基于探究的高中数学教学案例课件.ppt

1、基于探究的高中数学教学基于探究的高中数学教学 针对数学教学中的某个教学内容，精心设计能针对数学教学中的某个教学内容，精心设计能引发学生积极探索的教学过程，使学生在体验数学引发学生积极探索的教学过程，使学生在体验数学研究的过程中培养独立思考、合情推理等方面的能研究的过程中培养独立思考、合情推理等方面的能力。它可以是课堂教学的基于力。它可以是课堂教学的基于“探究探究”的某个片段，的某个片段，也可以是整堂课的也可以是整堂课的“探究探究”，让求索未知过程中，让求索未知过程中，数学思想、数学方法的体验发生在学生身上。数学思想、数学方法的体验发生在学生身上。基于探究的数学教学：基于探究的数学教学：椭圆椭圆

2、双曲线双曲线oyB2A1B1A2x思考：思考：由由范围、对称性、顶点范围、对称性、顶点等性质，我们可以比较等性质，我们可以比较精确地作出精确地作出椭圆的简图椭圆的简图.类似地，类似地，仅依靠以上性质仅依靠以上性质作双作双曲线的简图曲线的简图够精确吗够精确吗？yB2A1A2 B1 xO xy1 触类旁通：触类旁通：函数函数 的图象是双曲线，随着图象的延的图象是双曲线，随着图象的延伸，曲线的趋势如何？伸，曲线的趋势如何？哪个更准？哪个更准？案例案例1 1 双曲线渐近线的探究双曲线渐近线的探究yB2A1A2 B1 xO xaby 探究：探究：“双曲线与直线双曲线与直线 无限地接无限地接近，但永不相交

3、近，但永不相交”。你能证明这一你能证明这一结论吗？结论吗？请相互讨论请相互讨论.22221(0,0)xyabab22axabxaby 2222|baaxbbxd 22axxab )(22222axxbaba xaby 22220 xyab求求渐渐近近线线的的方方法法：xaby渐近线：渐近线：yB2A1A2 B1 xOb a0 byax22221(0,0)xyabab提示：提示：异面直线所成的角、直线和平面所成的角异面直线所成的角、直线和平面所成的角也是空间角，它们的大小是如何刻画的？也是空间角，它们的大小是如何刻画的？（转化成平面角）（转化成平面角）案例案例2 2 二面角平面角的定义二面角平面

4、角的定义 在二面角的棱上任取一在二面角的棱上任取一点点O O，分别在两个半平面内，分别在两个半平面内引射线引射线OAOA，OBOB，AOBAOB 的的大小一样大小一样的吗？的吗？lO问题问题2 2：二面角的平面角如何构造呢？二面角的平面角如何构造呢？问题问题1 1：我们如何刻画二面角的大小？我们如何刻画二面角的大小？二面角的平面角定义二面角的平面角定义0ABl,Ol OAOBOAl OBlAOB如图所示 若则称为二面角-l-的平面角.合作探究：合作探究：结合实例探讨下列问题：结合实例探讨下列问题：1 1、二面角的平面角的特点；、二面角的平面角的特点；2 2、你对二面角的平面角的构造过程有什么疑

5、问？、你对二面角的平面角的构造过程有什么疑问？lOABAOB质疑一：角的两边为什么要垂直于棱？质疑一：角的两边为什么要垂直于棱？质疑二质疑二:AOBAOB的大小与的大小与O O在在l l上的位置有关吗？上的位置有关吗？OAOB=BOA 等角定理等角定理：lAB二面角的平面角大小与点二面角的平面角大小与点O O在棱上的位在棱上的位置无关，只与二面角的张角大小有关。置无关，只与二面角的张角大小有关。结论：结论：二面角是用它的平面角来度量的，二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角。面角是多少度的二面角。O.二面角的取值范

6、围一般规定为：二面角的取值范围一般规定为：0 0o o,180,180o o OlABBBAA1.1.如果已知如果已知 与与 的三角函数，能否求出的三角函数，能否求出cos(cos()？问题提出问题提出以退为进，不妨设以退为进，不妨设，为锐角为锐角2.cos(2.cos()=cos)=cos-cos-cos?案例案例3 3 两角差的余弦公式两角差的余弦公式设角设角 的终边与单位圆的交点为的终边与单位圆的交点为P P1 1怎样构造怎样构造-角角?xyOcoscos 等于角等于角 与单位圆交点的横坐标与单位圆交点的横坐标,也可以也可以用角用角 的余弦线来表示的余弦线来表示.探究探究P1P-P1yO

7、P-x探究探究MOMOM就是就是-的余弦线的余弦线如何利用如何利用,的正弦线的正弦线,余弦线表示余弦线表示OM?OM?ABC C cosOPOA BMOBOM CPOB PACAPAOBOA sincos sincosAPOA sinOPAP sinsincoscosOMcos(-)=cos cos+sin sin cossinAPOAPM sin(-)=sin cos-cos sin 以上两从构成要素和结构特征看，有何联想？以上两从构成要素和结构特征看，有何联想？BAOsin,cos,sin,cosOBOA cosOBOAOBOA cos sin,cossin,cos OBOA sinsin

