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1、高中数学复习资料 目录 高中数学第一章-集合.5 01. 集合与简易逻辑 知识要点 6 集合.6 含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸8 简易逻辑 9 高中数学第二章-函数.10 02. 函数 知识要点.10 映射与函数 10 函数的性质 11 指数函数与对数函数13 方法总结 15 高中数学 第三章 数列 17 03. 数 列 知识要点.17 数列求和的常用方法 21 高中数学第四章-三角函数.22 04. 三角函数 知识要点.23 三角函数的公式24 II. 竞赛知识要点.28 高中数学第五章-平面向量.29 05. 平面向量 知识要点.30 1.本章知识网络结构.30 2.向量的概

2、念 .30 3.向量的运算 .30 4.重要定理、公式.31 空间向量 33 空间向量的坐标运算35 高中数学第六章-不等式.37 06. 不等式知识要点.37 不等式的基本概念37 不等式的基本性质37 几个重要不等式37 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.38 几个著名不等式38 不等式证明的几种常用方法 .38 不等式的解法 39 （2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 39 高中数学第七章 直线和圆的方程 .40 1 07. 直线和圆的方程 知识要点 40 一、直线方程. .40 二、圆的方程. .42 三、曲线和方程44 高中数学第八章-圆锥曲线方程 45 0

3、8. 圆锥曲线方程 知识要点 45 一、椭圆方程. .45 二、双曲线方程46 三、抛物线方程48 四、圆锥曲线的统一定义. 48 高中数学第九章-立体几何.50 平面.51 空间直线. .52 直线与平面平行、直线与平面垂直.52 平面平行与平面垂直53 棱锥、棱柱. .54 空间向量. .56 II. 竞赛知识要点.58 一、四面体 58 立体几何知识要点 59 高中数学第十章-排列组合二项定理62 10. 排列组合二项定理 知识要点 62 一、两个原理. .62 二、排列. .62 三、组合. .63 四、排列、组合综合64 五、二项式定理67 高中数学第十一章-概率.68 第十二章-概

4、率与统计.69 12. 概率与统计 知识要点.69 一、随机变量. .69 二、数学期望与方差71 三、正态分布.（基本不列入考试范围） .71 高中数学第十三章 极 限73 13. 极 限 知识要点.73 高中数学第十四章 导 数77 14. 导 数 知识要点.77 高中数学第十五章 复数 80 15. 复 数 知识要点.80 第二版：例题与知识点 84 第一章 高中数学解题基本方法84 配方法.84 换元法.88 2 三、待定系数法 96 四、定义法.101 五、数学归纳法 105 六、参数法.111 七、反证法.115 第二章 高中数学常用的数学思想 .118 一、数形结合思想方法118

5、 二、分类讨论思想方法125 三、函数与方程的思想方法132 四、等价转化思想方法140 第三章 高考热点问题和解题策略 .146 一、应用问题.147 二、探索性问题 153 三、选择题解答策略 160 四、填空题解答策略 165 2016 年新人教版高中数学知识点总结 168 高中数学 必修 1 知识点 168 第一章 集合与函数概念168 【1.1.1】集合的含义与表示168 【1.1.2】集合间的基本关系168 【1.1.3】集合的基本运算169 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 .169 1.2函数及其表示.170 【1.2.1】函数的概念 170 【1.2.2】函

6、数的表示法172 1.3函数的基本性质.172 【1.3.1】单调性与最大（小）值 .172 【1.3.2】奇偶性 173 补充知识函数的图象174 第二章 基本初等函数() .175 2.1指数函数 .175 【2.1.1】指数与指数幂的运算 .175 【2.1.2】指数函数及其性质175 2.2对数函数 .176 【2.2.1】对数与对数运算176 【2.2.2】对数函数及其性质177 2.3幂函数178 补充知识二次函数179 第三章 函数的应用 183 高中数学 必修 2 知识点 183 第一章 空间几何体 183 1.1 柱、锥、台、球的结构特征 .183 1.2 空间几何体的三视图

7、和直观图 .183 1.3 空间几何体的表面积与体积 184 3 更多学习资讯请关注公众号：腾讯家长会 第二章 直线与平面的位置关系 .184 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系.184 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系.184 2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 .185 2.2.直线、平面平行的判定及其性质.185 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质.186 第三章 直线与方程 187 3.1 直线的倾斜角和斜率187 3.3 直线的交点坐标与距离公式 .188 4.1.1 圆的标准方程 189 4.3.1 空间直角坐标系.190 高中数学

