夜大《高数》D专升本第二部分常-课件.ppt

1、1.求下列函数展开成麦克劳林级数并求其成立的区间求下列函数展开成麦克劳林级数并求其成立的区间:1(3)2x 211(1)1nnxxxx (1,1).x 0(1)nnnx 1112212xx 01(1)22nnnx 10(1),2nnnnx 112x由由得得22.x213.(4).32xxx 将将函函数数展展开开成成的的幂幂级级数数211(1)(2)32xxxx 1112xx113(4)2(4)xx 111144321132xx 2111nxxxx(1,1).x 0nnx 01433nnx 01422nnx 213.(4).32xxx 将将函函数数展展开开成成的的幂幂级级数数211(1)(2)3

2、2xxxx 1112xx2111nxxxx(1,1).x 0nnx 01433nnx 01422nnx 11011(4),23nnnnx 411,34112xx 由由得得62.x (由由题意题意xxdyd2 且满足且满足.2)1(yxdxy 2Cx 2由由,1 C21.yx所所以以为为所所求求曲曲线线例例1.已知一曲线通过点已知一曲线通过点(1,2),且在该曲线上且在该曲线上任一点任一点M(x,y)处的切线斜率为其横坐标的处的切线斜率为其横坐标的 2 倍倍,求这曲线方程求这曲线方程.2)1(y例例2.只在只在重力下重力下(不计空气阻力不计空气阻力),一质量为一质量为 m 的的质点自由下落质点自

3、由下落,求质点运动的规律求质点运动的规律(位置与时间的位置与时间的 由牛顿第二定律由牛顿第二定律F=ma,(a 加速度加速度,F 作用力作用力)质点只受重力作用质点只受重力作用F=mggmam 22.d xgdtag 关系关系).xo则则 x=x(t).对对 t 两次积分两次积分：1Ctgtdxd 21212xgtC tC),(21为任意常数为任意常数CC 由初始时刻由初始时刻 t=0,质点的初始位置质点的初始位置 x=0 及初及初始速度为始速度为 0,即即 ,0)0(x,02 C21().2x tgt所所求求22d xgdt0)0(x10,C (表示未知函数表示未知函数、未知函数的导数与自变

4、量之未知函数的导数与自变量之()(,)0.nF x y y yy L1.未知函数是一元函数的未知函数是一元函数的称为称为,方程中可以不出现自变量方程中可以不出现自变量 x 与未知函数与未知函数 y,数或微分必须出现数或微分必须出现.未知函数是多元函数的未知函数是多元函数的称为称为,如如2222220.uuuxyzxxdyd2 gtdxd 22),(zyxfu 其中其中但但 y 的导的导间关系的方程间关系的方程,称为称为.其一般形式其一般形式：2.方程中出现的方程中出现的,称为微分方程的称为微分方程的.如如:例例1 为一阶为一阶,例例2 为二阶为二阶.3.能能使使方程成为恒等式的函数方程成为恒等

5、式的函数,称为微分方程的称为微分方程的.特别地特别地：(1)带有与方程阶数相同个数的任意常数带有与方程阶数相同个数的任意常数(且相互独立且相互独立)n 阶方程的通解的一般形式阶方程的通解的一般形式：1(,)nyy x CC.0),(1 nCCyxF或或的解称为微分方程的的解称为微分方程的.),(1相互独立相互独立nCC (2)确定了通解中任意常数的解称为微分方程的确定了通解中任意常数的解称为微分方程的.xxdyd2 gtdxd 22请同学们讨论请同学们讨论：习题习题8-2(第第206页页)14.由由实际情况提出的可确定通解中任意常数的条实际情况提出的可确定通解中任意常数的条件称为件称为.如如:

6、00:;x xyy 一一阶阶0001:,.x xx xyyyy 二二阶阶 求微分方程满足初始条件的特解问题求微分方程满足初始条件的特解问题,称为称为微分方程的微分方程的,形式为形式为：()(,)0.nF x y y yy 00,x xyy ,10yyxx 0(1)1,.nnx xyy 1.(1)1.yyxCexyy 例例 验验证证是是方方程程的的解解yeCy 1y ,11yeCy 代入方程左端代入方程左端:yyx )1(11yCe ,xyeCy )1(yx11yx(1)xy=1=右端右端证毕证毕122.5.xxyC eC ex 例例 求求所所满满足足的的微微分分方方程程125xxyC eC e

