概率论精品课件：概率3.ppt

1、1 二维随机变量 2 边缘分布及随机变量的独立性 3 条件分布 4 两个随机变量函数的概率分布 5 n维随机变量,第三章 多维随机变量及其概率分布,定义 设随机试验E的基本空间为, X和Y是定义在上的两个随机变量,由它们构成的向量(X, Y)叫做二维随机变量,1 二维随机变量,1.1 二维随机变量及其分布函数,设(X, Y)为二维随机变量,对任意实数x, y, 二元函数,称为二维随机变量 (X, Y) 的分布函数，或称为X与Y的联合分布函数.,注: 1规定Xx , Yy表示事件Xx与Yy的积事件,2分布函数F (x，y)在点(x, y)处的值，就是（X, Y )的取值落在矩形Xx ,Y y上的

2、概率,分布函数的几何意义,如果用平面上的点(x, y)表示二维r.v. (X , Y )的一组可能的取值，则 F (x, y) 表示(X , Y ) 的取值落入图所示角形区域的概率.,(x, y),二维随机变量(X, Y)的分布函数F(x, y)具有性质：,2F(x, y)是变量x 和 y 的单调不减函数,3F(x, y)关于 x 右连续，关于 y 也右连续.,F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0 )，,F (x0 , y0) = F (x0 , y0 + 0 ).,固定x ,对任意的 y1 y2 ,固定y , 对任意的 x1 x2 ,F (x, y1) F (x, y2),

3、F (x1, y) F (x2, y).,10F(x, y)1，且对任意x，y 有,4(X, Y)落在矩形区域x1Xx2，y1Yy2上的 概率为,定义 若二维随机变量(X, Y)所有可能取的值是有限对或可列无穷多对，则称(X, Y)为二维离散型随机变量,1.2 二维离散型随机变量及其概率分布,设二维离散型随机变量(X, Y)所有可能取值为,则称,为二维 离散型r.v.( X ,Y ) 的联合概率分布,也简称 概率分布 或 分布律.,其中,y1 yj,( X ,Y ) 的联合分布律,二维离散型随机变量(X，Y)的分布函数为,例1.1 设试验E为掷一颗骰子，观察出现的点数，定义两个随机变量如下：X

4、 表示骰子出现的点数.,解 (X，Y)可能取值为(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)、(3,1)、(3,2)、(4,1)、(4,2)、(5,1)、(5,2)、(6,1)、(6,2),试求X与Y的联合分布律,出现的点数为奇数,出现的点数为偶数,同理, 利用古典概型直接求；, 利用乘法公式,1.3 二维连续型随机变量及其概率密度,定义 设二维随机变量(X，Y)的分布函数为F (x, y)，如果存在非负函数f (x, y)，使对任意x , y有,性质1,则称( X ,Y ) 为二维连续型 r.v. 。 f (x ,y) 为( X ,Y ) 的联合概率密度函数，简称概率密度函数。简记 p.

5、d. f.,概率密度函数的性质,性质2,性质3 在f (x , y)的连续点处有,性质4 设G为xoy面上一个区域，点(X，Y)落在G内的概率为,解 （1）由 ,而,PX = a , Y + = 0,P X + , Y= a = 0,P X = a ,Y = b = 0,注：,则有k =6,（2）当 x0，y0时,（1）求k;（2）求分布函数F (x, y);（3）求PXY,例1.2 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为,解,对于其它点(x, y), 由于f (x, y)=0，则F (x, y)=0于是,（3）以G表示区域(x, y)| xy，则有,解,（1）求k;（2）求分布函数F (x,

6、 y);（3）求PXY,例1.2 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为,1.4 均匀分布和正态分布,1均匀分布,设D为xoy面上的有界区域，其面积为S，如果二维随机变量(X, Y)具 有概率密度,则称(X，Y)在区域D上服从均匀分布.,注：,若( X ,Y )服从区域D上的均匀分布,则 G1 D, 设G1的面积为A,有,例1.3 设(X ,Y ) G 上的均匀分布,f ( x, y ); P Y X 2 ； ( X ,Y ) 在平面上的落点到 y 轴距离小于0.3的概率.,求,解 (1),(2),例1.4 设(X ,Y ) G 上的均匀分布,f ( x, y ); P Y X 2 ； ( X

7、 ,Y ) 在平面上的落点到 y 轴距离小于0.3的概率.,求,解 (3),2二维正态分布,设二维随机变量(X，Y)的概率密度为,其中 均为常数， ，则称(X，Y)服从参数为 的二维正态分布，记作(X，Y) ,二维正态分布图,例1.5 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为,解,，求,2 边缘分布及随机变量的独立性,2.1、 边缘分布,设(X, Y)的分布函数为F(x, y),关于X的边缘分布函数为,二维离散型随机变量的边缘分布律,设(X, Y)的联合分布律为,关于Y的边缘分布函数为,则,关于X的边缘分布律为,关于Y的边缘分布律为,关于X的边缘分布函数为,关于Y的边缘分布函数为,解,同理,例2.

