=d=()A.2A.2B.B.C.1C.1D.D.32123.3.已知

18、已知 ,成等差数列成等差数列,证明证明 ,成等差数列成等差数列.世纪金榜导学号世纪金榜导学号1a1b1cbcaacbabc【思维【思维引】引】1.a,b1.a,b的等差中项为的等差中项为 (a+b).(a+b).122.2.根据等差中项的定义列出两个等量关系根据等差中项的定义列出两个等量关系,两式相减即两式相减即可求出公差可求出公差.3.3.由于所求证的是三个数成等差数列由于所求证的是三个数成等差数列,所以可用等差中所以可用等差中项来证明项来证明.【解析】【解析】1.1.选选A.a,bA.a,b的等差中项为的等差中项为 =.=.111()232321(3232)232.2.选选C.C.因为因为

19、aan n 是等差数列是等差数列,a,a1 1与与a a2 2的等差中项为的等差中项为1,1,a a2 2,a,a3 3的等差中项为的等差中项为2,2,所以所以a a1 1+a+a2 2=2,a=2,a2 2+a+a3 3=4,=4,两式相减得两式相减得a a3 3-a-a1 1=2d=4-2,=2d=4-2,解得解得d=1.d=1.3.3.因为因为 成等差数列成等差数列,所以所以 化简得化简得2ac=b(a+c),2ac=b(a+c),又又 =2 ,=2 ,所以所以 ,成等差数列成等差数列.1 1 1a b c，211bacbcabac22bccaabac22b accaac222accaa

20、c2acac2acb ac2acbbcaacbabc【内化【内化悟】悟】三数三数a,b,ca,b,c成等差数列的条件是什么成等差数列的条件是什么?可用来解决什么可用来解决什么问题问题?提示提示:条件是条件是b=(b=(或或2b=a+c),2b=a+c),可用来解决等差数列的可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题判定或有关等差中项的计算问题.ac2【类题【类题通】通】1.1.等差中项的应用策略等差中项的应用策略(1)(1)涉及等差数列中相邻三项问题可用等差中项求解涉及等差数列中相邻三项问题可用等差中项求解.(2)(2)在一个等差数列中在一个等差数列中,从第从第2 2项起项起,每一项每一

21、项(有穷数列的有穷数列的末项除外末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项都是它的前一项与后一项的等差中项,即即2a2an n=a=an-1n-1+a+an+1n+1;实际上实际上,等差数列中的某一项是与其等距等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项离的前后两项的等差中项,即即2a2an n=a=an-mn-m+a+an+mn+m(m,nN(m,nN*,mn).,mn).2.2.等差中项法判定等差数列等差中项法判定等差数列若数列若数列aan n 满足满足2a2an n=a=an-1n-1+a+an+1n+1(n2),(n2),则可判定数列则可判定数列aan n 是等差数列是等差数列.

22、【习练【习练破】破】1.1.一个等差数列的前一个等差数列的前4 4项是项是a,x,b,2x,a,x,b,2x,则则 等于等于()A.A.B.B.C.C.D.D.ab14121323【解析】【解析】选选C.C.所以所以a=,b=x.a=,b=x.所以所以 .2xab2bx2x ，x232a1b32.2.已知已知 成等差数列成等差数列,试证试证:a:a2 2,b,b2 2,c,c2 2也成等差数列也成等差数列.111bc ca ab，【证明】【证明】由已知由已知 成等差数列成等差数列,可得可得 ,所以所以 ,所以所以(2b+a+c)(c+a)=2(b+c)(a+b),(2b+a+c)(c+a)=2

23、(b+c)(a+b),所以所以a a2 2+c+c2 2=2b=2b2 2,所以所以a a2 2,b,b2 2,c,c2 2也成等差数列也成等差数列.111bc ca ab，211cabcab22bacca(bc)(ab)【加练【加练固】固】已知已知b b是是a,ca,c的等差中项的等差中项,且且lg(a+1),lg(b-1),lg(c-1)lg(a+1),lg(b-1),lg(c-1)成等差数列成等差数列,同时同时a+b+c=15,a+b+c=15,求求a,b,ca,b,c的值的值.【解析】【解析】因为因为2b=a+c,a+b+c=15,2b=a+c,a+b+c=15,所以所以3b=15,b

