《高等数学》第7章空间向量与空间解析几何精编版课件.ppt

1、 知识目标知识目标u了解二次曲面的标准方程；了解二次曲面的标准方程；u理解空间直角坐标系、向量的概念；理解空间直角坐标系、向量的概念；u会判断平面与平面、直线与直线以及会判断平面与平面、直线与直线以及直线与平面间的关系；直线与平面间的关系；u掌握向量的线性运算、向量平行和垂掌握向量的线性运算、向量平行和垂直的条件、几种常见的曲面方程；直的条件、几种常见的曲面方程；u熟练掌握两点间的距离公式、平面与熟练掌握两点间的距离公式、平面与直线的各种方程直线的各种方程.能力目标能力目标 通过几何问题代数化，培养学生的抽通过几何问题代数化，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和空间想象思维能力、逻辑推理能力

2、和空间想象能力象能力.德育目标德育目标 借助数形结合的思想，将研究问题的借助数形结合的思想，将研究问题的不同方法进行联结，提高学生的综合不同方法进行联结，提高学生的综合素质与人文素养素质与人文素养.了解空间向量的概念,掌握空间向量的基本定理及其意义,建立空间直角坐标系，以向量为工具,利用空间向量的坐标和相关运算解决空间中的几何问题.通常把x 轴和y 轴配置在水平面上,而z 轴则是铅垂线.它们的正向通常符合右手法则,即以右手握住z 轴,当右手的四个手指从正向x 轴以90度转向正向y 轴时,大拇指的指向就是z 轴的正方向.过空间一个定点O O,作三条相互垂直的数轴,它们都以O O 为原点且一般具有

3、相同的长度单位,这三条轴分别叫做x 轴(横轴)、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴),统称坐标轴坐标轴.这样的三条坐标轴就构成了一个空间直角坐标系O Oxyz,点O O 叫做坐标原点坐标原点(或原点原点).这些坐标面把空间分成八个部分,每一个部分称为一个卦限卦限.x、y、z 轴的正半轴的卦限称为第I卦限.在xO Oy面的上方,从第I卦限开始，按逆时针方向先后出现的卦限依次称为第、卦限;第、卦限下面的空间部分依次称为第、卦限.每两个坐标轴确定的平面称为坐标平面,简称为坐标面坐标面.x 轴与y 轴所确定的坐标面称为xO Oy面,类似地,有yO Oz面,zO Ox面.1.在空间直角坐标系中，指出下列各点在

4、哪个封限？A（1，-2，3）B（2，3，-4）C（2，-3，4）D（-2，-2，1）2.在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置.A（3，4，0）B（0，4，3）C（3，0，0）D（0，-1，0）空间中的任意一点P 与唯一一组有序数组x、y、z之间建立起一一对应的关系.xyOxyzOPABC这组数就叫做点P 的坐标坐标，并依次称x、y、z为点P 的横坐标、纵坐标和竖坐标,记为P(x,y,z).xyz(x,y,z)（M1PQ都是直角三角形）是直角三角形）2d2221QMQM 221MM 22221QMPQPM 任取空间两点任取空间两点 M1(x1,y1,z1)、M2(x2,

5、y2,z2),它们之间的距离为它们之间的距离为d=|M1M2|.过点过点 M1、M2 各作三个平面分别垂直各作三个平面分别垂直于三个坐标轴于三个坐标轴,形成如图的长方体形成如图的长方体.（M1QM2 是直角三角形）是直角三角形）zOxyx1y1z1M1M2P 1M 2M Q()PQ222221QMMPPM 212212212)()()(zzyyxx z2y2x221221221221zzyyxxMMd222zyxOMd两点间距离公式：两点间距离公式：特别地，点特别地，点 M(x,y,z)与原点与原点O(0,0,0)的距离：的距离：2.在y轴上找一点，使它与点A（3，1，0）和点 B（-2，4，

6、1）的距离相等.1.利用两点间距离公式求下列两点间距离.（1）A（3，4，0）B（0，4，3）（2）C（3，0，0）D（0，-1，0）定义定义7.1 7.1 既有大小又有方向的量称为向量向量(或矢量矢量););向量的大小称为向量的模模.代数法代数法表达方式表达方式几何法几何法用始点为A 终点为B 的有向线段 表示ABAB图示图示用带有箭头的小写字母 表示或用黑体字母 表示.,cba,，a(或 )记作向量AB向量的模向量的模，a(或 )AB(注：注：模长是标量)0模长为零的向量.模长为1的向量.(方向是任意的)零向量零向量单位向量单位向量记作记作e(方向未做规定)模长相等,方向相反的向量.相反向