8、 必修 3 知识点191 第一章 算法初步.191 算法的概念.191 程序框图.191 第二章 统计.197 2.1.1 简单随机抽样 .197 2.1.2 系统抽样198 2.1.3 分层抽样198 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 .199 2.3.2 两个变量的线性相关.200 第三章 概 率 200 3.1.1 3.1.2 随机事件的概率及概率的意义.200 3.1.3 概率的基本性质201 3.2.1 3.2.2 古典概型及随机数的产生.202 3.3.13.3.2 几何概型及均匀随机数的产生202 高中数学 必修 4 知识点202 第一章 三角函数.202 第三章

9、三角恒等变换 207 高中数学 必修 5 知识点209 （一）解三角形： 209 （二）数列：.209 （三）不等式.210 选修 1-1,1-2 知识点.211 第一部分 简单逻辑用语211 第二部分 圆锥曲线 212 第三部分 导数及其应用214 第四部分 复数 215 第五部分 统计案例 216 第六部分 推理与证明217 4 高中数学第一章-集合 榆林教学资源网 考试内容： 集合、子集、补集、交集、并集 逻辑联结词四种命题充分条件和必要条件 考试要求： 榆林教学资源网 （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包 含、相等关系的意义；掌握有关的术语和

10、符号，并会用它们正确表示一些简单的集合 （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充 分条件、必要条件及充要条件的意义 5 01. 集合与简易逻辑 知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： 任何一个集合是它本身的子集，记为 ； A A A 空集是任何集合的子集，记为 ； 空集是任何非空集合的真子集； 如果 A

11、，同时 B A，那么 A = B. B 如果 A ，B C，那么 . B A C 注：Z= 整数（） Z =全体整数 （） 已知集合 S 中 A 的补集是一个有限集，则集合 A 也是有限集（. ）（例：S=N； A= N ， 则 CsA= 0） 空集的补集是全集. 若集合 A=集合 B，则 CBA= ，CAB = CS（CAB） =D （注：CAB = ） . 3. （x，y）|xy =0，xR，yR坐标轴上的点集. （x，y）|xy0，xR，yR 二、四象限的点集. （x，y）|xy0，xR，yR 一、三象限的点集. 注：对方程组解的集合应是点集. x y 3 例： 解的集合(2，1). 2

12、x 3y 1 6 点集与数集的交集是 . （例：A =(x，y)| y =x+1 B=y|y =x2+1 则 AB = ） 4. n 个元素的子集有 2n 个. n 个元素的真子集有 2n 1 个. n 个元素的非空真子 集有 2n2 个. 5. 一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题 逆命题. 一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题 逆否命题. 例：若 a b 5，则a 2或b 3 应是真命题. 解：逆否：a = 2 且 b = 3，则 a+b = 5，成立，所以此命题为真. x y x y 3. 1且 2， 解：逆否：x + y =3 x = 1 或 y = 2. x

13、且y x y 3 x y 3 x 1且y 2 1 2 ,故 是 的既不是充分，又不是必要条件. 小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3. 例：若 x 5， x 5或x 2 . 4. 集合运算：交、并、补. 交：A | x A,且x B 并：A | x A或x B 补：C A xU,且x A U 5. 主要性质和运算律 （1） 包含关系： A A A A U A U , , ,C , U A B, B C A C; A （2） 等价关系： A B A C U （3） 集合的运算律： A B B A; A B B A. 交换律： (A B) C A (B C);(A B) C A (B C)

14、结合律: A(B C) (A B) (AC); A (B C) (A B) (AC) 分配律:. 0-1 律： A A A, A A A. 等幂律： 求补律：ACUA= ACUA=U CUU= CU=U 反演律：CU(AB)= (CUA)(CUB) CU(AB)= (CUA)(CUB) 6. 有限集的元素个数 定义：有限集 A 的元素的个数叫做集合 A 的基数，记为 card( A)规定 card() =0. 基本公式： 7 (1)card(A (2)card(A rd(A) card(B) card(C) card(A card(A (3) card( UA)= card(U)- card(