24、=5.3b=15,b=5.设等差数列设等差数列a,b,ca,b,c的公差为的公差为d,d,则则a=5-d,c=5+d.a=5-d,c=5+d.由由2lg(b-1)=lg(a+1)+lg(c-1)2lg(b-1)=lg(a+1)+lg(c-1)知知:2lg4=lg(6-d)+lg(4+d).2lg4=lg(6-d)+lg(4+d).从而从而16=(6-d)(4+d),16=(6-d)(4+d),即即d d2 2-2d-8=0.-2d-8=0.所以所以d=4d=4或或d=-2.d=-2.所以所以a,b,ca,b,c三个数分别为三个数分别为1,5,91,5,9或或7,5,3.7,5,3.类型三等差数

25、列的通项公式及应用类型三等差数列的通项公式及应用【典例】【典例】1.1.有穷等差数列有穷等差数列5,8,11,3n+11(nN5,8,11,3n+11(nN*)的的项数是项数是()A.nA.nB.3n+11B.3n+11C.n+4C.n+4D.n+3D.n+32.2.已知数列已知数列aan n 中中,a,a1 1=2,a=2,a2 2=1,=1,又数列又数列 为等差数列为等差数列,则则a an n=_=_.n1a13.(20193.(2019长春高一检测长春高一检测)等差数列等差数列aan n 中中,已知已知a a3 3=10,a=10,a1212=31.=31.(1)(1)求求a a1 1,

26、d,d及通项公式及通项公式a an n;(2)45(2)45和和8585是不是该数列中的项是不是该数列中的项?若不是若不是,说明原因说明原因;若若是是,是第几项是第几项?世纪金榜导学号世纪金榜导学号【思维【思维引】引】1.1.方法一方法一:设此等差数列有设此等差数列有x x项项,利用等差利用等差数列的通项公式推出数列的通项公式推出x x与与n n的关系的关系.方法二方法二:由由3 31+11=14,31+11=14,32+11=17,3n+112+11=17,3n+11判断该等判断该等差数列有多少项差数列有多少项.2.2.先求先求 ,再求再求a an n.3.(1)3.(1)由已知列关于首项与

27、公差的方程组由已知列关于首项与公差的方程组,求解可得首求解可得首项与公差项与公差,则通项公式可求则通项公式可求;(2)(2)分别把分别把4545和和8585代入等差数列的通项公式代入等差数列的通项公式,即可得到即可得到4545是第是第1818项项,85,85不是数列中的项不是数列中的项.n1a1【解析】【解析】1.1.选选D.D.方法一方法一:设此等差数列有设此等差数列有x x项项,则则3n+11=5+(x-1)3n+11=5+(x-1)3,3,所以所以x=n+3.x=n+3.方法一方法一:在在3n+113n+11中令中令n=1,n=1,结果为结果为14,14,它是这个数列的第它是这个数列的第

28、4 4项项,前面还有前面还有5,8,115,8,11三项三项,故这个数列的项数为故这个数列的项数为n+3.n+3.2.2.因为数列因为数列aan n 中中,a,a1 1=2,a=2,a2 2=1,=1,所以所以 ,=,=,又数列又数列 为等差数列为等差数列,所以其公差所以其公差d=,d=,所以所以 =+(n-1)d=+(n-1)d=(n-1)=,=(n-1)=,所以所以a an n=.=.答案答案:111a1321a112n1a1111236n1a111a11136n165nn15nn13.(1)3.(1)在等差数列在等差数列aan n 中中,由由a a3 3=10,a=10,a1212=31

29、,=31,得得 解得解得 所以所以a an n=+(n-1)=n+3.=+(n-1)=n+3.11a2d10a11d31，116a37d3，1637373(2)(2)由由a an n=n+3=45,=n+3=45,解得解得n=18,n=18,故故4545是第是第1818项项;由由a an n=n+3=85,=n+3=85,得得n=n=N N*,故故8585不是数列中的项不是数列中的项.73732467【内化【内化悟】悟】构成等差数列的基本量是什么构成等差数列的基本量是什么?解答等差数列计算问题解答等差数列计算问题的常规方法是什么的常规方法是什么?提示提示:基本量是基本量是a a1 1和和d,d