7、x 因因为为121xxyC eC e 所所以以12xxyC eC e 且且消去了消去了 C1,C2 的关系式就是所要求的微分方程的关系式就是所要求的微分方程.5yyx 即为所即为所求微分方程求微分方程.一阶微分方程的一般形式一阶微分方程的一般形式:),(0),(yxfyyyxF 或或 二、一阶二、一阶一阶微分方程有时也可写成如下的对称形式一阶微分方程有时也可写成如下的对称形式:0),(),(dyyxQdxyxP两种形式是等价的两种形式是等价的.(一一)若一个一阶微分方程可化成若一个一阶微分方程可化成dxxfdyyg)()(的形式的形式,则称此则称此方程为方程为.),(yxfy )()(yhxg

8、 或或可分离变量方程的解法可分离变量方程的解法:xdxfydyg)()(两边积分两边积分,得得 ydyg)(xdxf)(CxFyG )()()(ydG)(xdF则有则有为方程为方程的的隐式通解隐式通解.1010yxd ydx 1.10.xydydx 例例 求求解解微微分分方方程程yxdxdy 10yx1010 1010ln10ln10yx +Cln10C 10100 xyC 即为所求即为所求微分方程的通解微分方程的通解.2.2,(1)1.dyxyydx例例 求求解解12,d yxdxy 2lnyx,C(1)1y 由由得得1,C 所以所所以所求求特解特解：2ln1,yx21.xye 或或3.01

9、ln2 yxyyx求解微分方程求解微分方程21ln,yxdydxyx 其为其为所求所求微分方程的通解微分方程的通解.211ln,yxdydxCyx 221lnyy211(ln),2xC 即即)2()(lnln2122CCCxyy (,)(,),(0)kf tx tyt f x yt若若有有则称则称 f(x,y)为为.则则 f(x,y)为为,.yx 若若方程可表为方程可表为:(,)d yyf x ydxx 则称此则称此方程为方程为.的形式的形式,(,)1,yf x yfx;,),(一次齐次函数一次齐次函数yxxyyxf ;,2),(33二次齐次函数二次齐次函数xyxyxf ;,),(零次齐次函数

10、零次齐次函数yxyxyxf 且有且有),(),(,0yxftytxfk 即即当当例例:xyxyyxtan)1(22(2)()0y dxxxy dy.tanxyxyy 22xxyydxdy ,yux 令令dydx)(u dyydxx ()dudxuux 分离变量分离变量:uudu)(2.1yxyx ,yxu dxduxu ,lnCx (积分积分,回代回代)齐次方程齐次方程齐次方程齐次方程xyxyyxtan)1(,tanxyxyy 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解:,yux 令令,yxu xdyddxduxu uutan 分离变量分离变量：uducotxdx1 usinlnxln Cln

11、sinuCx 回代回代sin,yCxx即为所求通解即为所求通解.22(2)()0y dxxxy dy22dyydxxyx 21yxyx ,yux 再再令令计算比较繁琐计算比较繁琐,现现把把 x 与与 y的地位互换一下的地位互换一下,从而有下列解法从而有下列解法.22(2)()0y dxxxy dy2,dxxxdyyy ,yxv 令令,yvx dxdydvyvdy分离变量分离变量:所以所求所以所求通通解解:2vv2dvvdyy 1vyln ,lnC veCy1.xyeC 22dxxyxdyy 2.求微分方程满足所给初值条件的特解求微分方程满足所给初值条件的特解:.2,)(122 xydxyxyd

12、yx22dyxydxxy ,yux 令令,yxu,dxduxudxdy 则则方程通解为方程通解为,ln222Cxxy 得得由由21 xy,2 C所以方程特解为所以方程特解为,xyyx 原齐次方程可化为原齐次方程可化为,1uudxduxu ,1dxxudu 即即两边积分得两边积分得,ln212Cxu .2ln222 xxy 一阶线性微分方程的一般形式一阶线性微分方程的一般形式:)()(xQyxPdxdy 其中其中 P(x),Q(x)为已知的连续函数为已知的连续函数.,故称为故称为.2)P(x),Q(x)可为任意可为任意的的连续函数连续函数.1)方程中未知函数方程中未知函数 y 及其导数及其导数