15、A) 含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法（零点分段法） 将不等式化为 a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)0(0”,则找“线”在 x 轴上方的区间；若不等 式是“b 解的讨论； 一元二次不等式 ax 2+box0(a0)解的讨论. 0 0 0 二次函数 y ax2 bx c a 0 （ ）的图象 一元二次方程 有两相等实根 有两相异实根 ax bx c 2 0 的 根 a 0 x1 x (x x ) , 2 1 2 x1 x 2 b 2a 无实根 ax 2 bx c 0 (a 0)的解集 x 1或x x x x 2 x x b 2a R ax 2 bx

16、 c 0 x x 1 x x 2 (a 0)的解集 8 2.分式不等式的解法 f (x) f (x) f (x) f (x) （1）标准化：移项通分化为 0(或 1 01;x1 01 图 O x 象 x x =1=1 a a 0,d|cosx| AT. sinxcosx |cosx|sinx| O O x x O O |cosx|sinx| x x cosxsinx 7. 三角函数的定义域： |sinx|cosx| (3) 若 o0(a0)解的讨论. （2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 f (x) f (x) f (x)g(x) 0 0 f (x)g(x) 0; 0 g(x) g(x

17、) g(x) 0 （3）无理不等式：转化为有理不等式求解 1 f (x) 0 定义 域 f (x) g(x) g(x) 0 f (x) g(x) f (x) 0 2 3 f (x) 0 f (x g(x) g(x) 0 或 ) ( ) 0 2 g x f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g ) (x f (x) 0 0 2 g(x) 2 （4）.指数不等式：转化为代数不等式 a a (a 1) f (x) g(x); a a (0 a 1) f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x) a b a b f x a b ( ) f x ( 0, 0) (

18、)lg lg （5）对数不等式：转化为代数不等式 f (x) 0 f (x) 0 log f (x) log g(x)(a 1) g(x) 0 ; log f (x) log g(x)(0 a 1) g(x) 0 a a a a f (x) g(x) f (x) g(x) （6）含绝对值不等式 1 应用分类讨论思想去绝对值； 2 应用数形思想； 3 应用化归思想等价转化 | | f f (x) (x) | | g(x) g(x) g(x) 0 g(x) f (x) g(x) (x) 0 g g( 0( f ( ), g(x)不同时为 0)或 x) x f (x) g(x) 或f (x) g(x

19、) 注：常用不等式的解法举例（x 为正数）： 2 1 1 2 3 4 x(1 x) 2x(1 x)(1 x) ( ) 2 2 3 27 2 2 2x (1 x )(1 x ) 1 2 3 4 2 3 2 2 2 y x(1 x ) y ( ) y 2 2 3 27 9 y x x x x | x 1 | | x | | 1 | (x 1 ) 2 sin cos sin (1 sin ) 2 2 类似于 ， 与 同号，故取等 x x x 39 更多学习资讯请关注公众号：腾讯家长会 高中数学第七章 直线和圆的方程 考试内容： 直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式直线方程的一般式 两条直线平

20、行与垂直的条件两条直线的交角点到直线的距离 用二元一次不等式表示平面区域简单的线性规划问题 曲线与方程的概念由已知条件列出曲线方程 圆的标准方程和一般方程圆的参数方程 考试要求： （1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点 斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程 （2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据 直线的方程判断两条直线的位置关系 （3）了解二元一次不等式表示平面区域 （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用 （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法 （6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程

21、的概念。理解圆的参数方程 07. 直线和圆的方程 知识要点 一、直线方程. . 1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角， x x 其 中 直 线 与 轴 平 行 或 重 合 时 ， 其 倾 斜 角 为 0 ， 故 直 线 倾 斜 角 的 范 围 是 0 180 (0 ) . 注：当 90 或 x2 x1 时，直线 l 垂直于 x 轴，它的斜率不存在. 每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与 x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都 有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式

22、. 特别地，当直线经过两点 (a,0), (0,b) ，即直线在 x 轴，y 轴上的截距分别为 a,b(a 0,b 0) 时， x y 直线方程是： . 1 a b 2 2 y x 2 y x 2 注 ： 若 是 一 直 线 的 方 程 ， 则 这 条 直 线 的 方 程 是 ， 但 若 3 3 y 2 x 2(x 3 0) 则不是这条线. 附：直线系：对于直线的斜截式方程 y kx b ，当 k,b 均为确定的数值时，它表示一条确定 的直线，如果 k,b 变化时，对应的直线也会变化.当 b 为定植，k 变化时，它们表示过定点 （0， b ）的直线束.当 k 为定值， b 变化时，它们表示一组