30、,根据已知条件列出关于根据已知条件列出关于a a1 1和和d d的的方程组方程组,求出求出a a1 1和和d,d,进而求出通项公式进而求出通项公式a an n=a=a1 1+(n-1)d.+(n-1)d.【类题【类题通】通】等差数列通项公式的四个主要应用等差数列通项公式的四个主要应用(1)(1)已知已知a an n,a,a1 1,n,d,n,d中的任意三个量中的任意三个量,求出第四个量求出第四个量.(2)(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项,也可以判断某一个数是不是该数列中的项也可以判断某一个数是不是该数列中的项.(3)(3)根据等差数

31、列的两个已知条件建立关于根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本基本量量”a a1 1和和d d的方程组的方程组,求出求出a a1 1和和d,d,从而确定通项公式从而确定通项公式,求求得所需求的项得所需求的项.(4)(4)若数列若数列aan n 的通项公式是关于的通项公式是关于n n的一次函数或常数的一次函数或常数函数函数,则可判断数列则可判断数列aan n 是等差数列是等差数列.【习练【习练破】破】1.1.等差数列等差数列1,-1,-3,-891,-1,-3,-89的项数是的项数是_.【解析】【解析】由等差数列的通项公式由等差数列的通项公式a an n=a=a1 1+(n-1)d,+(n-1

32、)d,可知可知-89=1+(n-1)(-2),-89=1+(n-1)(-2),所以所以n=46.n=46.答案答案:46462.2.在等差数列在等差数列aan n 中中,(1)(1)已知已知a a5 5=-1,a=-1,a8 8=2,=2,求求a a1 1与与d;d;(2)(2)已知已知a a1 1+a+a6 6=12,a=12,a4 4=7,=7,求求a a9 9.【解析】【解析】(1)(1)因为因为a a5 5=-1,a=-1,a8 8=2,=2,所以所以 解得解得 11a4d1a7d2，1a5d 1.，(2)(2)设数列设数列aan n 的公差为的公差为d.d.由已知得由已知得,解得解得

33、 所以所以a an n=1+(n-1)=1+(n-1)2=2n-1,2=2n-1,所以所以a a9 9=2=29-1=17.9-1=17.111aa5d 12a3d7，1a1d2.，【加练【加练固】固】1.2 0001.2 000是等差数列是等差数列4,6,8,4,6,8,的的()A.A.第第998998项项B.B.第第999999项项C.C.第第1 0011 001项项D.D.第第1 0001 000项项2.2.在等差数列在等差数列aan n 中中,已知已知a a5 5=10,a=10,a1212=31,=31,则首项则首项a a1 1=_=_,公差公差d=_d=_.3.3.已知等差数列已知

34、等差数列1,-3,-7,-11,1,-3,-7,-11,求它的通项公式及第求它的通项公式及第2020项项.【解析】【解析】1.1.选选B.B.因为此等差数列的公差因为此等差数列的公差d=2,d=2,所以所以a an n=4+(n-1)=4+(n-1)2,2,即即2 000=2n+2,2 000=2n+2,所以所以n=999.n=999.2.2.设首项为设首项为a a1 1,公差为公差为d,d,则有则有 即即 解得解得a a1 1=-2,d=3.=-2,d=3.答案答案:-2-23 351121aa5 1 daa12 1 d，1110a4d31a11d，3.3.由题意可知由题意可知a a1 1=1,a=1,a2 2=-3,=-3,所以公差所以公差d=ad=a2 2-a-a1 1=-4.=-4.所以所以a an n=a=a1 1+(n-1)d=1-4(n-1)=5-4n.+(n-1)d=1-4(n-1)=5-4n.所以所以a a2020=5-4=5-420=-75.20=-75.即该数列的通项公式为即该数列的通项公式为a an n=5-4n,=5-4n,第第2020项为项为-75.-75.