《高等数学（第二版）》课件7.第七节 斯托克斯公式与旋度.pptx

1、一一、托克斯公式托克斯公式（StokesStokes）第七节第七节 斯托克斯公式与斯托克斯公式与旋度旋度第十二章第十二章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分二、流量与旋度二、流量与旋度一托克斯公式（一托克斯公式（StokesStokes）定理定理（斯托克斯公式）设 为分段光滑的空间有向闭曲线，是以 为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与 的一侧符合右手规则（即当右手除拇指外的四指依 的绕行方向时，拇指所指的方向与 上法向量的指向相同，这时称 是有向曲面 的正向边界曲线。），函数 、在曲面 （连同边界 ）上具有一阶连续偏导数，则有,Pxyz,Q x y z,R x y zRQPRQPdydzdz

2、dxdxdyyzzxxyPdxQdyRdz PdxQdyRdz dydzdzdxdxdydSxyzPQRPdxQdyRdz coscoscosdSxyzPQR为了便于记忆，斯托克斯公式还可以表示为根据两类曲面积分之间的关系，上式还可以写为其中 为有向曲面 在点 处的单位法向量。cos,cos,cosn,x y z例例1 利用斯托克斯公式计算曲线积分 ，其中 为平面 被三个坐标面所截成的三角形的整个边界，它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则（如图）。ydzxdyzdx1xyz解解利用斯托克斯公式，有zdxxdyydz dydzdzdxdxdyxyDd3由于 的法向量的三个方向余弦都为

3、正，又由于对称性，上式右端等于其中 为 面上由直线 及两条坐标轴围成的三角形闭区域，因此xyDxOy1xyzdxxdyydz 23利用斯托克斯公式取平面 被球面 所截的部分为 ，它显然是以a为半径的圆盘，其面积为 且 上每点处的法向量 的方向余弦均为0 xyz2222xyza2,an1coscoscos3例例2 利用斯托克斯公式计算曲线积分 ，其中 为球 与平面 的交线，从z轴正向看去 为逆时针方向。ydxzdyxdz 2222xyza0 xyz解解所以，由所托克所公式有ydxzdyxdz coscoscosdSxyzyzx233adS二、流量与旋度二、流量与旋度设有向曲面 在点 处的单位法向

4、量为,x y zcoscoscosnijk而 的正向边界曲线 在点 处的单位切向量为,x y zcoscoscosijkdSxPxQxRzPzQyRcos)(cos)(cos)(coscoscos)PQRdS 则斯托克斯公式可用对面积的曲面积分及对弧长的曲线积分表示为设向量场 ,A x y zP x y z i Q x y z jR x y z k,RQyz,PRzxyPxQRQPRQProtAijkyzzxxy A rotA 的向量叫做向量场 的旋度。记作 ，即在坐标轴上投影分别为则斯托克斯公式可写为 dSnArotAdS dSArotn)(A dS coscoscosnrotArotA nRQPRQPyzzxxy coscoscosAAPQR A 为向量 在 的切向量上的投影。rotA 为 在 的法向量上的投影，而其中或沿有向闭曲线 的曲线积分RdzQdyPdxA dS 叫做向量场 沿有向闭曲线 的环流量环流量。于是斯托克斯公式现在可叙述为：向量场 沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 的旋度通过 所张的曲面 的通量，这里的 正向与 的侧应符合右手规则。A A A.ijkrotAxyzPQR 为便于记忆，公式可利用行列式记号记为我们称由向量场 所产生的向量场 为旋度场旋度场。如果在场中每一点都有 则称向量场 为为无旋场无旋场。A A rotA 0,rotA