7、量相反向量记作a模长相等,方向相同的两个向量.相等向量相等向量记作ba向量可以在空间中任意平移.注注 与始点、终点位置无关；图示图示ab图示图示aa注注aa方向相同或相反的非零向量.平行向量平行向量记作ba/平行向量又可称作共线向量.注注零向量与任何向量都平行.图示图示ab向量的加法运算向量的加法运算向量的减法运算向量的减法运算向量的数乘运算向量的数乘运算向量的线性运算向量的线性运算三角形法则三角形法则运算法则运算法则平等四边行法则平等四边行法则AB图示图示图示图示CDABACBCABACC CAACADAB三角形法则三角形法则运算法则运算法则平等四边行法则平等四边行法则AB图示图示图示图示C

8、DABCBACABCDBADABCBDB注 数乘运算后的结果仍是一个向量.a记作一个向量 与一个实数 的乘积.a定理定理 向量 与向量 平行(或共线)的充要条件是：ab存在不全为零的实数 和 ,使得 .0 ba0aaa0a若有 成立,则称向量 为原向量 同方向的a单位向量单位向量.，323213213133232eeceeebeeeacba32已知求：.32321321313323322eeeeeeee解：解：cba32 33322211336139462eeeeeeee18eakajaiaazyxkji、zyxaaaa，在空间直角坐标系Oxyz中，取与Ox轴、Oy轴、Oz轴同向的单位向量 .

9、则称 为向量向量 的分解式的分解式；称为向量的坐向量的坐标式标式.坐标式坐标式分解式分解式(为常数)zyxaaaa，kbajbaibabazzyyxxzzyyxxbabababa，kajaiaazyx)()()(为常数)1.已知两点M1(0，1，2)和M2(1，-1，0),试用坐标式来表示向量 与 .21MM212MM5,1,4 OAOBOA2.已知 与 ,求向量 与 的坐标.0,8,1OBAB 掌握向量的数量积和向量积的定义，能够灵活运用运算规律，并熟训练使用判断向量平行或垂直的条件.引例引例 设一物体在常力F 作用下沿直线从点M1移动 到点M2,以S 表示位移 ,则力F 所做的功 为 ,其

10、中 为F 与S 的夹角.21MMcosSFW M1M2FM1M2ScosF特别地，特别地，ab2)(ba，ba时,称 与 垂直；垂直；记作：ab或ba/0)(ba，时,称 与 平行平行或共线；共线；记作：ab定义定义 任意两个向量 ,的数量积数量积(或内积内积)是一个ab)(cosbababa，数量,记作 ,即 .ba，注：注：0)(ba )(ba，定义定义 两个非零向量 与 ,它们的夹角 称为向向量量 与与 的夹角的夹角,记作 .abab定义法定义法坐标法坐标法zzyyxxzyxzyxbababababbbbaaaa，则：设，)(cosbababa，数量积的性质数量积的性质，则满足：及实数，

11、对于任意向量cba2aaa）（10bababa则两个非零向量，）（2数量积的运算律数量积的运算律 abba交换律1 1 baba结合律2 cbcacba)(分配律3 3).()()()(3)(32babababababa与求设，解：解：5)()(22babbaababa19332222)()(33cos32)(cos2222bbaabbbaaabababababa 所以 因为，222222)(coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababababababa，夹角的余弦公式为：，两个非零向量sin,FOPFOQMMOOPFPFLO 它的模为,的力矩是一向量点 力F对支,的夹角为与杠杆上点

12、作用于这的支点，力为一根杠杆设 引例引例FPOLQ构成右手系.,且都垂直,和方向规定为与 其,，其大小为,记作向量,仍是一个的和,和给定两个向量 bababababababababa,)(sin)(或或外外积积向向量量积积定定义义右手系规则图示右手系规则图示ba，注：注：0 ba的角到是ba向量积模的几何意义向量积模的几何意义面积.为邻边的平等四边形的，以ba分解式法分解式法坐标法坐标法yxyxzxzxzyzyzyxzyxbbaabbaabbaababbbbaaaa，则：设kbbaajbbaaibbaabbbaaakjibakbjbibbkajaiaayxyxzxzxzyzyzyxzyxzyx

13、zyx则：设，1426421264421222421222.21sin21kjiABCSkjikjiACABACABACABAACABABCSABC于是，所以由于 的面积为知根据向量积的定义，可，的面积.求的顶点分别是已知ABCCBAABC，)742()543()321(解：解：向量积的性质向量积的性质，则满足：及实数，对于任意向量cba0aa）（10/2bababa则两个向量，）（向量积的运算律向量积的运算律 abba反交换律1 1 baba结合律2 cbcacba)(分配律3 3zyxzyxzyxzyxzyxzyxcccbbbaaacbaccccbbbbaaaa 则它们的混合积为：,，设，

