2020高中数学竞赛—基础微积分(联赛版)17第二型曲线积分课件.ppt

1、在此输入您的封面副标题2020高中数学竞赛辅导课件（联赛版）基础微积分2022-12-222022-12-23第十七讲第十七讲二、二、第二型曲线积分第二型曲线积分一、向量场一、向量场2022-12-24 三个公式三个公式:格林公式、高斯公式、斯托克斯公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式、从物理方面理解从物理方面理解,描述向量场的三个基本属性描述向量场的三个基本属性;从数学方面理解从数学方面理解,是连接微分与积分的桥梁是连接微分与积分的桥梁.相相当于向量场的微积分基本定理当于向量场的微积分基本定理.向量场的微积分向量场的微积分向量场的微分运算：向量场的微分运算：数量场的梯度、数量场的梯度、向量

2、场的散度、向量场的旋度向量场的散度、向量场的旋度向量场的积分运算：向量场的积分运算：第二型曲线积分、第二型曲面积分第二型曲线积分、第二型曲面积分2022-12-25 如果空间区域中每一点都对应某种物如果空间区域中每一点都对应某种物理量，则称空间形成一个该物理量的理量，则称空间形成一个该物理量的场场.一、向量场一、向量场数量场数量场:如果区域如果区域 中每个点对应的物中每个点对应的物 理量是一个数量理量是一个数量,则称这个场为则称这个场为 数量场数量场.例如例如:温度场、电位等温度场、电位等.向量场向量场:如果区域如果区域 中每个点对应的物中每个点对应的物 理量是一个向量理量是一个向量,则称这个

3、场为则称这个场为 向量场向量场.2022-12-26向量场的表示向量场的表示:kzyxZjzyxYizyxXzyxv),(),(),(),(例例2处处的的线线速速度度刚刚体体上上点点旋旋转转轴轴以以角角速速度度刚刚体体绕绕),(,zyxoz rkzyxv ),(再如，电场强度、磁场强度等再如，电场强度、磁场强度等.例例1处处单单位位质质点点产产生生的的引引力力位位于于点点对对的的质质点点质质量量为为位位于于空空间间坐坐标标原原点点),(,zyxm23)(),(2223zyxkzjyixkmrrkmzyxF iyjxkzjyixk )(2022-12-271.有向曲线有向曲线 ABL L)()(

4、)()(ttzztyytxx:规规定定参数方程参数方程为为起起点点A为为终终点点B M:LA:LBBA二、第二型曲线积分二、第二型曲线积分（一）基本概念（一）基本概念2022-12-28的的正正方方向向参参数数增增加加的的方方向向为为规规定定L:正向单位切向量正向单位切向量222)()()()()()()(tztytxktzjtyitxM 有向弧微分有向弧微分dll d :dltztytxktzjtyitxdlMl d222)()()()()()()(dttztytxtztytxktzjtyitx222222)()()()()()()()()(kdttzjdttyidttx)()()(kdzj

5、dyidx 2022-12-29的方向一致的方向一致与曲线与曲线的增长方向的增长方向如果参数如果参数Lt有有向向弧弧微微分分kdttzjdttyidttxl d)()()(方方向向相相反反的的增增长长与与曲曲线线如如果果Lt有有向向弧弧微微分分)()()(kdttzjdttyidttxl d 2022-12-210.)(,)(WMFBALMF对对质质点点所所做做的的功功变变力力试试求求运运动动到到点点从从点点有有向向光光滑滑曲曲线线沿沿着着的的作作用用下下设设一一质质点点在在变变力力例例解解对对质质点点所所做做的的功功为为则则力力作作用用下下有有一一直直线线位位移移已已知知质质点点在在常常力力

6、FrF,rFW 取取极极限限”的的方方法法解解决决！求求和和近近似似利利用用“分分割割仍仍然然可可以以和和曲曲线线位位移移的的情情况况对对于于变变力力,)(MFldzyxFdw ),(LldzyxFw),(l dMF ABL2022-12-2112.定义定义 (第二型曲线积分第二型曲线积分)则则称称上上的的连连续续向向量量场场，是是分分布布在在的的正正向向单单位位切切向向量量处处在在点点表表示示内内的的一一条条有有向向光光滑滑曲曲线线是是设设 kzyxZjzyxYizyxXvMLttzztyytxxL),(),(),(,)()(),(),(:Lldv.的的第第二二型型曲曲线线积积分分为为向向量