13、的次数均为的次数均为y 3)方程中方程中 Q(x)称为称为或或,.()0,()0Q xyP x y 当当即即称为称为()0,()()Q xyP x yQ x 当当即即称为称为(1)(2)1(0)(yxPyyxPdxdy)(CdxxPyln)(ln dxxPeCy)(xdxPydy)(先先求出对应的齐次线性方程求出对应的齐次线性方程(1)的通解的通解：.)(dxxPeCy以以 C(x)代替代替C,即令即令.)()(dxxPexCy把所把所令令 y 代入方程代入方程：CdxexQxCdxxP )()()(C:任意常数任意常数)()()(CdxexQeydxxPdxxP 求出求出 C(x):)()(

14、xQyxPy )2()()(xQyxPy 非齐次线性方程非齐次线性方程(2)的的:dxexQedxxPdxxP)()()()()()(CdxexQeydxxPdxxP dxxPeC)(=+y=y+*y例例1：.lnxxyyx 求求的的通通解解1lnyyxx,1)(xxP dxxey1(lnln).xxC,ln1)(xxQ lnxe ln1lnxedxCx x 1lndxCx x1()1lndxxedxCx ()()()P x dxP x dxyeQ x edxC 例例2：5202(1):11.xdyyxdxxy 求求满满足足初初值值条条件件的的特特解解,12)(xxP dxxey12,)1()

15、(25 xxQ)1ln(2 xe2512(1)dxxxedxC )()()(CdxexQeydxxPdxxP 52ln(1)2(1)xxedxC 2)1(x522(1)(1)xxdxC 例例2：5202(1):11.xdyyxdxxy 求求满满足足初初值值条条件件的的特特解解 dxxey122512(1)dxxxedxC )()()(CdxexQeydxxPdxxP 2)1(x12(1)xdxC 2)1(x522(1)(1)xxdxC 2)1(xy2)1(x322(1),3xC得得由由10 xyC 321所以所以31 C则所求的特解为则所求的特解为32221(1)(1).33yxx12(1)x

16、dxC 例例2：5202(1):11.xdyyxdxxy 求求满满足足初初值值条条件件的的特特解解)()()(CdyeyQexdyyPdyyP )()(yQxyPdydx 形如形如例例3.0)(dyxyydx求解求解,yxydxdy yyxdydx dyye1)(lnlnCdyeeyy 1ydyCy 1(1)dyyedyC ,11 xydydx即即,1 yx).ln(Cyy 习题习题8-3(第第212页页)1(3),2(2),4(2),5(1)二二阶及二阶阶及二阶以上的微分方程统称为以上的微分方程统称为。二阶二阶微分方程的一般形式：微分方程的一般形式：0),(yyyxF(1)可降阶的二阶微分方

17、程可降阶的二阶微分方程；(2)二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程。二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程。),(yyxfy 或或(一一)()(xfyn)1()(nnyy因为因为所以所以1)1()(Cxdxfyn 同理可得同理可得 2)2(Cxdyn 1)(Cxdxf xd xdxf)(依次通过依次通过n次积分次积分,可得含可得含n个任意常数的通解个任意常数的通解.,)(xf 21CxC 型的微分方程型的微分方程 例：例：.xexy xexy 221xexy 361xexy 4241+C1;+C1 x+C2 ;xCxC2212 +C3.型型二二),()(yxfy .变量代换，降阶变量代换，降阶)(x

18、Py 令令代入方程代入方程：),(PxfP 为一阶为一阶微分方程微分方程，),(1CxP 解得通解：解得通解：解此一阶微分方程解此一阶微分方程，.),(21CxdCxy ,)(xPy ),(1Cxy 最后得原方程通解：最后得原方程通解：1.的特解。的特解。的满足初值条件的满足初值条件求微分方程求微分方程2,1:11 xxyyyyxPPx xxdPPd)(xPy 令令P=C1 x,即即,1xCy ,)(xPy 1lnlnlnCxP 1.的特解。的特解。的满足初值条件的满足初值条件求微分方程求微分方程2,1:11 xxyyyyx21CxdxCy 通解：通解：,1xCy 2212CxC 由由初值条件

19、得：初值条件得：1221CC21 C 21C02 C则所求特解为则所求特解为2xy .23xxyyx 2.)(xPy 令令,23xxPPx )1(1)2(2)2(CdxexePdxxdxx xeln2.2134122314CxxCxy ：通解通解,)(xPy y,213xxCx )1(1ln22Cdxexx 2x)1(12Cdxx 21x,122 xPxP 习题习题5-6(3)(第第135页页)1(1,6),3 未知函数及其各阶导数都是一次的方程，称未知函数及其各阶导数都是一次的方程，称：)()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 的连续函数。的连续函数。都是都是其中其中x

