人教版B版高中数学选修3-4(B版)正方形的对称变换群课件.ppt

1、正方形的对称变换群正方形的对称变换群知识填充我们已经知道了正三角形的对称变换群。那么对于正方形，我们也通过直观的图形变换来研究它的对称变换群。我们仍通过构造它的对称变换群的方法来研究这个群。知识填充首先，我们要搞清楚正方形都有哪些对称变换。我们通过图形来看：1.通过旋转变换，如图是顺时针旋转90度的例子。知识填充我们知道正方形旋转0度，90度，180度，270度都是保持图形不变的变换，分别把它们记作s（0），s（90），s（180），s（270）。2.通过轴对称变换。如图：我们把对称轴和水平正向的夹角当作参数，分别记作t（0），t（45），t（90），t（135）要点总结这样，我们知道了正方形

2、的对称变换群D4为：D4=s（0），s（90），s（180），s（270），t（0），t（45），t（90），t（135）在这里，我们来看看它是否满足群的条件。1.可结合的封闭的二元运算。我们定义D4中任意两个元素的乘积运算为先进行右边的变换，然后进行左边的变换。我们需要验证它是否封闭：要点总结s（0）s（0）=s（0）；s（0）s（90）=s（90）；s（0）s（180）=s（180）；s（0）s（270）=s（270）；s（0）t（0）=t（0）；s（0）t（45）=t（45）；s（0）t（90）=t（90）；s（0）t（135）=t（135）；s（90）s（90）=s（180）；s（90

3、）s（180）=s（270）；s（90）s（270）=s（0）；s（90）t（0）=s（270）；s（90）t（45）=s（90）；s（90）t（90）=t（45）；s（90）t（135）=t（90）；要点总结s（180）s（180）=s（0）；s（180）s（270）=s（90）；s（180）t（0）=t（90）；s（180）t（45）=t（135）；s（0）t（90）=t（0）；s（0）t（135）=t（45）；s（270）s（270）=s（180）；s（270）t（0）=s（45）；s（270）t（45）=t（90）；s（270）t（90）=t（135）；s（270）t（135）=t（0

4、）；要点总结t（0）t（0）=s（0）；t（0）t（45）=s（270）；t（0）t（90）=s（180）；t（0）t（135）=t（90）；t（45）t（45）=s（0）；t（45）t（90）=s（270）；t（45）t（135）=s（180）；t（90）t（90）=s（0）；t（90）t（135）=s（270）；t（135）t（135）=s（0）；要点总结通过上面28种的变换，我们发现这种封闭的二元运算是封闭的，即经过运算之后得到的元素仍然在D4中。2.结合律。我们任取D4中三个元素a、b、c，有（ab）c=a（bc），因为改变变换的顺序不改变变换的结果。3.单位元。我们很容易看到，s（0

5、）即是D4的单位元。对于D4中任意的一个元素a，都有as（0）=s（0）要点总结4.逆元。我们已经知道了单位元s（0），在第一步验证乘积运算封闭时，我们已经发现D4中8种变换，都可以通过乘以D4中另外一个元素得到s（0），即D4中每一个元素都存在逆元。这 样，我 们 便 得 到 了 正 方 形 的 对 称 变 换 群（D4，）。典型剖析我们刚才研究了正方形的对称变换群，它包含了旋转变换和轴反射变换。那么，对于一般地情形，我们又有哪些发现呢？例：现给出平面的旋转反射群其中，s为逆时针旋转，r代表关于倾角为的直线做反射。那么，变换的合成有哪些固定的形式呢？2,00|r,sD典型剖析要解决这个问题，

6、我们可以借助图形的辅助。首先，两个旋转变换的叠加容易理解。对于两个旋转变换的合成有：这是两次旋转的叠加。sss典型剖析接下来，我们考虑两个对称情况。通过图形，我们很容易发现，对于一个对称变换，它保持点到原点的距离不变。那么做变换 就是做一个旋转，而且旋转的角度是2。即。那么，对于两个对称的合成：r2s2-2srr典型剖析 接下来，我们考虑旋转和对称的合成。对于 ，我们先考虑右边的 运算。通过刚才的分析，一个对称即是 做二倍的倾角的旋转，那我们就有 当然，也可以写成 rs2srs2rrs典型剖析 那么，乘积运算可以改变顺序吗？对于 ，我们先考虑右边的 运算。同样，我们知道一个对称即是 做二倍的倾角的旋转，那我们就有 或者 可以看到，区别在于反射变换。sr-2ssr2-rsr谢谢观赏谢谢观赏