7、量场场沿沿有有向向曲曲线线 Ll dvdlv Ldlv 2022-12-212第二型曲线积分的两种形式第二型曲线积分的两种形式向量形式向量形式:微分形式微分形式:LdzZdyYdxX对应关系对应关系:kzyxZjzyxYizyxXv),(),(),(dtktzjtyitxkZjYiXl dvL)()()()(dtzZyYxX)(dzZdyYdxXkzyxZjzyxYizyxXv),(),(),(Lldv dtzZyYxX)(LdzZdyYdxX Lldv2022-12-213第二型曲线积分的有向性第二型曲线积分的有向性 LLldvldv )()()()(BALABLldvldv或或2022-1

8、2-214（二）第二型曲线积分的计算（二）第二型曲线积分的计算的的参参数数方方程程曲曲线线L)(),(),(tzztyytxx )(t dttzZtyYtxX)()()(终点终点起点起点化为定积分化为定积分 Ll dv Ldlv 222)()()()()()(tztytxktzjtyitx dtktzjtyitxkZjYiX)()()()(参数增加方向与曲线正向一致参数增加方向与曲线正向一致如果参数增加方向与曲线方向相反如果参数增加方向与曲线方向相反,加一负号加一负号2022-12-215 Ldyxyydxxyx)2()2(122计算计算例例)1,1(A)1,1(B)1,1(C1L2L3Ljx

9、yyixyxv)2()2(22 令令 Ll dv 321LLLL:1 L对于对于)11(,1 yyyx0 dx 1)2()2(22Ldyxyydxxyx32)2(112 dyyy解解 112)2(dyxyyxy2022-12-216:2 L对于对于)11(,1 xxy0 dy 2)2()2(22Ldyxyydxxyx32)2(112 dxxx:3 L对于对于为参数为参数取取 x)11(,xxyxxdxdy 3)2()2(22Ldyxyydxxyx0)2()2(112222 dxxxdxxx003232 )1,1(A)1,1(B)1,1(C1L2L3Lxy 321LLLL2022-12-217

10、Lxydzxzdyyzdx32计计算算例例的的一一段段直直线线到到是是从从)3,2,1()1,1,0()1(BAL与与是是圆圆柱柱面面yyxL4)2(22 的的轴轴的的正正方方向向看看是是逆逆时时针针其其方方向向是是：从从 oz的的交交线线平平面面013 zyxyzAB:)1(参参数数方方程程,tx ,31ty tz21 )10(t Lxydzxzdyyzdx3 10)3)(21(3)21)(31(ttttdttt2)31(102)18121(dttt11 o解解2022-12-218的的参参数数方方程程是是L)2(,cos2tx ,sin22ty tzsin67 )20(t Lxydzxzd

11、yyzdx3 20)sin2)(sin67)(sin22(ttt)cos2)(sin67(cos6ttt dtttt)cos6)(sin22(cos2 zxy 2022sin)28sin24cos48(tttdttt)sin52cos60(22 202cos80tdt8 0134:)2(22zyyyxL2022-12-219 Ldyyxdxyx)()(32322计计算算例例ABL的的圆圆弧弧是是半半径径为为 1)1(1)()2(2如如图图是是折折线线AOBLxoy的的参参数数方方程程为为圆圆弧弧AB)1()20(sin,cos ttytx解解 1)()(2322Ldyyxdxyxdtttt)(

12、cossin(cos23 0222)sin)(sin(cos ttt 20220420)(sinsincossin ttdtdttdt 16334 AB1L2L2L2022-12-220 OBAOLdyyxdxyxdyyxdxyxdyyxdxyx)()()()()()()2(2322232223222),10(0 yxAO的的方方程程：0 dx),10(0 xyOB的的方方程程：0 dy 2)()(2322Ldyyxdxyx 102012)(dxxdyy32 曲线积分的值不但与路径的起点及终点有曲线积分的值不但与路径的起点及终点有关关,而且与路径本身有关！而且与路径本身有关！2022-12-2

13、21 第一、二型曲线积分比较第一、二型曲线积分比较)()(),(),(:ttzztyytxxL曲曲线线dttztytxdl222)()()(:弧长微元弧长微元上上连连续续在在曲曲线线假假定定函函数数Lzyxf),(:),(上上的的第第一一型型曲曲线线积积分分在在 LzyxfdttztytxtztytxffdlL 222)()()()(),(),(,:在在第第一一型型曲曲线线积积分分中中注注意意,是弧长微元是弧长微元因为因为dl 积分上限积分上限中中所以在第一型曲线积分所以在第一型曲线积分,0,0 dtdl的的方方向向无无关关与与必必须须大大于于积积分分下下限限L,2022-12-222:上上的的第第二二型型曲曲线线积积分分在在有有向向曲曲线线 L dtktzjtyitxkZjYiXl dvL)()()()(.,的值的值对应终点处对应终点处的值的值对应起点处对应起点处tt 两者之间的关系两者之间的关系 LLLdlvdtzZyYxXZdzYdyXdxl dv)(第二型第二型第一型第一型