20、fPPn,1时，时，当当0)(xf称其为称其为线性微分方程线性微分方程；时，时，当当0)(xf称其为称其为线性微分方程。线性微分方程。为为。二阶二阶线性微分方程线性微分方程：二阶二阶线性微分方程线性微分方程：,0)()(yxQyxPy,)()()(xfyxQyxPy (1)(2)引进引进：yxQyxPyyL)()(记记则则(1)(2).0 yL.)(xfyL 设设 y1,y2 是是 L y=0 (1)的两个解的两个解，2211yCyCy 也是也是(1)的解的解，其中其中C1,C2 为任意常数为任意常数。2211yCyCy 是否就是是否就是(1)的通解的通解？则则如：如：设设 y1 是是L y=

21、0 的解的解，则由定理则由定理1，12112yCyCy 也是也是 L y=0 的解的解。121)2(yCCy 1yC 但不是但不是 L y=0 的通解的通解。)2(21CCC 则则 y2=2y1也是其解，也是其解，上的上的是定义在区间是定义在区间设设Ixyxyn)(,),(1 n 个函数个函数，如果存在如果存在 n 个不全为零的常数个不全为零的常数,1nkk使得当使得当 x 在该区间内取值时在该区间内取值时，02211 nnykykyk有有成立，就称这成立，就称这n 个函数在区间个函数在区间 I 内内；否则，否则，称称。在任何区间在任何区间a,b上都是线性无关的上都是线性无关的。例：例：1,c

22、os,sin22xx这三个函数在整个数轴上这三个函数在整个数轴上是线性相关的。是线性相关的。,21（常数）（常数）若若Cyy,21（常数）（常数）若若Cyy 线性相关；线性相关；与与则则21yy线性无关。线性无关。与与则则21yy1,2xx而而设设 y1与与 y2 是是(1)的两个线性无关的特解的两个线性无关的特解，2211yCyCy 则则(C1,C2 为任意常数为任意常数)就是二阶齐次线性微分方程就是二阶齐次线性微分方程(1)的通解的通解。例：对例：对,0 yyxxeyey 21,都是方程解都是方程解，xxxeee2 为通解。为通解。xxeCeCy 21常数，常数，特解，特解，*y设设是二阶

23、非齐次线性微分方程是二阶非齐次线性微分方程(2)的一个的一个y是其所是其所对应的齐次线性微分方程对应的齐次线性微分方程的通解，则的通解，则*yyy 方程方程(2)的的。(1)非齐次非齐次(2)通解通解=对应齐次对应齐次(1)通解通解(2)特解特解是非齐次线性微分是非齐次线性微分),()()(21xfxfxfyL 设设的特解，的特解，是是若若)(1*1xfyLy 的特解，的特解，是是)(2*2xfyLy 的特解。的特解。是是则则)()(21*2*1xfxfyLyy 例：例：xexyy23 易证易证的特解，的特解，xyy 的特解，的特解，xeyy23 21yyy则则是是xy *1是是xey22*x

24、 。的特解的特解原方程原方程是是xe2 例：例：xexyy23 ,0 yy对对又又显然显然的特解，的特解，xyy 的特解，的特解，xeyy23 xxeCeCy 21则则,21xxeCeCy 已知已知是是xy *1是是xey22*xex2 是原方程的特解，是原方程的特解，则则xexyy221*。的通解的通解原方程原方程是是1.求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解:0)4()3(2 dyxxydx,42xxdxydy 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程,分离变量分离变量,得得dxxxdyy)411(411 即即两边积分两边积分,得得,ln)4ln(ln41lnCxxy ,ln4ln41l

25、nCxxy ,ln4lnlnCxxy 4xxCy 44即为所求通解即为所求通解.03)()6(233 dyxydxyx2333xyyxdxdy 原方程可化为原方程可化为)(3122xyyx 齐次方程齐次方程,dxduxudxdy ,uxy 令令,xuy 则则),1(312uudxduxu 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程,得得,21332xdxduuu ,lnln213 32Cxduuu 则则),ln()21(2112133Cxudu 03)()6(233 dyxydxyx),ln()21ln(213Cxu 即为所求通解即为所求通解.),ln()21(2112133Cxudu ,)ln

