《高等数学(第二版)》课件3.第三节 定积分与原函数的联系.pptx
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1、第三节第三节 定积分与原函数的联系定积分与原函数的联系 第六章第六章 定定 积积 分分一、一、积分上限的函数及其导数积分上限的函数及其导数二、二、牛顿牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式 一、一、积分上限的函数及其导数积分上限的函数及其导数 设函数 在闭区间 上连续,对任意的 ,定积分 )(xf,ba,baxxadxxf)(一定存在。这里x既表示积分变量,又表示积分上限,为便于区分起见,可以把积分变量x换成t,于是上面的定积分可以写成 。xadttf)(令上限x在区间 上变化,这时对于每一个取定的x值,定积分就有一个确定的数值与之对应,所以它在 上定义了一个x的函数,记作 。,ba,ba)(x即 xa
2、dttfx)()()(bxa我们把这个函数 称为积分上限函数。这个函数的自变量是定积分的上限,这是一种新的表示函数的方法。)(x)(x函数 具有下面的重要性质。定理定理1 设函数 在区间 上连续,则积分上限函数,在上可导,且有 )(xf,baxadttfx)()()()()(xfdttfdxdxxa)(bxa (只证 的情况,当 及 时证明类似)对任意 ,给x以增量 ,且假设 ,则 在点 的函数值为 bxaax bx),(baxx),(baxx)(xxxxxadttfxx)()(证:证:于是 xxxxaxxxxaxaxxadttfdttfdttfdttfdttfdttfxxx)()()()()
3、()()()(由积分中值定理 其中 在x与 之间。xfdttfxxx)()(xx令 ,则必有 ,又因为 为连续函数,从而即 可导,且 。0 xx)(xf)()(lim)(limlim00 xffxxfxxxx)(x)()(xfx 上述定理同时也指出了一个重要结论:若 在 上连续,则函数 就是 在 上的一个原函数。即连续函数的原函数必存在。)(xf,baxadttfx)()()(xf,ba例例1 设 ,求 ,。xtdtex02)()(x)0(220)(xxtedtedxdx1)0(02xxe解解 例例2 求 dttdxdx20311 它是以 为上限的积分,作为x的函数,可看成是以 为中间变量的复
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