矩阵乘积的逆高等代数课件.ppt

1、一、可逆矩阵的概念一、可逆矩阵的概念 定义定义 设设A为为n级方阵，如果存在级方阵，如果存在n级方阵级方阵B，使得，使得ABBAE则称则称A为为可逆矩阵可逆矩阵，称称B为为A的的逆矩阵逆矩阵.注：注：11.AA 可逆矩阵可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的，记作的逆矩阵是唯一的，记作1.A 单位矩阵单位矩阵 E 可逆，且可逆，且 1.EE 可逆矩阵可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆矩阵，且的逆矩阵也是可逆矩阵，且1A 设设 B 和和 C 都是都是 A 的逆矩阵，则由定义的逆矩阵，则由定义有有 AB=BA=E，AC=CA=E，于是于是B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.所以逆矩阵唯一所以逆矩阵唯一.现在的

2、问题是：在什么条件下矩阵现在的问题是：在什么条件下矩阵 A 是可逆是可逆的？的？如果如果 A 可逆，怎样求可逆，怎样求 A-1？为此先引入伴随为此先引入伴随矩阵的概念矩阵的概念.二、矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法二、矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法定义定义1、伴随矩阵伴随矩阵称为称为A的的伴随矩阵伴随矩阵.11211*1222212nnnnnnAAAAAAAAAA 性质性质：*AAA AA E余子式，矩阵余子式，矩阵设设 是矩阵中元素是矩阵中元素 的代数的代数ijAija()ijn nAa 证：由行列式按一行（列）展开公式证：由行列式按一行（列）展开公式立即可得立即可得,1112111211*212

3、22122221212nnnnnnnnnnnnaaaAAAaaaAAAAAaaaAAA .dA 1122,0,kikiknindkia AaAa Aki 1122,0,ljljnlnjdlja Aa Aa Alj 0000.00dddEd 同理同理,*.A AdE*1.AAA 非退化的），且非退化的），且证：若由证：若由0,A *AAA AA E所以，所以，A可逆，且可逆，且*1.AAA 两边取行列式，得两边取行列式，得11.AAE 0.A2、定理定理：矩阵矩阵A可逆当且仅当可逆当且仅当 （即即A0,A 得得*AAAAEAA反过来，若反过来，若A可逆，则有可逆，则有1,AAE 则则A、B皆为可

4、逆矩阵，且皆为可逆矩阵，且11,.ABBA证：证：ABE 1ABA BE由定理知，由定理知，A、B皆为可逆矩阵皆为可逆矩阵.从而从而0,0.AB11(),AABA E 再由再由即有，即有，11,.ABBA11(),AB BEB 3、推论推论：设设A、B为为 n 级方阵，若级方阵，若,ABE 例例1 判断矩阵判断矩阵A是否可逆，若可逆，求其逆是否可逆，若可逆，求其逆.1 2 31)2 2 13 4 3A 122)naaAa 解：解：1）1 2 32 2 12,3 4 3 A可逆可逆.1222323,6,5,AAA 1121312,6,4,AAA 1323332,2,2.AAA 再由再由*1264

5、1365.2222AAA 有有122),nAa aa 当时，当时，A可逆可逆.0(1,2,)iain1111221nnaaaaaa 且由于且由于111121.naaAa 111E三、逆矩阵的运算规律三、逆矩阵的运算规律 且且可逆可逆则则数数可逆可逆若若,0,2AA 且且亦亦可可逆逆则则为为同同阶阶方方阵阵且且均均可可逆逆若若,3ABBA 1ABB1 1 A .111 AA .,1111AAAA 且且亦亦可可逆逆则则可可逆逆若若 .1212 AA推推广广1AmA1 mA1 1A .,4AAAAT 且且亦亦可可逆逆则则可可逆逆若若TT1 1 ,A AAAAZ (5)若若A可逆，则可逆，则 亦亦 可

6、逆，且可逆，且 A 1.AAA (6)若若A可逆，则可逆，则 亦亦 可逆，且可逆，且 kA 11.kkAA 当当 时，定义时，定义 0A 注：注：01,()kkAEAA则有则有 设方阵设方阵 A 满足满足 23100,AAE 证明：证明：与与 皆可逆，并求其逆皆可逆，并求其逆.4AAE 例例2由由 23100,AAE 即即 1(3),10AAEE 故故 A 可逆，且可逆，且 11(3)10AAE 再由再由 23100,AAE 得得()(4)6,AEAEE 即即 1()(4),6AEAEE 故故 4AE 可逆，且可逆，且 11(4)()6AEAE 证：证：(3)10,A AEE 得得 利用矩阵的