23、平行直线. 3. 两条直线平行： l l 2k1k 2 两条直线平行的条件是： l1 和l 2 是两条不重合的直线. 在 l1 和 l 2 的斜率 1 都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的 40 更多学习资讯请关注公众号：腾讯家长会 错误. （一般的结论是：对于两条直线 1,l ，它们在 轴上的纵截距是 ，则 ， l y b1,b2 l1 l 2k1k 2 2 且 或 的斜率均不存在，即 是平行的必要不充分条件，且 ） b1b l1,l 2 A1 B2 B1A2 C1C 2 2 推论：如果两条直线 的倾斜角为 则 . l1,l 1, 2 l1 l

24、2 1 2 2 两条直线垂直： 两条直线垂直的条件：设两条直线 和 的斜率分别为 和 ，则 有 这 l l 2 k1 k 2 l1l2k1k2 1 1 里的前提是 l1,l 的斜率都存在. l1l2k1 0 ，且 l 2 的斜率不存在或 k 2 0 ，且 l1 的斜率 2 不存在. （即 1 B A B 是垂直的充要条件） A 0 2 2 1 4. 直线的交角： 直线 l 到 l 2 的角（方向角）；直线 l1 到 l 2 的角，是指直线 l1 绕交点依逆时针方向旋转到 1 k k 与l 重合时所转动的角 ，它的范围是 (0, ) ，当 90 时 . tan 2 1 2 1k k 1 2 两条

25、相交直线 l 与l 2 的夹角：两条相交直线 l1 与 l 2 的夹角，是指由 l1 与 l 2 相交所成的四 1 个角中最小的正角 ，又称为 l 和 l 2 所成的角，它的取值范围是 ，当 90 ，则有 0, 1 2 tan k k 2 1 1k k 1 2 . l :A y x B C 0 1 1 1 1 5. 过两直线 的交点的直线系方 程 l :A x B y C 0 2 2 2 2 A1 x B y C A x B y C ( 2 2 2) 0( 1 1 为参数， 2 x B y C 0 不包括在内） A 2 2 6. 点到直线的距离： 点到直线的距离公式：设点 P(x0 ,y0 ，

26、直线 l : Ax By C 0, P 到 l 的距离为 d ，则有 ) d Ax By C 0 0 . A B 2 2 注： 1. 两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式： 1 | ( ) ( ) . | P P x x y y 2 2 2 2 1 2 1 特例：点 P(x,y)到原点 O 的距离： | OP | x2 y2 2. 定 比 分 点 坐 标 分 式 。 若 点 P(x,y) 分 有 向 线 段 , 其 中 PP所成的比为即PP PP 1 2 1 2 P1(x1,y1),P2(x2,y2).则 x x1 x y y y 2 1 2 , 1 1 特例，中点坐标公式；

27、重要结论，三角形重心坐标公式。 k tan3. 直线的倾斜角（0 180）、斜率: y y 4. 过两点 P1(x , ),P (x , y )的直线的斜率公式：k . y 2 1 1 1 2 2 2 x x 2 1 (x x ) 1 2 x 90 1 x , y y 2 1 2 当 （即直线和 x 轴垂直）时，直线的倾斜角 ，没有斜率 王 新 敞 学案 新疆 41 更多学习资讯请关注公众号：腾讯家长会 两条平行线间的距离公式：设两条平行直线 1: Ax By C1 l2 Ax By C2 C1 C2 ， l 0, : 0( ) C C 1 2 它们之间的距离为 d ，则有 . d A B 2

28、 2 注；直线系方程 1. 与直线：Ax+By+C= 0 平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( mR, Cm). 2. 与直线：Ax+By+C= 0 垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.( mR) 3. 过定点（x1,y1）的直线系方程是： A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B 不全为 0) 4. 过直线 l1、l2 交点的直线系方程：（A1x+B1y+C1）+( A2x+B2y+C2）=0 (R） 注： 该直线系不含 l2. 7. 关于点对称和关于某直线对称： 关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等. 关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则

