《高等数学（第二版）》课件4.第四节 高阶导数.ppt

1、第四节第四节 高阶导数高阶导数第三章第三章 导数与微分导数与微分 一般地，设 在点 的某个邻域内有定义，若极限xxxfxxfx)()(lim0存在，则此极限值为 在点 处的二阶导数，记为)(xfy x2222)(),(,dxxfddxydxfy或 类似地，有 的 阶导数 。)(xfy nnnnnnndxxfddxydxfy)(,),(,)()(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数。)(xfy 函数 的各阶导数在 处的数值记为0 xx)(,),(),(0)(00 xfxfxfn000|,|,|)(xxnxxxxyyy或)(xf 求 的 阶导数，只须对函数 逐次求导，同时从低阶导数找规律，即得 的

2、阶导数。)(xfnn)(xf)(xf例例1 求 的 阶导数。12325xxxyn 解：解：因为012012060 620 265)6()5()4(234yyxyxyxyxxy所以0)(ny)5(n 例例2 求 的 阶导数。xay n 解：解：因为32)(ln )(ln lnaayaayaayxxx从而推得 nxnaay)(ln)(特别地，若 ，则 ea xnxee)()(例例3 求 的 阶导数。xysinn解：解：因为)23sin()22cos()22sin()22sin()2cos()2sin()2sin(cosxxxyxxxyxxy从而推得)2sin()(sin)(nxxn同理可得)2cos()(cos)(nxxn例例4 设 ，求 。(sin)(1 cos)xa ttyat22d ydx解：解：sinsin(1cos)1costtydyattdxxatt2cos(1 cos)sinsin1 cos(1 cos)ttttttdytdxxat32cos11(1 cos)(1 cos)tatat 22d ydx22d ydx切记，不要误认为 就是 ，还要注意，。tdydx22d ydxttyx