14、是什么样的四边形？那么如果四边形ABCDbaCDbaBCbaABABCD，中，中，3542 bababbababa2,12121323221试求下列向量：已知向量，平面和直线是几何学中最基本的研究对象,是一些向量空间和几何空间中某些对象的最基本原型,同时它们也是几何分析中“以直代曲”的最基本元素.本章中要求掌握平面和直线的代数表达形式以及点、线、面间的位置关系.的面 为平向量是唯一确定的，此时称的平面 垂直且与非零向量在空间中通过一定点 法法向向量量nnM0定定义义CBAn，)(0000zyxM，平面的法向量平面的法向量0000000zzCyyBxxAnMMnMMzyxM为：故.即,则有),(

15、上任取一点在平面平平面面的的点点法法式式方方程程，平面的点法式方程平面的点法式方程0，其中由点法式方程可得：2220000CBACzByAxDDCzByAx，平面的一般式方程平面的一般式方程解：解：求过两点M1(2，-1，1)和M2(3，-2，1),且平行于z轴的平面方程。0100100,01122yxBAMCCBAznzCyBxA平面方程为：.则所求程得：在平面上，代入平面方又有.，得轴，故有其法向量，的平面方程为设过点M1，解：解：求过点M(1，-1，2),且与平面2x-y+3z+7=0平行的平面的一般方程。.09320231123,1,20732zyxzyxnnzyx未知平面为：法向量.

16、由点法式可得也是未知平面的一个.又知两平面平行，故向量的一个法已知平面,由平面的一般方程可知直线的点向式和参数方直线的点向式和参数方程程直线方程的一般式直线方程的一般式直线方程的两点式直线方程的两点式三种表达形式三种表达形式.的为直线是唯一确定的，则称 平行的直线与非零向量在空间中通过一定点且 方方向向向向量量LsLs定定义义M(x，y，z)LM0(x0，y0，z0)s=l，m，nM(x，y，z)M0(x0，y0，z0)sMM/0nzzmyylxx000tntzzmtyyltxx000nzzmyylxx000直线的对称式方程直线的对称式方程（或向式方程）：（或向式方程）：直线的参数方程：直线的

17、参数方程：0022221111DzCyBxADzCyBxA直线的一般式方程直线的一般式方程 程.化为对称式与参数式方的一般方程将直线,421zyxzyxL13112311121312321121111121111111120,212100000000tztytxzyxLkjikjinnsnnsLLMzyzyzyLxzyxML其参数式方程为：;的对称式方程为：则直线故有都垂直,与两平面的法向量的方向向量上.又知直线)在直线(.故中，得到一般方程带入1,可令),(上任取一点在，例题例题解：解：（两个相交平面的交线来表示）则直线方程：则直线的方向向量为确定唯一一条直线,点空间中任意不重合的两,),(

18、),(121212222111zzyyxxMNszyxNzyxM：直线的两点式方程直线的两点式方程 121121121zzzzyyyyxxxx两平面的位置关系两平面的位置关系两直线间的位置关系两直线间的位置关系直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系三三 种种 关关 系系则 空间中两平面方程 ,0,02222211111DzCyBxADzCyBxA：定理定理三种位置关系相交、平行、重合.重合与平面平行与平面:相交与平面22222222DDCCBBAADDCCBBAACBACBA11112111112122211121；两种位置关系异面、共面.00222111121212222111121212

19、2121nmlnmlzzyyxxLLnmlnmlzzyyxxLL共面与异面与；平行重合相交则 式方程为知空间中两直线的对称 ：,2222222111111nzzmyylxxnzzmyylxxLL1定定理理则:的方程为 及平面的方程为：直线 ,0000DCzByAxnzzmyylxxL定定理理三种位置关系相交、平行、直线在平面上.且 上在平面直线平行与平面直线相交与平面直线0000000DCzByAxCnBmAlLCnBmAlLCnBmAlL；的位置关系.和平面4-确定直线 例551232zyxzyx11 平面上.故直线在.直线与平面有公共点则,的法向量平面,点.直线的方向向量)为直线和平面的公

20、共点(,01,1,14,1,35,2,2nsnsns例例 题题解：解：的平行的平面方程.1)且与平面7-，2，求过点(3 例014 zyx22 解：解：.得代入平面方程,面上,)在此平点(,面方程为设与已知平面平行的平181,2,307DDzyx.:的距离为则该点到平面外一点,是平面点22200000000:),(CBADCzByAxdDCzByAxzyxM点到平面距离公式点到平面距离公式.20为规定直线与平面的夹角当直线与平面垂直时,规定夹角为面平行时,当直线在平面内或与平特别地,；直线与平面的夹角直线与平面的夹角2,0L.的夹角和平面试求直线0000DCzByAxnzzmyylxx.sin