26、()21ln(23 Cxu,)(2123 Cxu得得回代回代 ,xyu 233)(21 Cxxy3.求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解:txdtdxt )2()2(,221 ttxtdtdx一阶非齐次线性微分方程一阶非齐次线性微分方程,所以所求通解为所以所求通解为),()(tQxtPdtdx )()()(CdtetQexdttPdttP 22121Cdtettexdttdtt 2)2ln()2ln(Cdtettett )2()2(2Cdtttt 21)2(Ctdtt 212)2(Cdttttt )2ln(2)2(Ctttt 4.求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初

27、始条件的特解:.2ln,)11()1(1 xydxxyxdy,111 xyxdxdy所以通解为所以通解为)()()(CdxexQeydxxPdxxP 1111Cdxexedxxdxx 11lnlnCdxexexx )1(1Cdxxxx )111(Cdxxxx )1ln(lnCxxx 4.求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解:.2ln,)11()1(1 xydxxyxdy所以通解为所以通解为)1ln(lnCxxxy ),1(lnCxxx ,2ln1得得代入代入将将 xy,21ln2lnC ,0 C所以所以则所求特解为则所求特解为.1ln xxxy1.求下列微分

28、方程的通解求下列微分方程的通解:xxycos2)1(则所求通解为则所求通解为 1)cos2(Cdxxxy,sin12Cxx 212)sin(CdxCxxy ,cos31213CxCxx 3213)cos31(CdxCxCxxy.2sin12132214CxCxCxx xxeyxy 1)6(所求通解为所求通解为),(型型yxfy ,py 设设,py 则则原方程可化为原方程可化为,1xxepxp 111Cdxexeepdxxxdxx 1lnlnCdxexeexxx 11Cdxxxexx )(1Cexx ,1xCxepyx 则则21)(CdxxCxeyx ,1xCxex 2212)(CxCexdx

29、2212CxCdxexexx .2221CxCexexx .12 )1,0(.3相相切切的的积积分分曲曲线线与与直直线线且且在在此此点点的的经经过过点点试试求求满满足足方方程程 xyMxy:程初值问题程初值问题本题即求解下列微分方本题即求解下列微分方 xy1)0(y21)0(y 得得由由xy 1Cxdxy,2112Cx 212)21(CdxCxy ,61213CxCx 由初始条件得由初始条件得,12 C211 C 为为则所求积分曲线的方程则所求积分曲线的方程.121613 xxy二阶线性微分方程：二阶线性微分方程：)()()(xfyxQyxPy 则则均为常数均为常数若若),()(,)(qxQp

30、xP ：0 yqypy)(xfyqypy ：(1)(2)称为称为二阶常系数线性微分方程。二阶常系数线性微分方程。求二阶常系数齐次线性微分方程求二阶常系数齐次线性微分方程0 yqypy(1)由由(1)的特点的特点，应属同一类函数，应属同一类函数，与与yyy ,用用指数函数指数函数xrey （其中其中 p,q 为常数为常数）的通解的通解。进行尝试进行尝试，是方程是方程(1)的解的解。xrey 设设,xrery 代入方程代入方程：(*)02 qrpr。,2xrery 则则得得：(*)中中 的系数就是的系数就是(1)的系数。的系数。中中yyy,一元二次方程一元二次方程(*)的根的根.2422,1qpp

31、r (*)02 qrpr0 yqypy微分方程微分方程(1)212,04rrqp 是是两个不相等的实根；两个不相等的实根；2,04212prrqp 212,04rrqp 是两个相等的实根；是两个相等的实根；是是一对共轭复根一对共轭复根，.24222,1 ipqipr xrey 设设是是齐次线性微分方程齐次线性微分方程(1)的解的解，,2121xrxreyey xrrxrxreeeyy)(212121 且且 常数常数，即即 y1,y2 线性无关。由定理二线性无关。由定理二，(1)的通解的通解：.2121xrxreCeCy (a)当当)(21实数实数rr (b)当当221prr ,2121yeey

32、xrxr y1,y2 线性相关线性相关，另另找找 y2，使与使与 y1 线性无关线性无关。),(12xuyy 设设(1)的通解的通解：xrxrexCeC1121.)(21xrexCC y)(21rrr ),()(112xuexuyyxr 把把 y2 代入方程代入方程,得得,0)(xu,)(xxu 所以可取所以可取,)(112xrexxuyy 则则(c)当当),0(2,1 ir,)(1xiey ,)(2xiey xixeey 1由欧拉由欧拉公式：公式：sincosiei 再由解的再由解的叠加原理，叠加原理，,cos)(2121xeyyx ,sin)(2121xeyyix 也是也是(1)的解的解，

