高中数学北师大版必修四-二倍角的三角函数(一)ppt课件(50张).ppt

1、3二倍角的三角函数(一)二倍角公式及其变形二倍角公式及其变形sinsincoscos+cos+cossinsin2sin2sincoscoscoscoscoscos-sin-sinsinsin2cos2cos2 2-1-11-2sin1-2sin2 2tantan1 tan tan1 1判一判判一判 (正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”)”)(1)sin 2=2sin.()(1)sin 2=2sin.()(2)cos 2=sin2-cos2.()(2)cos 2=sin2-cos2.()(3)tan 2=(3)tan 2=对任意的对任意的都成立都成立.().()(4)sin(4)

2、sin2 2=()=()22tan 1 tan1 cos 2.2【解析解析】(1)(1)错误错误.因为因为sin 2=2sin cos.sin 2=2sin cos.(2)(2)错误错误.因为因为cos 2=coscos 2=cos2 2-sin-sin2 2.(3)(3)错误错误.因为因为 (kZ)(kZ)时公式不成立时公式不成立.(4)(4)错误错误.因为因为sinsin2 2=答案：答案：(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)k,k24 1 cos 2.22.2.做一做做一做(请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上)(1)sin 15(1)sin 15cos 15co

3、s 15=_.=_.(2)cos(2)cos2 21515-sin-sin2 21515=_.=_.(3)=_.(3)=_.2tan 22.51 tan 22.5【解析解析】(1)sin 15(1)sin 15cos 15cos 15=sin 30=sin 30=答案：答案：(2)cos(2)cos2 21515-sin-sin2 21515=cos 30=cos 30=答案：答案：(3)(3)原式原式=tan 45=tan 45=.=.答案：答案：1214143232121212 【要点探究要点探究】知识点知识点 正弦、余弦、正切的二倍角公式正弦、余弦、正切的二倍角公式1.1.对二倍角中对二

4、倍角中“倍倍”的说明的说明(1)“(1)“倍倍”具有广泛的涵义具有广泛的涵义.例如，例如，22是是的二倍角，同样的二倍角，同样地，地，44是是22的二倍角，的二倍角，2 2n n是是2 2n-1n-1的二倍角，的二倍角，是是 的二的二倍角，倍角，33是是 的二倍角等的二倍角等.(2)(2)在具体应用中可先对角进行观察，寻求待求的角与已知角在具体应用中可先对角进行观察，寻求待求的角与已知角之间的差异，再决定用哪种之间的差异，再决定用哪种“倍倍”的关系的关系.2322.2.二倍角的应用二倍角的应用(1)(1)直接应用公式进行升幂、配方、开方、求值化简证明等运直接应用公式进行升幂、配方、开方、求值化

5、简证明等运算算.(2)(2)变形应用公式主要体现在化异角为同角、化异次为同次、变形应用公式主要体现在化异角为同角、化异次为同次、逆用公式等方面，其中二倍角的余弦公式最灵活逆用公式等方面，其中二倍角的余弦公式最灵活.如：如：1+1+cos 2=2coscos 2=2cos2 2；coscos2 2=1-cos 2=1-cos 2=2sin2sin2 2；sinsin2 2=不仅仅是逆用，更重要的是体不仅仅是逆用，更重要的是体现了幂指数的变化，其中是从一次幂向二次幂转换，因此现了幂指数的变化，其中是从一次幂向二次幂转换，因此把它们称为升幂公式，则是从二次幂向一次幂转换，因此把它们称为升幂公式，则是

