微积分高等数学课件第3讲无穷小量续-.ppt
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- 关 键 词:
- 微积分 高等数学 课件 无穷 小量
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1、作业作业P43 习题习题 2.3 10.12(3)(4)(7)(10).P49 习题习题 2.4 9(1)(4)(6).练习练习P43 习题习题 2.3 4.5.8.P49 习题习题 2.4 1.2.5.12/2/20221第三讲第三讲 (一一)无穷小量无穷小量(续续)(二二)连续函数连续函数一、三个重要关系一、三个重要关系二、二、无穷小量的比较无穷小量的比较三、三、求极限举例求极限举例 四、四、函数连续性的定义函数连续性的定义12/2/202221.(无穷小与无穷大)(无穷小与无穷大).)(1,)(,是是无无穷穷小小则则在在这这个个变变化化过过程程中中是是无无穷穷大大化化过过程程中中若若在在
2、自自变变量量的的某某一一个个变变xfxf.)(),()()(lim时时的的无无穷穷小小是是当当其其中中 xxxAxfAxfx 2.(极限与无穷小)(极限与无穷小)一、三个重要关系一、三个重要关系12/2/202233.无穷大与无界函数无穷大与无界函数无无界界。反反之之不不一一定定。则则是是无无穷穷大大化化过过程程中中若若在在自自变变量量的的某某一一个个变变)(,)(,xfxf问题:问题:两个无穷小量的商是否为无穷小量?两个无穷小量的商是否为无穷小量?xxxxf,sin)(例例12/2/20224二、无穷小量的比较二、无穷小量的比较.)()(,1)()(lim,;)()(,0)()(lim)1(
3、.)()(,是是等等价价无无穷穷小小与与时时称称当当时时当当特特别别是是同同阶阶无无穷穷小小与与时时则则称称当当若若都都是是无无穷穷小小与与过过程程中中设设在在自自变变量量的的同同一一变变化化xgxfxxgxfxgxfxAxgxfxgxfxx 定义:定义:)()()(xxgxf记记作作12/2/20225).()()(.)()(,0)()(lim)2(xxgxfxgxfxxgxfx记记作作相相比比是是高高阶阶无无穷穷小小与与时时则则称称当当若若.)()(,0)()(lim)3(阶阶无无穷穷小小相相比比是是与与时时则则称称当当若若kxgxfxAxgxfkax 12/2/20226).()()()
4、()(,)(,0)2(00*xxxgOxfMxgxfxNxM 则则记记成成有有时时使使当当若若)()(,)()(lim0 xgOxfAxgxfxx 则则有有若若)()(,0)()(lim)1(0 xgxfxgxfxx 则则记记若若”“”与与“符符号号O12/2/20227几个常用的等价无穷小量)0(xxxxxaxaxexxxxxxxxxx2111)1ln(ln11arctanarcsintansin 12/2/20228等价无穷小量的性质)(,sin,1)(sinsin,0 xxxxxxxxxx误误差差是是时时当当时时当当例例 )()()()()()()()(,)(),(,xgxgxfxfxg
5、xfxgxfxgxfx 或或则则无无穷穷小小均均为为时时设设当当性质性质1:12/2/20229)()(lim)()(lim)()(lim)()(lim1111xgxgxgxfxfxfxgxfxxxx 存存在在,且且有有均均为为无无穷穷小小时时若若当当)()(lim),()(),()(,)(),(),(),(,111111xgxfxgxgxfxfxgxfxgxfxx性质性质2:)()(lim)()(lim11xgxfxgxfxx 则则有有等价代换等价代换)()(lim)()(lim1100 xgxfxgxfxx 12/2/202210解解54)12()2(lim)2)(12()2)(2(lim
6、2324lim22222 xxxxxxxxxxxx)232(54)4(;)232()4(,22222 xxxxxxx同同阶阶无无穷穷小小是是与与时时当当?2324lim222 xxxx例例1三、求极限举例三、求极限举例12/2/202211?cos1lim20 xxx2222022220)()(sinlim214)()(sin2limxxxxxx 222020sin2limcos1limxxxxxx 21sinlimsinlim21220220 xxxxxx例例2解解12/2/202212)()(cos12同阶xOx )()(cos1高阶xx )(21cos12等价xx 阶无穷小量的是2cos
7、1xx 21cos1lim20 xxx1cos1lim2210 xxx12/2/202213xxxx30sinsintanlim 21lim22210 xxx?sinsintanlim30 xxxx例例3解解xxx20sincos1lim xxxxcos1sincos1lim20 12/2/202214)(sintan3xOxx 2sintan3xxx)(sintan2xxx 是是 x 的的 3 阶无穷小阶无穷小0limsinsintanlim3030 xxxxxxxxxxxxxsin,tan,0时时当当 讨论:讨论:代数和不能代换!代数和不能代换!12/2/202215?)1ln(lim0
8、xxx解解xxxxxx100)1ln(lim)1ln(lim 1lnlim)1(lim10 uexeuxx因因为为1)1ln(lim0 xxx所所以以例例412/2/202216?1lim0 xaxxxexaaxxxx1lim1limln00 axaxxlnlnlim0 )0(ln1 xaxax)0(1(xxex因因为为解解例例512/2/202217?tan3)sin23(lim20 xxxxx解解例例6xxxxx20tan3)sin23(lim 23201)sin1(3limxxxxx 2)sin1ln(01lim32xexxx 2320)sin1ln(limxxxx 32sinlim32
9、0 xxx12/2/202218?)sin(cos21lim33 xxx,3ux 作作变变换换ux 3 则则0,3,ux时时当当并并且且 解解)3cos(21cos21ux 又又例例7)sin3sincos3(cos21uu uusin3cos1 12/2/2022193sincos1limsinsin3cos1lim)3sin(cos21lim003 uuuuuxxuux 从而32cos2sin22sin2lim20 uuuu332cos1lim2sinlim00 uuuu3lim2210 uuu3 或者12/2/202220连连 续续 函函 数数12/2/202221函数连续性的定义函数连
10、续性的定义 函数的连续性描述函数的渐变性态函数的连续性描述函数的渐变性态,在通常意义下,对函数连续性有三种在通常意义下,对函数连续性有三种描述:描述:当自变量有微小变化时,因变量的当自变量有微小变化时,因变量的 变化也是微小的;变化也是微小的;自变量的微小变化不会引起因变量的自变量的微小变化不会引起因变量的 跳变;跳变;连续函数的图形可以一笔画成连续函数的图形可以一笔画成,不断开不断开.12/2/2022222xy xytan 例如:例如:上上连连续续在在),(上上连连续续在在)2,2(xysin 12/2/202223处处间间断断在在点点0 x 0,2,0,1)(xxxfy xyO1212/
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