33、1y 2y常数，常数，且且 21yy(1)的通解的通解：)sincos(21xCxCeyx ,2211yCyCy )sin(cosxixex xixeey 2)sin(cosxixex 0 yqypy求求通解的步骤通解的步骤：写出对应的特征方程写出对应的特征方程：(1)(2)(3);02 qrpr求出求出特征根特征根：;,21rr根据下表写出方程根据下表写出方程(1)的通解的通解：(1)21rr xrxreCeCy2121 rrr 21xrexCCy)(21 )0(2,1 ir)sincos(21xCxCeyx (实数实数)例例1：求求下列微分方程的通解下列微分方程的通解：05.1 yyxxe

34、CeCy5251 特征方程特征方程：052 r,52,1 r096.2 yyy特征方程特征方程：,0962 rr,3 rxexCCy321)(为通解为通解。为通解为通解。3.052 yyy为通解为通解。为通解为通解。特征方程特征方程：特征方程特征方程：4.,0522 rr,21ir )2,1()2sin2cos(21xCxCeyx .0 yy,012 r,ir )1,0(xCxCysincos21 )0(，？，？若若 yy)0(2 rr)1,0(r).(21xeCCy 6)()0(0 x例例2：的特解。的特解。求求6)0(,2)0(,034 yyyyy特征方程特征方程：xeCy 1xeC32

35、为为通解通解。,2)0(y212CC xxeCeCy3213 221 CC6321 CC xey 6xe34 为为所求特解所求特解。0342 rr0)3)(1(rr3,121 rr,4,621 CC 习题习题11-1(第第304页页)1(1,2,4),2(1,2)一般形式一般形式：)2()(xfyqypy （p,q 为常数为常数）对应齐次微分方程对应齐次微分方程：,0 yqypy其特征方程其特征方程：.02 qrpr(1)(*)由非齐次由非齐次(2)的通解结构知的通解结构知：.*yyy *y有关。有关。与与)(*xfy.*y.)()()(型型一一xmexPxf 如如 y*与与 f(x)属同一形

36、式函数，就能属同一形式函数，就能使使方程成立。方程成立。f(x)是是 m 次多项式与指数函数的乘积次多项式与指数函数的乘积，xexQy)(*其中其中 Q(x)是待定的是待定的 x 的多项式的多项式。xxexQexQy )()(*,)()(xQxQex ,)()(2)(*2xQxQxQeyx )2()(xfyqypy 22QQQex )()(xfxPemx )(xQ ()即为即为 Q(x)所需满足的条件。所需满足的条件。分三种分三种情况讨论情况讨论：特征方程特征方程02 qrpr的的根根。，即即02 qp 要使要使()成立成立，必须必须 Q(x)与与 Pm(x)同次同次，,)()(1110mmm

37、mmbxbxbxbxQxQ .)(*xmexQy yqypy QqeQQpexx )()2(xQp )()(2xQqp 代入方程：代入方程：将将xexQy)(*)(xPm)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm ()特征方程特征方程02 qrpr的的。,0202 pqp 但但，即即)()()2()(xPxQpxQm ()要使要使()成立，必须成立，必须同次，同次，与与)()(xPxQm 次多项式，次多项式，为为即即1)(mxQ),()()(0mmmbxbxxQxxQ 令令.)(*xmexQxy )()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm ().)(2*xmexQxy ()

38、特征方程特征方程02 qrpr的的。,0202 pqp 且且，即即)()(xPxQm 要使要使()成立，必须成立，必须同次，同次，与与)()(xPxQm 次多项式，次多项式，为为即即2)(mxQ),()()(022mmmbxbxxQxxQ 令令型，型，对对xmexPxf)()(求其求其特解特解，.)(*xmkexQxy 则令则令 当当 不是特征方程的根时，取不是特征方程的根时，取 当当 是特征方程的单根时，取是特征方程的单根时，取 当当 是特征方程的二重根时，取是特征方程的二重根时，取k=0;k=1;k=2.例例1.求下列微分方程的一个特解：求下列微分方程的一个特解：xexyyy222 其其对