29、对称直线也平行，且两直线到对称 直线距离相等. 若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线. 点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程），过两对 称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程）可解得所求对称点. 注：曲线、直线 关于一直线（ y x b ）对称的解法：y 换 x，x 换 y. 例：曲线 f(x ,y)=0 关于直线 y=x2 对称曲线方程是 f(y+2 ,x 2)=0. 曲线 C: f(x ,y)=0 关于点(a ,b)的对称曲线方程是 f(a x, 2b y)=0. 二、圆的方程. . 1. 曲线与方程：在直角坐标系中

30、，如果某曲线 C 上的 与一个二元方程 f (x, y) 0 的实数 建立了如下关系： 曲线上的点的坐标都是这个方程的解. 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）. (x, y) 曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点 M 其坐标与方程 f (x, y) 0 的一种关系， 曲线上任一点 (x, y) 是方程 f (x, y) 0 的解；反过来，满足方程 f (x, y) 0 的解所对应的点是 曲线上的点. 注：如果曲线 C 的方程是 f(x ,y)=0，那么点 P0(x0 ,y)线 C 上的充要条件是 f(x0 ,y0)=0 (x a

31、 2 (y b)2 r 2 2. 圆的标准方程：以点 C(a,b) 为圆心， r 为半径的圆的标准方程 是 ) . x2 y r 2 2 特例：圆心在坐标原点，半径为 r 的圆的方程是： . 注：特殊圆的方程：与 轴相切的圆方程 x (x a 2 (y b)2 b r b,圆心(a,b)或 (a,b) ) 2 与 y 轴相切的圆方程 (x a y b a r a ,圆心(a,b)或 (a,b) ) 2 ( )2 2 2 ( )2 2 与x轴 y 轴都相切的圆方 程 ( x a 2 (y a)2 a2 r a,圆 心(a,a) )(x a 2 (y a)2 a2 r a,圆心(a,a) 2 y

32、Dx Ey F 2 3. 圆的一般方程： x 0 . 42 更多学习资讯请关注公众号：腾讯家长会 2 E F D E 4 2 D 当 4 时，方程表示一个圆，其中圆心 ，半径 r . D2 E2 F 0 C , 2 2 2 D E 当 2 E F 时，方程表示一个点 . D 2 4 0 , 2 2 当 4 0 时，方程无图形（称虚圆）. D2 E2 F x a r cos 注：圆的参数方程： （ 为参数）. y b r sin 方 程 Ax 0 表 示 圆 的 充 要 条 件 是 ： B 0 且 A C 0 且 2 Bxy Cy2 Dx Ey F D2 E AF 2 . 4 0 圆的直径或方程

33、：已知 A(x1,y1)B(x2 ,y2 ) (x x1)(x x2 )(y y1)(y y2 ) 0 （用向量可征）. C 2 ( ) 2 2 4. 点和圆的位置关系：给定点 (x0 ,y0 ) 及圆 :(x a) y b r . M M C (x0 a)2 (y0 b)2 r 2 在圆 内 M C （x0 a)2 (y0 b)2 r 2 在圆 上 M C (x0 a)2 (y0 b)2 r 2 在圆 外 5. 直线和圆的位置关系： C (x a)2 (y b)2 r2(r 0) l Ax By C 0(A2 B2 0) 设圆圆 ： ； 直 线 ： ； Aa Bb C 圆心 C(a,b) 到

34、直线 l 的距离 . d 2 B 2 A r 时， 与 相切； d l C 2 2 x y D x E y F 0 1 1 1 附：若两圆相 切，则 相减为公切线方程. x 0 2 2 y D x E y F 2 2 2 d r 时， l 与 C 相交； C :x y D x E y 2 2 附 ：公共弦方程：设 1 1 1 F 1 0 C :x y D x E y F 0 2 2 2 2 2 2 有两个交点，则其公共弦方程为 (D1D2 )x (E1E2)y (F1F 2) 0. d r 时， l 与 C 相离. 2 2 x y D x E y F 0 1 1 1 附：若两圆相离，则 相减为

35、圆心 O1O 的连线的中与线方程. 2 x y D x E y F 0 2 2 2 2 2 (x a)2 (y b)2 r 2 由代数特征判断：方程组 用代入法，得关于 x（或 y ）的一元二次方 Ax Bx C 0 程， 其判别式为 ，则： 43 更多学习资讯请关注公众号：腾讯家长会 0 C l 与 相切； 0 l 与C 相交； 0 l 与C 相离. 2 y D x E y F 2 2 2 y D x E y F 注：若两 圆为同心圆则 x 0 ， x 2 2 2 0 相减，不表示直 1 1 1 线. x2 y r k y kx 1k 2 r 2 2 6. 圆 的 切 线 方 程 ： 圆 的