6、从二次幂向一次幂转换，因此把它们称为降幂公式把它们称为降幂公式.1 cos 22；1 cos 22，【微思考微思考】(1)(1)公式公式S S22，C C22，T T22的适用范围是否相同？的适用范围是否相同？提示：提示：公式公式S S22，C C22中角中角可以是任意角，但公式可以是任意角，但公式T T22只有当只有当 kk及及 (kZ)(kZ)时才成立，否则不成立时才成立，否则不成立(2)(2)逆用正弦、余弦、正切的二倍角公式的关键是什么？逆用正弦、余弦、正切的二倍角公式的关键是什么？提示：提示：关键是将待化简的三角函数式化到公式右边所满足的结关键是将待化简的三角函数式化到公式右边所满足的

7、结构，再逆用公式构，再逆用公式2k42【即时练即时练】求值：求值：(1)=_.(1)=_.(2)1(2)12sin2sin2 2750750=_.=_.(3)tan 150(3)tan 150+=_.+=_.5sin sin 121221 3tan 1502tan 150【解析解析】(1)(1)原式原式=答案：答案：(2)(2)原式原式cos(2cos(2750750)cos 1 500cos 1 500cos(4cos(43603606060)cos 60cos 60 .答案：答案：sin sin()sincos122 121212sin2sincos161212.224141212(3)(

8、3)原式原式=答案：答案：222tan 1501 3tan 1502tan 150 21 tan 15012tan 150tan(2 150)1113.tan 300tan 36060tan60333 【题型示范题型示范】类型一类型一 用二倍角公式解决给值求值问题用二倍角公式解决给值求值问题【典例典例1 1】(1)(2013(1)(2013新课标全国新课标全国)已知已知sin 2=sin 2=则则 =()=()23，2cos()41112A.B.C.D.6323(2)(2013(2)(2013四川高考四川高考)设设sin 2=-sin sin 2=-sin，则则tan 2tan 2的值是的值是

9、_(3)(3)已知已知 0 0 x x ，求，求 的值的值(,)2，5sin(x)413 ，4cos 2xcos(x)4【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中如何将中如何将 化简化简?2.2.题题(2)(2)中求中求tan 2tan 2的关键是什么的关键是什么?3.3.题题(3)(3)中中cos 2xcos 2x，如何用如何用 -x-x的三角函数值表示的三角函数值表示?2cos()4cos(x)44【探究提示探究提示】1.1.利用降幂公式得利用降幂公式得2.2.由已知求得由已知求得tan tan 后用正切二倍角公式求解后用正切二倍角公式求解.3.cos 2x=3.cos 2x=21 s

10、in 2cos().42sin(2x)2sin(x)cos(x),244cos(x)sin(x)sin(x).4244【自主解答自主解答】(1)(1)选选A.A.因为因为 所以所以选选A.A.(2)(2)根据题意根据题意sin 2=-sin sin 2=-sin，可得，可得2sin cos=2sin cos=sin sin，可得，可得cos=cos=，tan=tan=，所以，所以tan 2tan 2=答案：答案：21 cos2()4cos()421 cos(2)1 sin 2222，2211 sin 213cos()4226，12322tan 2 33.1 tan23(3)(3)因为因为x x

11、 所以所以又因为又因为所以所以又又cos 2xcos 2x 所以原式所以原式(0)4，x(0).44，5sin(x)413 ，12cos(x).413 sin(2x)2sin(x)cos(x)2445 12 1202.13 13 169cos(x)sin(x)sin(x)4244 513，12024169.51313【延伸探究延伸探究】把第把第(3)(3)题的条件改为题的条件改为x x 求求sin 4x.sin 4x.【解析解析】因为因为 所以所以cos 2xcos 2x .1sin(x)sin(x)446 ，()2，sin(x)sin(x)44sin(x)cos(x)424sin(x)cos

12、(x)44111sin(2x)cos 2x2226，13因为因为x x 所以所以2x(2x(，2)2)，所以所以sin 2xsin 2x所以所以sin 4xsin 4x2sin 2xcos 2x2sin 2xcos 2x(,)2，2 23，4 2.9【方法技巧方法技巧】1.1.用二倍角公式求解给值求值问题的常用策略用二倍角公式求解给值求值问题的常用策略(1)(1)当已知和待求式含有三角函数的平方式时，需先降幂，再当已知和待求式含有三角函数的平方式时，需先降幂，再求解求解.(2)(2)先探寻到已知和待求式中角的倍、单关系，再正用或逆用先探寻到已知和待求式中角的倍、单关系，再正用或逆用二倍角公式求