39、应的齐次方程的特征方程为对应的齐次方程的特征方程为022 rr2,121 rrxexxf22)(,2 m2 不是特征方程的根不是特征方程的根，xexQxy220)(*令令2 xebxbxb22120)(式式，应应满满足足前前述述其其中中)()(2120bxbxbxQ )()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm )()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm ,2)(10bxbxQ ,2)(0bxQ 2,1,2 qp 代入上式代入上式，得得02b)2(510bxb )(42120bxbxb 2x 即即22101020)452()410(4xbbbxbbxb 140b041010

40、bb0452210 bbb,410 b,851 b,32212 bxebxbxby22120)(*xexx22)32218541(式式，应应满满足足前前述述其其中中)()(2120bxbxbxQ 例例2：求求下列各方程的通解：下列各方程的通解：(1).2364 xyyy 求求出出对应齐次微分方程的通解对应齐次微分方程的通解 求求原原方程的特解方程的特解:y:*y0642 rr由由,22ir xey2.)2sin2cos(21xCxC 23)(xxf,1 m0 不是特征方程的根不是特征方程的根，xexQxy010)(*令令.10bxb 0 .)2sin2cos(212xCxCeyx ,*10bx

41、by 令令.2364 xyyy，则则0*by ，0*y代入原方程代入原方程:23646100 xbbxb 比较系数比较系数:360 b26410 bb .322110 bb.3221*xy.3221)2sin2cos(212 xxCxCeyx(2).22xxeeyyy 222xxeeyyy ),()(21xfxf 步骤：步骤：求求;02yyyy的通解的通解 求求;22*1yeyyyx的特解的特解 求求;22*2yeyyyx的特解的特解 得原方程通解得原方程通解:.*2*1yyyy 222xxeeyyy ),()(21xfxf 特征方程特征方程：022 rr.221xxeCeCy 对对,21xe

42、f 特征方程的根，特征方程的根，m=0,*1xeay 令令.41*1xey 对对,22xef 特征方程的单根，特征方程的单根，m=0,*2xexby 令令.61*2xexy xxeCeCy221 1 1 ,2,121 rr.6141xxexe 型型二二)sincos()()(xBxAexfx .0,且且是是常常数数其其中中BA 由由欧拉欧拉公式及类似前述分析，公式及类似前述分析，)2()(xfyqypy 的的特解为特解为：)sincos(*xbxaexyxk 是待定常数。是待定常数。ba,i 当当不是特征方程的根时不是特征方程的根时，取取 k=0;当当 i 是特征方程的根时是特征方程的根时，取

43、取 k=1.02 qrpr特征方程特征方程例例：.sin24xeyyx .2sin2cos21xCxCy ,)sincos(*xbxaeyx 令令,sin)(cos)(*xabxbaeyx ,)sin2cos2(*xaxbeyx 求求下列微分方程的通解下列微分方程的通解：(1)042 r由由,2ir ,sin2)(xexfx,0 m,1 ,1 i i 1特征方程的根特征方程的根，.0 k代入方程得代入方程得xbxaxaxbsin4cos4sin2cos2 xsin2),sin52cos51(*xxeyx xCxCy2sin2cos21 xbxaxaxbsin4cos4sin2cos2 xsin

44、2 比较系数比较系数：024 ba242 ba ,52,51 ba,)sincos(*xbxaeyx 令令代入方程得代入方程得.sin24xeyyx .2sin2cos21xCxCy 为为通解。通解。).sin2(cos51xxex (2).2cos4xxyy xxyy2cos4 .2sin2cos21xCxCy ,)(1xxf 对于对于0,1 且且m,*1baxy 令令;41*1xy,2ir ,)()(21xfxf ,042 r,)*(1ay 则则,0)*(1 y代入代入xxfyy )(410,41 ba得得 ,2cos)(2xxf 对于对于),2sin2cos(*2xdxcxy 令令，2,0 ,2sin)2(2cos)2()*(2xcxdxdcy 则则,2sin)44(2cos)44()*(2xdxcxcxdy 代入代入xxfyy2cos)(42 81,0 dc得得,2sin81*2xxy(2).2cos4xxyy xxxxCxC2sin81412sin2cos21 *21yyyy 所以原方程通解为所以原方程通解为.2sin2cos21xCxCy ;41*1xy,2sin81*2xxy(2).2cos4xxyy 习题习题11-2(第第310页页)1(1,2,6),2(1)