8、2 设(X, Y)的联合分布律为,X 1 2 3 4 Y的边缘分布律 Y 1 1/4 1/8 1/12 1/16 25/48 2 0 1/8 1/12 1/16 13/48 3 0 0 1/12 1/16 7/48 4 0 0 0 1/16 3/48 X的边缘分 1/4 1/4 1/4 1/4 1 布律,例2.3 某校新选出的学生会 6 名女委员, 文、理、工科各占1/6、1/3、1/2，现从中随机指定 2 人为学生会主席候选人. 令X , Y 分别为候选人中来自文、理科的人数.求(X, Y) 的联合分布律和边缘分布律.,解 X 与Y 的可能取值分别为0 , 1与0 , 1 , 2.,由乘法公

9、式,或由古典概型,相仿有,故联合分布律与边缘分布律为,0 1,0 1 2,3/15 6/15 1/15,3/15 2/15 0,pi,p j,1/3,2/3,1,6/15 8/15 1/15,二维连续型随机变量的边缘概率密度,设(X, Y)的联合概率密度为f (x, y) , 则关于X 的边缘分布函数,关于X 的边缘概率密度为,关于Y的边缘概率密度为,已知联合分布可以求得边缘分布;反之则不能唯一确定.,注：,例2.4 设(X, Y)在由曲线y=x2 与y=x围成的区域D上服从均匀分布，求关于X、Y的边缘密度,解 如图D的面积为,x0 或x 1时，,因此(X, Y)的概率密度为,当 0x1时，,

10、因此,例2.4 设(X, Y)在由曲线y=x2 与y=x围成的区域D上服从均匀分布，求关于X、Y的边缘密度,解,同理,例2.5 设 r.v.( X ,Y ) 的联合d.f.为,其中k 为常数.求(1) 常数 k ; (2) P X + Y 1, P X 0.5; （3）联合分布函数F (x, y);(4) 边缘d.f.与边缘分布函数.,解 令,(1),例2.5 设r.v. ( X ,Y )的联合d.f.为,其中k 为常数.求(1) 常数 k ; (2) P X + Y 1, P X 0.5; （3）联合分布函数F (x, y);(4) 边缘d.f.与边缘分布函数.,(2),当0 x 1, 0

11、y x 时，,(3),当x0 或 y0 时, F(x,y) = 0,当0 x1, x y1时，,例2.5 设r.v. ( X ,Y )的联合d.f.为,其中k 为常数.求(1) 常数 k ; (2) P X + Y 1, P X 0.5; （3）联合分布函数F (x, y);(4) 边缘d.f.与边缘分布函数.,当x 1, 0 y 1时，,当 x 1, y 1 时，,当0 x 1, y 1时，,例2.5 设r.v. ( X ,Y )的联合d.f.为,其中k 为常数.求(1) 常数 k ; (2) P X + Y 1, P X 0.5; （3）联合分布函数F (x, y);(4) 边缘d.f.与

12、边缘分布函数.,=2x2x4,=y4,F (x,y) =,0, x 0 或 y 0,y4 , 0 x 1, 0 y x ，,2x2y2y4, 0 x 1, x y 1，,2x2x4 , 0 x 1, y 1，,y4 , x 1, 0 y 1，,1, x 1, y 1，,例2.5 设r.v. ( X ,Y )的联合d.f.为,其中k 为常数.求(1) 常数 k ; (2) P X + Y 1, P X 0.5; （3）联合分布函数F (x, y);(4) 边缘d.f.与边缘分布函数.,(4),0, x 0，,2x2x4 , 0 x 1,1, x 1,0, y 0,y4 , 0 y 1,1 , y

13、 1,例2.5 设r.v. ( X ,Y )的联合d.f.为,其中k 为常数.求(1) 常数 k ; (2) P X + Y 1, P X 0.5; （3）联合分布函数F (x, y);(4) 边缘d.f.与边缘分布函数.,也可直接由联合d. f. 求边缘d. f. 再积分求边缘分布函数. 例如,例2.5 设r.v. ( X ,Y )的联合d.f.为,其中k 为常数.求(1) 常数 k ; (2) P X + Y 1, P X 0.5; （3）联合分布函数F (x, y);(4) 边缘d.f.与边缘分布函数.,例2.6 设(X, Y) ，即,关于X、Y的边缘密度分别为,即,2.2 随机变量的独