36、 斜 率 为 的 切 线 方 程 是 过 圆 x 0 2 y Dx Ey F 2 x x y y 上一点 (x0 y0 的切线方程为： . P , ) x x y y D E 0 0 2 2 x2 y2 r 2 一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特别地，过圆 上 A x 2 一点 P(x0 ,y0 ) 的切线方程为 0 x y y r . 0 y k(x x ) y 1 0 1 0 若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则 (a ) ，联立求出 k 切线方 程. b x y k 1 1 R R 1 2 B C D (a,b)

37、7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD 四类共 圆 . 已 知 O 的 方 程 又 以 ABCD 为 圆 为 方 程 为 x2 y2 Dx Ey F 0 (xxA xa y yA)(xb) k )( ) ( 2 2 x a (y b) ( 2 ，所以 BC 的方程即代，相切即为所求. 2 ) R A A 4 三、曲线和方程 1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线 C 和方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系： 1） 曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解（纯粹性）； 2） 方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C

38、 上（完备 性）。则称方 程 f(x,y)=0 为曲线 C 的 方程，曲线 C 叫做方程 f(x,y)=0 的曲线。 2.求曲线方程的方法：. 1）直接法：建系设点，列式表标,简化检验; 2）参数法; 3）定义法， 4）待定系 数法. 44 更多学习资讯请关注公众号：腾讯家长会 高中数学第八章-圆锥曲线方程 考试内容： 椭圆及其标准方程椭圆的简单几何性质椭圆的参数方程 双曲线及其标准方程双曲线的简单几何性质 抛物线及其标准方程抛物线的简单几何性质 考试要求： （1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程 （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质 （3）掌

39、握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质 （4）了解圆锥曲线的初步应用 08. 圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程. . 1. 椭圆方程的第一定义： PF PF 2a F F 方程为椭圆, 1 2 1 2 PF 1 PF 2a 2 F F 1 2 无轨迹, PF 1 PF 2a 2 F F 以F ,F 为端点的线段 1 2 1 2 椭圆的标准方程： 2 2 y i. 中心在原点，焦点在 x 轴上： x . ii. 中心在原点，焦点在 y 轴上： 1(a b 0) a b 2 2 y 2 2 x 1(a a b 2 2 b 0) . 2 2 x y 一般方程： Ax2 By A B .椭

40、圆的标准参数方程： 1 的参数方程为 2 1( 0, 0) 2 2 a b x y a cos bsin （一象限 应是属于 0 ）. 2 顶点： (a 0,b 或(0,a)(b,0) .轴：对称轴：x 轴， y 轴；长轴长 2a ，短轴长 2b . ,0)( ) 2 a 焦点： (c 0)(c,0) 或 (0,c)(0,c) .焦距： F 2 2 .准线： 或 , 1F 2c,c a b x 2 c y a c 2 2 .离心率： e (0 e 1) .焦点 半径： c a 2 2 1 a ex , PF a ex PF 0 2 0 x y i. 设 P 为椭圆 1(a b 0) 上的一点，

41、 1,F 为左、右焦点，则 , ) F 2 2 2 a b 由椭圆方程的第二定义可以推出. 2 0 2 0 y 1 a ey , PF a ey 2 PF x ii.设 P 为椭圆 1(a b 0) 上的一点， F 为上、下焦点，则 (x0 ,y0 ) 1,F 2 2 2 b a 由椭圆方程的第二定义可以推出. 45 更多学习资讯请关注公众号：腾讯家长会 a a 2 2 由椭圆第二定义可知： 归结起来为 pF1 e(x ) a ex (x 0), pF e( x ) ex a(x 0) 0 0 0 2 0 0 0 c c “左加右减”. 注意：椭圆参数方程的推导：得 N(acos,bsin)