13、解二倍角公式求解.(3)(3)当式子中涉及的角较多时，要探寻其间的关系，化异角为当式子中涉及的角较多时，要探寻其间的关系，化异角为同角同角.2.2.x x与与2x2x的关系的关系当遇到当遇到 x x这样的角时可利用角的互余关系和诱导公式沟通这样的角时可利用角的互余关系和诱导公式沟通条件与结论条件与结论,如如cos 2xcos 2x 类似这样的变换还有：类似这样的变换还有：44sin(2x)22sin(x)cos(x)44 221 cos 2x sin(2x)2sin(x)cos(x)2442 sin 2x cos(2x)2cos(x)1243 sin 2xcos(2x)1 2cos(x)24，

14、【变式训练变式训练】(2014(2014江苏高考江苏高考)已知已知(1)(1)求求 的值的值.(2)(2)求求 的值的值.5(,),sin.25sin()45cos(2)6【解析解析】(1)(1)由题意由题意cos=cos=所以所以=(2)sin 2=2sin cos=(2)sin 2=2sin cos=cos 2=2coscos 2=2cos2 21=1=所以所以=252 51(),55 sin()sin cos cos sin 444 22 52510().25251045，3,5555cos(2)coscos 2sinsin 2666 3 3 143 3 4().252510 【补偿训练

15、补偿训练】已知已知(1)(1)求求tan tan 的值的值.(2)(2)求求 的值的值.1tan().42 22sin 22sin()21 cos2sin 【解析解析】(1)(1)=解得解得tan=tan=(2)(2)=tantan 4tan()41 tan tan 4 1 tan 1,1 tan 21.32222sin 22sin()sin 2cos21 cos2sin1 cos2sin 22222sin cos cos 2tan 115.2cossin2 tan19类型二类型二 利用二倍角公式化简与证明利用二倍角公式化简与证明【典例典例2 2】(1)(1)设设k+k+，kZkZ，求证：，求

16、证：(2)(2014(2)(2014西安高一检测西安高一检测)已知函数已知函数f(x)=2asin xcos x-f(x)=2asin xcos x-2bsin2bsin2 2x+b(a,bx+b(a,b为常数，且为常数，且a a0)0)的图像过点的图像过点(0,3)(0,3)，且函数，且函数f(x)f(x)的最大值为的最大值为2.2.求函数求函数y=f(x)y=f(x)的解析式，并写出其单调递增区间的解析式，并写出其单调递增区间.2costan().421 sin【解题探究解题探究】1.1.证明三角恒等式应遵循什么样的原则证明三角恒等式应遵循什么样的原则?2.2.题题(2)(2)中如何将中如

17、何将f(x)f(x)化为一个角的三角函数式化为一个角的三角函数式.【探究提示探究提示】1.1.应本着应本着“异名化同名，复角化单角异名化同名，复角化单角”的原则的原则.2.2.先逆用二倍角及降幂公式，再用辅助角公式先逆用二倍角及降幂公式，再用辅助角公式.【解析解析】(1)(1)左边左边=右边右边.所以所以1 tan cos sin 2221 tan cos sin 2222(cos sin)(cos sin)2222(cos sin)2222cos sin 221 2cos sin 22cos1 sincostan().421 sin(2)f(x)=asin 2x+bcos 2x,(2)f(x

