《高等数学（第二版）》课件4.第四节 对面积的曲面积分(第一类).pptx

1、一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质第四节对面积的曲面积分第四节对面积的曲面积分（第一类曲面积分）（第一类曲面积分）第十二章第十二章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质 设空间曲面片 上任一点 处的面密度为连续函数 。,x y z,x y z计算曲面 的总质量与计算曲线弧的总质量在本质上是一致的。先把 分成n个小片 ，在 上任取一点 的密度作为 上各点的密度，然后近似计算每一小片的质量，最后求和取极限便得到精确值。于是，面密度为 的曲面块的质量M

2、就是下列和式的极限),2,1(niSi iS,iii iS,x y z01lim,niiiiiMS 其中 表示n个小曲面片的直径（即小曲面片上任意两点间距离的最大者）的最大值。定义定义 设函数 在光滑曲面 上有界。把 任意分成n块小曲面 （其面积亦记作 ）,在 上任意取一点 ,作乘积 ,并作和 。,f x y ziSiSiS,iii iiiiSf),(),2,1(ni iniiiiSf),(1如果当各小曲面的直径的最大值 时，这和式的极限总存在，则称此极限值为函数 在曲面 上对面积的曲面积分,记作 ，即0,f x y zdSzyxf),(01,lim,niiiiif x y z dsfS ,f

3、 x y z其中 称为被积函数，称为积分曲面。当 在光滑曲面 上连续时，对面积的曲面积分是存在的，今后总假定 在 上连续。),(zyxf),(zyxf由上述定义，面密度为连续函数 的光滑曲面 的质量为,x y zdSzyxfM),(如果 是分片光滑的，我们规定函数在 上对面积的曲面积分等于函数在光滑的各片曲面上对面积的曲面积分之和。即如 可分成两片光滑曲面 和 （记作 ），就规定1212 dSzyxf 12),(dSzyxfdSzyxf21),(),(=二二、对面积的曲面积分的计算法、对面积的曲面积分的计算法 设光滑曲面 由方程 给出，在 面上的投影区域为 （如图）,函数 在 上具有连续偏导数

4、，被积函数 在 上连续。,zz x yxOyxyD,zz x yxyD,f x y z01,lim,niiiiif x y z dsfs 设 上第i块小曲面块 在 平面上的投影区域为 ，则 iSisxOyxy)(221,ixyixySzx yzx y dxdy按对面积的曲面积分的定义，有由二重积分的中值定理可知：xyiiiyiixizzS)(),(),(122其中 为小闭区域 上的一点，又 是 上的点，故 ，于是,ii xy)(,iii ,iiiz niiiiiSf1),(niiiiizf1),(,(xyiiiyiixzz)(),(),(122=由于 及函数 都在闭区域 上（一致）连续，),(

5、,yxzyxf),(),(122yxzyxzyxxyDniiiiizf1),(,(xyiiiyiixzz)(),(),(1220当时 ，上式右端的极限与的极限相等。由于积分的存在性，它等于二重积分22,1,xyxyDf x y z x yzx yzx y dxdydSzyxf),(22,1,xyxyDf x y z x yzx yzx y dxdydSzyxf),(所以左端的极限即曲面积分 也存在，且有(1)将被积函数中的变量z换成 ；),(yxz如果积分曲面 由方程 或 给出，可类似地把对面积的曲面积分化为相应的二重积分。,xx y z,yy z xdxdyyxzyxzdSyx),(),(1

6、22(3)代入面积元素 ，这样就可化对面积的曲面积分为二重积分计算。(2)求出 在xoy面上的投影区域 ；xyD计算对面积的曲面积分具体步骤如下：计算对面积的曲面积分具体步骤如下：例例1 计算曲面积分 ,其中 是球面 被平面 截出的顶部。zdS2222xyza0zhha222zaxy 在 面上的投影区域 为圆形闭区域：。xOyxyD2222hayxdxdyyxzyxzdSyx),(),(122222adxdyaxy的方程为解解 利用极坐标，得 zdSdrdraarxyD222222200ahraddrar2222012ln2ln2ahaaarah 曲面积分与曲线积分一样可以利用曲面关于坐标面的

7、对称性及函数的奇偶性来简化运算。zdSdxdyyxaaxyD222根据公式（2），有因为 不能表示为 的二元显函数，所以要把此曲面积分化为 （或 ）面上投影区域上的二重积分。此时 分为左右两个半圆柱面 和 其中 的方程为 ；的方程为 例例2 计算 ，其中 为圆柱面 介于 与 之间的部分，r为 上的点到原点的距离。2rdS222xyR0z h),(yxxOzyOz1222yRx1xzDzx),(222yRx xzDzx),(上两式中 为 或 在 面上的投影区域。hzRxRzxDxz0,|,12xOz解解 因为 ,所以 ，又 22,0yxyxzRxdzdxxRxdS2221dzdxxRR22222

8、2222zRzyxr因为 与 关于 面对称，被积函数是y的偶函数，所以12xOz22220112hRRRdzdxRzRx012arctanarcsinhRRzxRRRR 2rdS122rdS22222212xyDRdzdxxRxzRx=2 arctanhR例例3 计算 ,其中 为平面 被柱面 所截得的部分（如图）。xyz ds5yz2225xy在 面上的投影 =,。xOyxyD22,25x yxydxdyyxzyxzdSyx),(),(122dxdy2解解 5zyxyDyx),(的方程为：，其中 的被积函数x为关于x的奇函数，关于y 轴对称，故此积分为零。xyDxdxdyxyD所以52xyDxyz dsxyydxdy25xyDxdxdy25xyDdxdy21255252