7、逆，可以给出克拉默法则的另一种利用矩阵的逆，可以给出克拉默法则的另一种推导法推导法.线性方程组线性方程组nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111,可以写成可以写成AX=B.(6)如果如果|A|0，那么，那么 A 可逆可逆.用用X=A-1B代入代入(6)，得恒等式，得恒等式 A(A-1B)=B，这就是说，这就是说 A-1B 是一解是一解.如果如果X=C是是(6)的一个解，那么由的一个解，那么由AC=B得得A-1(AC)=A-1B，即即 C=A-1B.这就是说，解这就是说，解 X=A-1B 是唯一的是唯一的.用用 A-1 的公式的公式(

8、4)代入，乘出来就是克拉默法则中给出的公式代入，乘出来就是克拉默法则中给出的公式.四、矩阵方程四、矩阵方程 1111111(1)nnnnnnna xa xba xaxb 1.线性方程组线性方程组 1122(),X,ijn nnnxbxbAaBxb =令令则（则（1）可看成矩阵方程）可看成矩阵方程.AXB 若若A为可逆矩阵，则为可逆矩阵，则 1.XA B 矩阵方程矩阵方程,n nn sn sAXB 若若A为可逆矩阵，则为可逆矩阵，则 1.XA B 2.推广推广 矩阵方程矩阵方程,m nn nm nXAB 若若A为可逆矩阵，则为可逆矩阵，则 1.XBA 矩阵方程矩阵方程,n nn ss sn sA

9、XBC 若若A,B皆皆可逆，则可逆，则 11.XA CB 3.矩阵积的秩矩阵积的秩 ()()()()R AR PAR AQR PAQ 定理定理4,s sn nPQ ,s nA 若若 可逆，则可逆，则 证：证：令令 ,BPA 又又P可逆，可逆，由定理由定理2，()(),R BR A()(),R AR B1,P BA 有有()().R AR B 故故例例3 解矩阵方程解矩阵方程 2 546.1 321X 解：解：12 5461 321X 35461 221 22308 一般地，一般地，a bAc d 可逆可逆 0,adbc 11dbAcaadbc .注注:0 3 31 1 0,2,1 2 3AAB

10、AB 已知已知 求矩阵求矩阵B解：由解：由 2ABAB ，得，得(2)AE BA ，又，又 233211 021 2 1AE 0 2AE 可逆，且可逆，且 11 331(2)1 132111AE 103 3(2)1 2 311 0BAEA .C,B,A021102341010100001100001010,1000010101A 解下列矩阵方程解下列矩阵方程AXB=C 其中其中 由已知易得由已知易得 X=A-1CB-1,下面求下面求 A 和和 B 的逆阵的逆阵.010100001021102341100001010X010100001B,0101000011B所以所以0101000010211

11、02341100001010X010100001021341102.201431012 设设 n 级矩阵级矩阵 A,B,A+B 均可逆均可逆,证明证明(A-1+B-1)-1=A(A+B)-1B=B(B+A)-1A.将将 A-1+B-1 表示成已知的可逆矩阵的乘积表示成已知的可逆矩阵的乘积:A-1+B-1=A-1(E+AB-1)=A-1(BB-1+AB-1)=A-1(B+A)B-1.由可逆矩阵的性质可知由可逆矩阵的性质可知(A-1+B-1)-1=A-1(A+B)B-1-1=B(B+A)-1A.同理可证另一个等式也成立同理可证另一个等式也成立.设设 A 为为 n 级方阵级方阵(n 2),证明证明|A*|=|A|n-1.由于由于 AA*=A*A=|A|E,所以所以|A|A*|=|A|n (4)下面分三种情形讨论下面分三种情形讨论:(1)|A|0,即即 A 可逆可逆,(4)式两端除以式两端除以|A|即即得得|A*|=|A|n-1.(2)|A|=0,且且 A=O,则则 A*=O,结论显然成结论显然成立立.(3)|A|=0,但但 A O,反设反设|A*|0,则则 A*可逆可逆,因而因而 A=(AA*)(A*)-1=(|A|E)(A*)-1=|A|(A*)-1=O,故故 A=O,与与 A O 矛盾矛盾,所以所以,|A*|=0=|A|n-1.