42、方程的轨迹为椭圆. 2 2 2 b b b 2 通径：垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标： d (c, ) 和(c, ) 2 a a a 2 2 x ( ) y c e 2 b2 共离心率的椭圆系的方程：椭圆 1(a b 0) 的离心率是 c a ，方 2 a 2 a b 2 2 x y c 程 (t 是大于 0 的参数， a b 0) 的离心率也是 我们称此方程为共离心率 t e 2 2 a a b 的椭圆系方程. 2 2 x y 若 P 是椭圆： 上的点. F1,F 为焦点，若 F1PF 2 ，则 PF1F 2 的面积为 1 2 2 2 a b 2 2 tan （用余弦定理与 可得）

43、. 若是双曲线，则面积为 b cot . b PF1 PF 2 2a 2 2 二、双曲线方程. . y ( , ) bcos bsin ( ) acos,asin 1. 双曲线的第一定义： N x PF 1 PF 2a 2 F F 1 2 方程为双曲线 PF 1 PF 2a 2 F F 1 2 无轨迹 N 的轨迹是椭圆 PF 1 PF 2a 2 F F 1 2 以F ,F 的一个端点的一条射线 1 2 2 2 2 2 x y y x 双 曲 线 标 准 方 程 ： 0 a b 0) . 一 般 方 程 ： 1(a,b ), 1( , 2 2 2 2 a b a b Ax2 Cy AC 2 1(

44、 0) . i. 焦点在 x 轴上： a x y 2 顶点： (a,0), (a,0) 焦点： (c,0), (c,0) 准线方程 x 渐近线方程： 0 或 c a b 2 x 2 a 2 y 2 b 0 2 a ii. 焦点在 y 轴上：顶点：(0,a), (0,a) . 焦点：(0,c), (0,c) . 准线方程： . 渐近线 y c 2 x 2 x a sec b tan y x y x 方程： 0 或 0 ，参数方程： 或 . a b 2 2 a b y b tan y a sec c e 轴 x, y 为对称轴，实轴长为 2a, 虚轴长为 2b，焦 距 2c. 离心率 . 准线 距

45、 a 2 a 2 c 46 更多学习资讯请关注公众号：腾讯家长会 2 c b 2 c2 2 2 , （两准线的距离）；通径 . 参数关系 a b e . 焦点半径公式：对于双曲 a a 2 2 x y 1 线方程 （ 1,F 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点） F 2 2 2 a b “长加短减”原则： MF 1 MF 2 ex a 0 ex a 0 a M F ex 1 0 构成满足 MF MF 2a （与椭圆焦半径不同，椭圆焦半 1 2 ex M F a 2 0 径要带符号计算，而双曲线不带符号） y y MF 1 ey a 0 M M F1 MF 2 M F 1 M F

46、2 ey a 0 ey a 0 ey a 0 F1 F2 x F2 M M x x2 y2 a y x e 2 2 等轴双曲线：双曲线 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 ，离心率 . 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭 x x y 2 2 y x y 2 2 2 2 双曲线. 与 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线： 0 . a b a b a b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y 共渐近线的双曲线系方程： ( 0) 的渐近线方程为 0 如果双曲线的 2 2 2 2 a b a b y 2 2 x y x y 渐近线为 时，它的

47、双曲线方程可设为 ( 0) . 0 a 2 b 2 a b 4 3 2 1 5 3 F1 F2 x 1 1 例如：若双曲线一条渐近线为 x 且过 p(3, ，求双曲线的方程？ y ) 2 2 x 1 x y 解：令双曲线的方程为： y2 ( 0) ，代入 (3, ) 得 1. 4 2 8 2 2 2 2 3 直线与双曲线的位置关系： 区域：无切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 2 条； 区域：即定点在双曲线上，1 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 3 条； 区域：2 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 4 条； 区域：即定点在渐近线上且非原点，1 条切线，1 条与渐近线平行的直线，

48、合计 2 条； 区域：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线. 小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有 0、2、3、4 条. （2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入 法与渐 “” 近线求交和两根之和与两根之积同号. 2 2 x y 若 P 在双曲线 1 ，则常用结论 1：P 到焦点的距离为 m = n，则 P 到两准线的距 2 2 a b 47 更多学习资讯请关注公众号：腾讯家长会 离比为 mn. PF 1 d e m 1 简证： = . d PF n 2 2 e 常用结论 2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于 b. 三、抛物线方程. . 3. 设 p 0 ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： y2 2 y2 2px x 2 2 py x2 2py px 图形 y y y y x x x x O O O O 焦点 p p p p F( ,0) F( ,0) F(0, ) F(0, ) 2 2 2 2 准线 范围 p p p p x x y y 2