18、)=asin 2x+bcos 2x,由由f(0)=,f(0)=,得得b=.b=.又由又由 =2 =2及及a0,a0,解得解得a=-1.a=-1.所以函数所以函数y=f(x)y=f(x)的解析式是的解析式是f(x)=-sin 2x+cos 2xf(x)=-sin 2x+cos 2x=所以所以f(x)f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是 (kZ).(kZ).3322ab32sin(2x).3511k,k1212【方法技巧方法技巧】1.1.化简三角函数式的策略化简三角函数式的策略一般地，三角函数式的化简要从减少角的种类，减少函数的种一般地，三角函数式的化简要从减少角的种类，减少函数的种类，改变函

19、数式的运算结构入手，通过切化弦、弦化切、异角类，改变函数式的运算结构入手，通过切化弦、弦化切、异角化同角、高次降幂、分解因式、逆用公式等手段，使函数式的化同角、高次降幂、分解因式、逆用公式等手段，使函数式的结构化为最简形式结构化为最简形式.2.2.证明三角恒等式的原则与步骤证明三角恒等式的原则与步骤(1)(1)观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂,就将两端都化就将两端都化简简,即采用即采用“两头凑两头凑”的思想的思想.(2)(2)证明恒等式的一般步

20、骤是：先观察证明恒等式的一般步骤是：先观察,找出角、函数名称、式找出角、函数名称、式子结构等方面的差异子结构等方面的差异,然后本着然后本着“复角化单角复角化单角”“”“异名化同异名化同名名”、变换式子结构、变换式子结构“变量集中变量集中”等原则等原则,设法消除差异设法消除差异,达到达到证明的目的证明的目的.【变式训练变式训练】求证：求证：【证明证明】要证要证只需证只需证21 sin 4cos 41 sin 4cos 4.2tan 1 tan21 sin 4cos 41 sin 4cos 42tan 1 tan，21 sin 4cos 42tan.1 sin 4cos 41 tan上式：左边上式

21、：左边=右边右边.所以原等式成立所以原等式成立.1 cos 4sin 41 cos 4sin 4 222sin 22sin 2 cos 22cos 22sin 2 cos 22sin 2 sin 2cos 22cos 2(sin 2cos 2)22tan tan 21 tan【补偿训练补偿训练】化简：化简：sinsin3 3sin 3+cossin 3+cos3 3cos 3.cos 3.【解题指南解题指南】先利用变形公式先利用变形公式sinsin2 2=和和coscos2 2=降幂，再整合化简，注意公式的逆用和变形用降幂，再整合化简，注意公式的逆用和变形用.1 cos 221 cos 22【

22、解析解析】原式原式=sin=sin2 2sin sin 3+cossin sin 3+cos2 2cos cos 3cos cos 3=sin sin 3+cos cos 3=sin sin 3+cos cos 3=(cos cos 3+sin sin 3)+cos 2=(cos cos 3+sin sin 3)+cos 2(cos 3cos-sin 3sin)(cos 3cos-sin 3sin)=cos(-3)+cos 2cos(3+)=cos(-3)+cos 2cos(3+)=cos 2+cos 2cos 4=cos 2+cos 2cos 4=cos 2(1+cos 4)=cos 2(1

23、+cos 4)=cos 2=cos 22cos2cos2 222=cos=cos3 32.2.1 cos 221 cos 221212121212121212拓展类型拓展类型 利用对偶式化简求值利用对偶式化简求值【备选例题备选例题】1.1.计算：计算：cos 72cos 72cos 36cos 36=_.=_.2.2.计算：计算：sin 10sin 10sin 30sin 30sin 50sin 50sin 70sin 70=_.=_.【解析解析】1.1.方法一：方法一：cos 72cos 72cos 36cos 36=方法二：令方法二：令x=cos 72x=cos 72cos 36cos 3

24、6，y=sin 72y=sin 72sin 36sin 36，则则xy=sin 72xy=sin 72cos 72cos 72sin 36sin 36cos 36cos 36=sin 144=sin 144sin 72sin 72,故故答案：答案：2sin 36 cos 36 cos 722sin 36sin 72 cos 722sin 72 cos 722sin 364sin 36sin 1441.4sin 364141sin 144 sin 72xy14x.ysin 72 sin 364142.2.因为因为sin 10sin 10cos 80cos 80,sin 50,sin 50cos