14、立性,定义 设(X, Y)是二维随机变量，若X与Y的联合分布等于边缘分布的乘积，则称X与Y相互独立,对于二维离散型随机变量(X，Y)，X与Y相互独立的充要条件是联合分布律等于边缘分布律的乘积，即,若(X, Y)的分布函数为F(x, y)，关于X、Y的边缘分布函数为FX(x)、FY(y)，则X与Y相互独立的充要条件是,.,对于二维连续型随机变量(X，Y)，X与Y相互独立的充要条件是联合概率密度等于边缘概率密度的乘积，即,定理 设随机变量X与Y相互独立，则,（2）对任意常数a，b，c，d，随机变量 与 相互独立；,（3）X2 与Y2 相互独立；,（4）对任意连续函数h, g, 随机变量 与 相互独

15、立,（1）对任意常数a，b，c，d，事件 与 相互独立；,例2.7 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为,解,问X与Y是否相互独立？,对任意 x，y 有 ，即X与Y相互独立,例2.8 设X与Y 独立，,求,解,.,例2.9 设(X，Y) ，证明X与Y相互独立的充要条件是 ,证,1充分性：设 ，则有,而,于是 ，即X与Y相互独立,2必要性：设X与Y相互独立，即对任意x，y有,即,特别令 , 则得,从而有,3 条件分布,设二维离散型 r.v. ( X ,Y )的分布,若,则称,为在 X = xi 的条件下Y 的条件概率分布。,3.1 离散型随机变量的条件分布,若,则称,为在 Y = yj 的条件下

16、X 的条件分布律,类似乘法公式,例3.1 把三个球等可能地放入编号为 1, 2, 3 的三个盒 子中, 每盒可容球数无限. 记X 为落入1号盒的球数, Y 为落 入2号盒的球数, 求,(1) 在Y = 0 的条件下, X 的分布律；,(2) 在 X = 2 的条件下, Y 的分布律.,解 先求联合分布，,其联合分布与边缘分布如表所示,0 1 2 3,0 1 2 3,0,pi,1,p j,X,0 1 2 3,将表中第一行数据代入得条件分布,(1),例3.1 把三个球等可能地放入编号为 1, 2, 3 的三个盒 子中, 每盒可容球数无限. 记X 为落入1号盒的球数, Y 为落 入2号盒的球数, 求

17、,(2) 在 X = 2 的条件下, Y 的分布律.,解,X,Y,0 1 2 3,0 1 2 3,0,pi,1,p j,(1) 在Y = 0 的条件下, X 的分布律；,Y,0 1,(2) 当 X = 2 时, Y 只可能取0与1.,将表中第三列数据代入下式,得Y 的条件分布,例3.1 把三个球等可能地放入编号为 1, 2, 3 的三个盒 子中, 每盒可容球数无限. 记X 为落入1号盒的球数, Y 为落 入2号盒的球数, 求,(2) 在 X = 2 的条件下, Y 的分布律.,解,X,Y,0 1 2 3,0 1 2 3,0,pi,1,p j,(1) 在Y = 0 的条件下, X 的分布律；,3

18、.2 连续型随机变量的条件分布,注： 当X 连续时, 条件分布不能用 来定义,设 ，若,存在，称极限为Y=y条件下X的条件分布函数，,记为,当f (x, y)连续，边缘概率密度fy (y)连续，且fy (y)0,有,则称 为Y = y 时，X 的条件概率密度, 记作,类似地, X = x 的条件下Y的条件分布函数,X = x 的条件下Y 的条件概率密度,fX (x)0.,例3.2 已知(X,Y )服从圆域 x2 + y2 r2 上的均匀分布,求,r,解,x,-r,同理，,当 r y r 时，,y, 这里 y 是常数，当Y = y 时，X服从均匀分布。,同理，当 r x r 时，, 这里 x 是

19、常数，当X = x 时，Y服从均匀分布。,例3.2 已知(X,Y )服从圆域 x2 + y2 r2 上的均匀分布,求,解,4 两个随机变量的函数的分布,设( X,Y )是二维随机变量,z = g(x, y)是二元函数，若当(X,Y) 取值(x, y)时，随机变量Z 取值为z = g (x, y), 则称Z 是X、Y的函数，记作Z = g (X,Y),已知r.v. ( X ,Y )的概率分布, g(x, y) 为已知的二元,问题：,函数,求 Z = g( X ,Y )的概率分布。,4.1 二维离散型r.v.的函数的概率分布,方法：当( X ,Y )为离散r.v.时, Z 也为离散r.v ，其取值