21、,cossin,222222nmlCBACnBmAlnsnsCBAnnmls 有,夹角余弦的坐标表达式.根据两向量则2为：平面的夹角所以直线与,平面的法向量,直线的方向向量例例 题题解：解：注注：上结论可作为公式应用上结论可作为公式应用.12n1.,;时,2当 时,20,当来定义.夹角可以由它们的法向量的两平面间的夹角：规规定定两个平面间夹角两个平面间夹角时20,当1n22n 1n 时2当,2注注：可类似地定义两条直线之间的夹角可类似地定义两条直线之间的夹角.本章建立了作为点的轨迹的曲线与其方程之间的联系，把研究曲线与曲面的几何问题，归结为研究其方程的代数问题，从而用代数的方法对一些曲线与曲面

22、进行研究创造了条件.通过本章节的学习，将逐步培养学生的空间感，加强运用代数与几何相结合的方法分析问题和解决问题的能力.,的的图图象象方方程程的的方方程程曲曲面面定定义义0就称为 而曲面,0就称为方程那么,0,程上的点坐标都不满足方不在曲面2 0;方程上任意一点坐标都满足曲面1 :有下述关系0,与三元方程如果曲面 zyxFSSzyxFzyxFSzyxFSzyxFS任何曲面都可看成是点的几何轨迹任何曲面都可看成是点的几何轨迹.0)(zyxF，注：注：一般地，三元方程 的图象都是空 间曲面.,母母线线准准线线柱柱面面定定义义叫做柱面的动直线,叫做柱面的定曲线 形成的轨迹称为移动的直线线平行于定直线并

23、沿定曲 LCLC椭椭圆圆柱柱面面.轴为母线的柱面称1为准线、以二次曲线zbyax2222双双曲曲柱柱面面.轴为母线的柱面称1为准线、以二次曲线zbyax2222抛抛物物柱柱面面.轴为母线的柱面称为准线、以二次曲线zpyx22xzyoxzyoxzyo.,0,222222czbyaxcbacbaczbyax且称为椭球面的其中所确定的曲面称1由方程半半轴轴椭椭球球面面，.0,0,02222球球面面为半径的为球心、点表示以原那么方程,如果特殊地,RORzyxRcbazxoy.0,222222单单叶叶双双曲曲面面所确定的曲面称1由方程cbaczbyax察其形状的方法.所得到的平面曲线以考指用特殊的平面截

24、曲面截截痕痕法法zxoy.所得截痕为及平面用坐标面椭椭圆圆0)0(1zzzxoy.所得截痕为及平面用坐标面双双曲曲线线0)0(1xxxyoz.所得截痕为及平面用坐标面双双曲曲线线0)0(1yyyxoz单叶双曲面单叶双曲面.0,222222双双叶叶双双曲曲面面所确定的曲面称1由方程cbabyaxcz，zxoy.称为轴交于点而与轴不相交,轴和双叶双曲面与顶顶点点:注注),0,0(czyx双叶双曲面双叶双曲面.,2222椭椭圆圆抛抛物物面面所确定的曲面称同号由方程qpzqypx.所得截痕为及平面用坐标面椭椭圆圆0)0(1zzzxoy.此时称该曲面为椭圆抛物面的方程为时,当特殊地,旋旋转转抛抛物物面面

25、pzyxqp222.所得截痕为及用平面线线抛物11yyxx椭圆抛物面椭圆抛物面zxoy.2222马马鞍鞍面面双双曲曲抛抛物物面面或所确定的曲面称由方程zbyaxzxoy.上开口朝下的为平面截此曲面所得截痕用平面抛抛物物线线txltx双曲抛物面双曲抛物面 本章主要从空间向量入手，给出空间直角坐标系、向 量的概念、表示方法、线性运算及其数量积与向量积 的运算.进一步建立作为点的轨迹的曲线与其方程之间 的联系，把研究曲线与曲面的几何问题，归结为研究 其方程的代数问题，从而，用代数的方法对一些曲线 与曲面进行研究创造了条件.本章重点是：1.运用坐标 求向量的数量积、向量积、夹角、距离等线性运算；2.求平面与直线方程；3.判断平面与平面、直线与平 面、直线与直线间的位置关系；4.判断空间各种曲面 的形状.本章难点是：1.求异面直线间的距离；2.常用 空间曲面的求法.