25、40cos 40,sin 70,sin 70cos 20cos 20，所以原式所以原式 cos 80 cos 80cos 40cos 40cos 20cos 2012答案：答案：1 cos 80 cos 40 cos 20 sin202sin 201cos 80 cos 40 sin 40122sin 201 1cos 80 sin 8012 22sin 201 1 1sin 160112 2 2.2sin 2016 116【方法技巧方法技巧】1.1.对偶式的概念对偶式的概念在三角学上，如果把某个三角式中的角的位置转化为同角互余在三角学上，如果把某个三角式中的角的位置转化为同角互余的弦值，那么

26、得到的式子叫原式的对偶式的弦值，那么得到的式子叫原式的对偶式.这两个式子互为对这两个式子互为对偶式偶式.2.2.对偶式的应用对偶式的应用在化简求值或证明一些三角问题时，如果能灵活地运用对偶的在化简求值或证明一些三角问题时，如果能灵活地运用对偶的数学思想，合理地构造出对偶式，并对原式和对偶式进行和、数学思想，合理地构造出对偶式，并对原式和对偶式进行和、差或积的计算，则可以使问题得到巧妙解决差或积的计算，则可以使问题得到巧妙解决.【易错误区易错误区】利用二倍角公式及其变形求值过程中忽视角的范利用二倍角公式及其变形求值过程中忽视角的范围致误围致误 【典例典例】(2014(2014榆林高一检测榆林高一

27、检测)已知已知sin(2-)=sin sin(2-)=sin=则则sin=_.sin=_.3,512(,)(0)1322，【解析解析】因为因为所以所以222,02,0-,所以所以2-.2-.由由 得得222-2-，所以所以cos(2-)=cos(2-)=因为因为-0-0，由由sin=sin=得得cos=cos=,0,22 2523sin 20,5 524.521213，5.13所以所以cos 2=cos cos 2=cos(2-)+(2-)+=cos(2-)=cos(2-)cos-sin(2-)cos-sin(2-)sin sin =由由cos 2cos 21-2sin1-2sin2 2,得得

28、sinsin2 2又又 ，所以，所以sin=sin=答案：答案：4531256().5 13 51365 9,13023 130.1303 130130【常见误区常见误区】【防范措施防范措施】1.1.审题问题审题问题已知条件角度的认识不到位，不能够结合三角函数值的符号，已知条件角度的认识不到位，不能够结合三角函数值的符号，将已知角的范围进一步缩小，在本例中求得将已知角的范围进一步缩小，在本例中求得sin(2-)=sin(2-)=0,0,可以将可以将2-2-的角度进行再缩小，得的角度进行再缩小，得222-2-就可以轻松求解其余弦就可以轻松求解其余弦.3552，2.2.技巧问题技巧问题熟练将所求角

29、与已知角联系，建立关系式是解题的关键熟练将所求角与已知角联系，建立关系式是解题的关键.本例本例在求解过程中要求在求解过程中要求cos 2cos 2，所以需要构造角度，即，所以需要构造角度，即cos 2=cos 2=cos cos(2-)+(2-)+，这需要结合已知条件进行分析求解，这需要结合已知条件进行分析求解.【类题试解类题试解】sin+cos=0sin+cos=0，则，则sin 2=sin 2=_，cos 2=_.cos 2=_.【解析解析】sin +cos =,0sin +cos =,0，则，则又又sin+cos=sin+cos=两边平方得两边平方得1+sin 2=,1+sin 2=,sin 2=sin 2=因为因为2 2 所以所以cos 2=cos 2=答案：答案：13，133(,),2 4 13198,93(,),217.9817 99