20、为,其概率分布,例4.1 设二维r.v.( X,Y )的概率分布为,X,Y,-1 1 2,-1 0,求,的概率分布,解 根据( X,Y )的联合分布可得如下表格：,X +Y,X -Y,X Y,Y / X,-2 -1 0 1 1 2,0 -1 2 1 3 2,1 0 -1 0 -2 0,1 0 -1 0 -1/2 0,故得,P,X+Y,-2 -1 0 1 2,P,X - Y,-1 0 1 2 3,P,X Y,-2 -1 0 1,P,Y /X,-1 -1/2 0 1,X +Y,X -Y,X Y,Y / X,-2 -1 0 1 1 2,0 -1 2 1 3 2,1 0 -1 0 -2 0,1 0 -

21、1 0 -1/2 0,例4.2 设 相互独立， ，求 的分布,解 的可取值为0, 1, 2,，对任意正整数k ,有,即 .,10 设 X B (n1, p), Y B (n2, p), 且独立，则,具有可加性的两个离散分布,X + Y B ( n1+n2, p),20 设 且独立，则,4.2 二维连续型r.v.函数的分布,方法：当( X ,Y )为连续r.v. ，且f (x,y)为已知概率密度时,1. 和的分布：Z = X + Y,设( X ,Y )的联合d. f. 为 f (x, y), 则,x +y= z,从而得到 的概率密度为,同理可得,当X与Y相互独立时，有,或,这两个公式称为卷积公式

22、。,记为,解法一（图形定限法）,显然X ,Y 相互独立,且,例4.3 已知( X ,Y ) 的联合d. f. 为,Z = X + Y ,求 f Z (z)。,解法一（图形定限法）,例4.3 已知( X ,Y ) 的联合d. f. 为,Z = X + Y ,求 f Z (z)。,解 从分布函数出发,当z 0时，,当0 z 1 时，,因而,例4.3 已知( X ,Y ) 的联合d. f. 为,Z = X + Y ,求 f Z (z)。,解,当1 z 2 时，,z-1,因而,当2 z 时，,因而,综上所述,例4.3 已知( X ,Y ) 的联合d. f. 为,Z = X + Y ,求 f Z (z)

23、。,解,例4.4 已知 ( X ,Y ) 的联合 d.f.为,Z = X + Y ,求 f Z (z),解法一 （图形定限法）,由公式,当 z 2 ,f Z (z) = 0。,当 0 z 1,当 1 z 2,例4.4 已知 ( X ,Y ) 的联合 d.f.为,Z = X + Y ,求 f Z (z),解法一 （图形定限法）,综上所述,解法二（不等式组定限法）,考虑被积函数取非零值的区域,令不等式边边相等,解得 z 轴上的三分界点 0,1,2个,例4.4 已知 ( X ,Y ) 的联合 d.f.为,Z = X + Y ,求 f Z (z),当 或 时不等式组,当 时不等式组 解为,当 时不等式

24、组 解为,解法二（不等式组定限法）,无解,例4.5 设X 、Y相互独立，均服从标准正态分布，求Z= X + Y 的概率密度,解,即,正态随机变量的结论,其中 为常数。,解,设 的分布函数为 ，,例4.6 设随机变量 X 和 Y 相互独立，并且都服从正态分布 , ，求 的分布,当 时，有,综上所述,解,例4.6 设随机变量 X 和 Y 相互独立，并且都服从正态分布 , ，求 的分布,当 时，有,从而 Z 的概率密度为,2、 及 的分布,设 X与Y 相互独立，分布函数分别为 , . 则,例4.7 系统 L 由相互独立的元件L1，L2组成, 其连接 方式为 (1)串联；(2)并联；(3) 备用 (当

25、L1失效时, L2工作)；,若两个元件寿命分别为 ，且,求在以上 3 种组成方式下, 系统 L 的寿命 X 的 d. f.,解,(1)串联,(2)并联,(3) 备用,由于,当 时，由于,所以,当 时，有,综上所述,5 n维随机变量,定义 设随机试验E的基本空间为, 是定义在上的n个随机变量,由它们构成的向量 叫做n维随机向量或n维随机变量,1. 对任意实数 , n元函数,2. 若n维随机变量 所有可能取的值是有限或可列无限个n元数组，则称之为n维离散型随机变量,其概率分布为,3. 如果存在非负函数f (x1 , x2 , xn)，使对任意的x1 , x2 , xn，都有,则称(X1 , X2 , Xn)为n维连续性随机变量。,例如,则 关于 的边缘概率密度为,设n维离散型随机变量 具有概率分布,则 关于 的边缘概率分布（边缘分布律）为,5. 如果对于任意n个实数 ，有,则称随机变量 是相互独立的。,n维离散型随机变量 相互独立充要条件是,n维连续型随机变量 相互独立充要条件是,6. 如果对于任意m+n个实数 ，有,和 是相互独立的。,和 相互独立。,的分布函数为,的分布函数为,设随机变量 独立且有相同分布函数 ，则,