《高等数学（第二版）》课件7.第七节数学建模-微分方程的应用举例.pptx

1、第第七七节节 数学建模数学建模微分方程微分方程 的应用举例的应用举例第第八八章章 微分方程微分方程例例1 在时刻 时，将质量为m的物体以初速度 下抛，在不计空气阻力的情况下，求物体下落的距离与时间的函数关系。0t0v设物体在时刻 的位置为数轴 的原点，x轴的正方向铅直向下，设经过t秒后物体运动的距离为x，其中 。OX0t)(txx 根据牛顿第二定律 ，其中F是时刻t物体所受的力.在这里物体只受重力作用，即 .是时刻t时物体运动的加速度，此处maF mgF 22dtxda 解：解：所以有关系式 ，即 。(1)此外还有关系式 (初始位置)，(初始速度)22dtxdmmg gdtxd2200tx00

2、vvt1)(Cgtgdtdtdxtv212121)(CtCgtdtCgtx其中 ,为任意常数1C2C(3)两端再求一次积分，得到对(1)式两边求积分，可得(2)把初始代入(2)、(3)得01vC 02Ctvgtx0221这就是所求下抛物体下落距离与时间的关系式。所以满足条件的解为用x表示该放射性物质在时刻t的质量，则 表示x在时刻t的衰变速度，于是“衰变速度与现存物质的质量成正比”可表示为例例2 衰变问题。镭、铀等放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量，这种现象称为放射性物质的衰变。根据实验得知，衰变速度与现存物质的质量成正比，求放射性元素在时刻的质量。dxdtdxdtkx 解：解：（

3、4）这是一个以x为未知函数的一阶方程，它就是放射性元素衰变的数学模型，其中 是比例常数，因元素的不同而异。方程右端的负号表示当时间增加时，质量x减少。0k 解方程（4）得通解 。若已知 时，代入通解中可得 ，则可得到特解ktxCe0t 0 xx000Cx ex0ktxx e它反映了某种放射性元素衰变的规律。例例3 求半衰期。求衰减方程为 的放射性物质的半衰期。0ktxx e半衰期是方程为 的解。即 则半衰期为：显然，半衰期t仅依赖于k值，与放射性物质的重量 无关。0012ktxx e12kte11ln2ln2tkk 0 x解：解：Torricelli定律 Torricelli定律是说，如果像（

4、图（11.1）那样排水，水流出的速率等于一个常数乘水深度的平方根。常数依赖于出口的尺寸。在例5中，我们假定常数为1/2。底半径r为高为h的直圆柱体积是 。模型桶中的水的体积是 。例例4 从桶中排水.一个直圆柱形的桶半径为5米，高为16米，起初装满了水，以 的速率从桶中排水，求在任何时刻t，桶中水的深度和总量的公式。把桶中的水排空需多少时间？30.5/x米米分分2Vr h22(5)25Vr hxx25dVdxdtdt0.525dxxdt50dxxdt 微分方程：解：解：初始条件：。(0)16x12150 xdxdt 12150 xdxdt 121250 xtC(0)16x8C 124100tx求

5、解：分离变量两边积分 把 代入得：则 我们要求的公式为 和 。解释 在任何时刻t，桶中水深是 米，而水的总量是 。在 米，这正是所必需的值。桶在 分将是空的（），这大约是21小时。2(4)100tx22525(4)100tVx2(4)100t225(4)100t3米米0,16tx3400v米米400t0V 例例5 冷却问题牛顿冷却定律指出，当系统与环境的温度值（不超过1015）不大时，系统温度的变化率与系统温度之差成正比，其数学表达式为 （5）其中T为系统温度，为环境温度，t为客观时间，k为散热系数，散热系数只与系统本身的性质有关。)(0TTkdtdT0T对于由液体、固体、电介质等工作物质构成

6、的系统，当它在某一微小过程中吸收的热量为 、温度升高为 时，称 （6）dQdTdTdQC)()(010TTkTTCkdtdTCdtdQdtTTkTTkdtTTkQtttttt)()()(01010120012121,tt1T2T所以，系统在时间段 内，温度从 变化到 时，系统与环境间交换的热量为 （8）为系统在该过程的热容。结合（5），（6）式有 （7）其中 为系统温度与环境温度相等时的时间，表示系统散热，表示系统吸热。另外，利用牛顿冷却定律还可为侦破工作提供有利可靠的科学依据。0t0)(0101dtTTktt0)(0120dtTTktt案例案例 某被害者尸体于晚上6:30被发现，法医于晚上7

7、:20赶到案发现场，测得尸体温度为32.6；一小时后，当尸体抬走时，测得尸体温度为31.4，室内温度在几小时内始终保持在21.1。此案最大的嫌疑犯是张某，但张某声称自己无罪，并有证人说：“下午张某一直在办公室上班。4:00时打了一个电话后才离开办公室”。从张某的办公室到被害者家步行需5分钟，根据上述信息判断张某是不是杀人犯？模型假设模型假设 人体体温受大脑神经中枢调节，人死后体温调节功能消失，尸体的温度受外界环境温度的变化而变化。将尸体看成是一个系统，环境为死者的家，此时尸体温度的变化服从牛顿的冷却定律。模型的建立和求解模型的建立和求解 设 表示t时刻尸体的温度，并记晚上7:20为 时刻，则根

8、据实测数据有)(tT0tCTCT004.31)1(,6.32)0(假设受害者死亡时体温是正常的，即 ，要确定受害者死亡时间 ，即求 的解。该时间 如果张某在办公室，则他被排除在嫌疑犯之外。CtT0037)(0tCtT037)(0t由（5）式得其通解 （9）其中 为被害者家的温度，即环境温度。根据（8）式确定常数 和散热系数k，于是有kteCTtT*0)(CT001.21*C6.321.21)0(0*keCT4.31*1.21)1(1keCT解方程组得 。因此（9）式化为 当 时，即 的解为 11.0103ln,5.11*kCtetT11.05.111.21)(CtT037)(375.111.2111.0te分小时小时57295.20t所以，被害者的死亡时间为7时20分-2小时57分=4时23分即被害者的死亡时间约在下午4：23，因此张某不能被排除在嫌疑犯之外。注1:该问题的处理方法也可通过测量被害者从晚上7：208：20这一个小时所放出的热量，通过（9）式确定被害者的死亡时间。注2:如果张某的律师出具了一份非常重要的证据：被害者于当天下午去医院看过病，病历记录了被害者发烧到38.3。在死者体内未发现服用过阿司匹林或类似药物的条件下，张某就能排除在嫌疑犯之外。