8、coscos coscos=coscos coscos+sin+sin sinsin 于是于是,的夹角为的夹角为与与设设OBOA k2,又又 k2(cos,sin)B(cos,sin),Acos(-)=coscos+sinsin对于任意角对于任意角 ,都有都有差角的余弦公式差角的余弦公式简记简记 C C(-)高斯高斯(Gauss,17771855),(Gauss,17771855),德国著名数学家德国著名数学家,他研究的内他研究的内容涉及数学的各个领域容涉及数学的各个领域,是历是历史上最伟大的数学家之一史上最伟大的数学家之一,被被誉为誉为“数学王子数学王子”.”.高斯高斯1010岁的时候很快就

9、解决了这个岁的时候很快就解决了这个问题：问题：1 12 23 3100=100=？你知道高斯是怎样算出来的吗？你知道高斯是怎样算出来的吗？案例案例4 4 等差数列的前等差数列的前n n项和项和1+100=2+99=3+98=50+51=101100(1100)(298).(5051)?S不同数不同数的求和问题的求和问题相同数相同数的求和问题的求和问题高斯的算法高斯的算法S100=1 2 3 99 100首尾首尾配对配对相加相加500151005 问题问题1 1：图案中，第图案中，第1 1层到第层到第5151层一共有多少层一共有多少颗宝石？颗宝石？方法方法1 1：原式（：原式（1 12 23 3

10、5050）5151方法方法2 2：原式：原式0 01 12 250505151方法方法3 3：原式（：原式（1 12 2252527275151）2626问题问题2 2：求图案中从第求图案中从第1 1层到第层到第n n层共有多少层共有多少颗宝石？颗宝石？如何避免分如何避免分n为奇数、偶数的情况讨论为奇数、偶数的情况讨论 如图，在三角形图案右侧倒如图，在三角形图案右侧倒放一个全等的三角形与原图放一个全等的三角形与原图补成平行四边形补成平行四边形 123(1)nSnn 问题问题3.3.123.(1)?nSnn(1)(2).21nSnnn 21(1).(1)nSnnn 可可知知：（）n个个(1)2n

11、n nS 故故 倒倒序序相相加加法法上述求解过程带给我们什么启示？上述求解过程带给我们什么启示？(1)所求的和可以用首项、末项及项数来表示；所求的和可以用首项、末项及项数来表示；(2)等差数列中的等差数列中的第第k项与倒数第项与倒数第k项的和项的和都等于都等于 首项与末项的和首项与末项的和.问题问题4.4.如何求等差数列如何求等差数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n?解：解：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=an+a1 2)(1nnaanS +得得:Sn=a1+a2 +a3 +an-2+an-1+anSn=an+an-1+an-2+a3 +a2 +a12Sn=(a1+a

12、n)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1)=n(a1+an)变式变式:能否用能否用 a1,n,d 表示表示Sn？an=a1+(n-1)ddnnnaSn2)1(1 倒序相加法倒序相加法 2222)bababa （4().a b 33223()33abaa babb？nba)(16641664年冬，牛顿研读沃利斯博士的无穷算术年冬，牛顿研读沃利斯博士的无穷算术 1()abab 案例案例5 5 二项式定理二项式定理探究探究1 1：将将 展开得展开得)(2211baba 21212121bbabbaaa 思考：（思考：（1 1）展开式中各项是怎

13、样构成的？）展开式中各项是怎样构成的？（2 2）展开式有多少项？为什么？）展开式有多少项？为什么？探究探究2 2：在上式中：如果将在上式中：如果将 则则(a+b)(a+b)2 2展开式又是什么？展开式又是什么？bbbaaa 2121,bbbaabaa仍然有仍然有4项，但有同类项，合并同类项得：项，但有同类项，合并同类项得：2222)(bababa 思考：思考：展开式各项具备什么形式？其同类项有多少？展开式各项具备什么形式？其同类项有多少？2(0,1,2)kkabk 每每一一项项都都是是的的形形式式22212202)(bCabCaCba 10探究探究4 4：22212202)(bCabCaCba

14、 探究探究3 3:(:(a+b)a+b)3 3=(a+b)(a+b)(a+b)=(a+b)(a+b)(a+b)展开后各项展开后各项的次数是多少？每一项的形式的次数是多少？每一项的形式?a2bab2a3b3它们的系数是如何确定的它们的系数是如何确定的?0 03 3C C1 13 3C C2 23 3C C3 33 3C C4 4b b)（a a4 4a ab ba a3 32 22 2b ba a3 3a ab b4 4b b40 0C C14C C24C C34C C44C Cn nb b)（a an na ab ba a1 1-n nn nb bkn n-k ka ab b+n0 0C C1

15、n+C+Ckn+C+Cnn+C+C+三三二项式定理二项式定理上式右端叫二项展开式，各项有什么特点？上式右端叫二项展开式，各项有什么特点？项数：项数：a,b指数变化：指数变化：011()nnnkn kknnnnnnabC aC abC abC b次数：次数：)(*Nn a a按降幂排列，次数由按降幂排列，次数由n n递减到递减到0 0；b b按升幂排列，次数由按升幂排列，次数由0 0递增到递增到n.n.各项的次数都等于二项式的次数各项的次数都等于二项式的次数n n共共n n1 1项项探究探究?能否用具有一般性的式子来表示二项能否用具有一般性的式子来表示二项式展开式的项呢？式展开式的项呢？1knkkknC aTb 课外：数学归纳法证明课外：数学归纳法证明