高数函数的单调性课件共35p.ppt
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- 关 键 词:
- 函数 调性 课件 35
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1、1第四节第四节 函数单调性与曲线的函数单调性与曲线的凹凸性凹凸性一、函数单调性的判别法一、函数单调性的判别法二、曲线的凹凸性与拐点二、曲线的凹凸性与拐点三、小结三、小结2一、单调性的判别法一、单调性的判别法f (x)0aby=f(x)xoy y=f(x)xoyabf (x)0,那么函数那么函数 y=f(x)在在 a,b上上单调增加单调增加;(2)如果在如果在(a,b)内内 f (x)1 时时,.132xx 证证则则设设,132)(xxxf .111)(22xxxxxxf f(x)在在1,+)上连续上连续,在在(1,+)内内 f (x)0,因此在因此在1,+)上单调增加上单调增加,从而当从而当
2、x1时时,)1()(fxf,0 即即.132xx 12例例.证明20 x时,成立不等式.2sinxx证证:令,2sin)(xxxf,2,0()(上连续在则xf,上可导在)2,0(2sincos)(xxxxxf)tan(cos2xxxx1xtanx0,)2,0()(内单调递减在因此xf从而2,0(,2sinxxx0)2()(fxf,2)(处左连续在又xf因此且13*证明0tanxx令,tan)(xxx则xx2sec1)(x2tan),0(,02x,),0()(2上递减在x从而0)0()(x即),0(,0tan2xxx14二、曲线凹凸的定义二、曲线凹凸的定义问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究
3、曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方ABC15定义定义(描述定义描述定义)1.如果在区间如果在区间(a,b)内,曲线内,曲线y=f(x)在其上任意一点在其上任意一点的切线的上方,则称曲线的切线的上方,则称曲线y=f(x)在区间在区间(a,b)内是内是凹的凹的(或下凸的或下凸的);2.如果在区间如果在区间(a,b)内,曲线内,曲线y=f(x)在其上任意一点在其上任意一点的切线的下方,则称曲线的切线的下方,则称曲线y=f(x)在区间在区间(a
4、,b)内是内是凸的凸的(或下凹的或下凹的);xyo)(xfy abABxyo)(xfy abBA(1)凹)凹(2)凸)凸16定义定义的(或凸弧)的(或凸弧)上的图形是(向上)凸上的图形是(向上)凸在在那末称那末称如果恒有如果恒有的(或凹弧)的(或凹弧)上的图形是(向上)凹上的图形是(向上)凹在在那末称那末称恒有恒有点点上任意两上任意两如果对如果对上连续上连续在区间在区间设设IxfxfxfxxfIxfxfxfxxfxxIIxf)(,2)()()2(;)(,2)()()2(,)(2121212121 ;)(,)(,)(),(,)(的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹在在那末称那末称的的或凸或凸内的
5、图形是凹内的图形是凹且在且在内连续内连续在在如果如果baxfbabaxf17曲线凹凸的判定曲线凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递递增增)(xf abBA0 y递递减减)(xf 0 y定理定理1 1.,)(,0)()2(;,)(,0)()1(),(,),(,)(上上的的图图形形是是凸凸的的在在则则上上的的图图形形是是凹凹的的在在则则内内若若在在一一阶阶和和二二阶阶导导数数内内具具有有在在上上连连续续在在如如果果baxfxfbaxfxfbababaxf 18证证:任取1212,x xa b xx记利用拉格朗日中值定理,120()()2()f xf xf x2001()()()
6、()f xf xf xf x220101()()()()fxxfxx11022xxx2001()()xxxx2120()()()ffxx2120()()()fxx 12,0)(时当 xf120()()2()f xf xf x说明(1)成立;(2)证毕120.2xxx19判别函数的凹凸性的一般步骤判别函数的凹凸性的一般步骤 1)确定函数的定义域.2)在定义域求出函数二阶导数为零或不存在的点,用这些点把定义域分成若干个部分区间.(同时求出函数二阶导数大于零或小于零的区间)3)在各部分区间内根据函数二阶导数的符号来判判别凹凸性.注意注意:若函数在某一点两边二阶导数符号同号,则应考虑合并区间.特别地,
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