《高等数学（第二版）》课件2.第二节 空间向量的数量积、向量积、混合积.ppt

1、一、数量积一、数量积二、垂直（正交）向量和投影二、垂直（正交）向量和投影第二节第二节 空间向量的数量积、向空间向量的数量积、向量积、混合积量积、混合积第九章第九章 空间解析几何空间解析几何三、向量积三、向量积四、混合积四、混合积一、数量积一、数量积当把空间中两个非零向量当把空间中两个非零向量 和和 的起始点重合在一的起始点重合在一起时，它们形成一个大小为起时，它们形成一个大小为 的夹角。空间的夹角。空间中两个向量的中两个向量的数量积（或内积，点积）数量积（或内积，点积）可以用定义可以用定义平面向量数量积的同样方式定义。平面向量数量积的同样方式定义。UV0定义定义 设设 和和 是空间中的两个非零

2、向量，是空间中的两个非零向量，和和 的数量积（点积、内积）为，的数量积（点积、内积）为，其中其中 是是 和和 之间的夹角。之间的夹角。U VcosU VUVUV1 1223 3U Vu vu vu v空间中的两个非零向量空间中的两个非零向量 和和 的数量积的计算：的数量积的计算：设设 ，则，则 123Uu iu ju k123Vviv jv kUV把数量积定义中的把数量积定义中的 解出来，就得到求空间中的解出来，就得到求空间中的两个给定向量之间夹角的公式。空间中的两个非零两个给定向量之间夹角的公式。空间中的两个非零向量向量 和和 之间的夹角为之间的夹角为UV1cosU VU V11 1223

3、3222222122122cosu vu vu vuuuvvv例例1.求 和 之间的夹角。22Uijk 632Vijk 1 623226644U V 2221223U 2226327V 1cosU VU V 14cos3714cos21解：若若 和和 是任意向量，而是任意向量，而 是数，则是数，则,U VWcU VV U（1）cUVUcVc U V（2）UVWU VU W（3）2U UU（4）00 0U U（5）二、垂直（正交）向量和投影二、垂直（正交）向量和投影与平面向量的情形一样，两个非零向量与平面向量的情形一样，两个非零向量 和和 是是垂垂直的或正交的直的或正交的，当且仅当，当且仅当 在

4、一个非在一个非零向量零向量 上的投影向量（上的投影向量（如图如图）是由从）是由从 Q到直到直线线PS做垂线而得的向量做垂线而得的向量 。这与平面向量的情形。这与平面向量的情形完全一样，该向量记为完全一样，该向量记为 （在在 上的上的向量投向量投影影）。）。0,U VUPQ VPS PR Vproj UUVUV 如果 表示一个力，那么 表示在方向 的有效力Vproj UUVvproj U2U VVV cosUU VVUVV 由于由于 在在 上的向量投影：上的向量投影：UV故数故数 称为称为 在方向在方向 的数量分量。我们可以的数量分量。我们可以通过通过 “点乘点乘”的方向求得数量分量。的方向求得

5、数量分量。cosUUUVV632Uijk22Vijk UV例例2求在上的向量投影和在方向的数量分量。解：vproj U2U VVV 66422144ijk4488229999ijkijk cosUVUV122632333ijkijk442233 的数量分量。U在方向VUVV 与平面向量一样，可以把一个向量与平面向量一样，可以把一个向量表示成个平行于表示成个平行于的向量和一垂直于的向量和一垂直于的向量之和。的向量之和。vvUproj UUproj U23Fijk3VijVV例例3一个力作用在速度为的太空船上。把F表示成一个平行于的向量和一个垂直于的向量之和。解：vvFproj FFproj FF

6、 VF VVFVVVVV6 16 19 19 1VFV51513233102102ijijkij311332222ijijk 。三三、空间中两个向量的向量积空间中两个向量的向量积UVUVn我们假定在空间中给定两个非零向量我们假定在空间中给定两个非零向量和和。和和我们用右手法则选择一个垂直于这个平面的单我们用右手法则选择一个垂直于这个平面的单位向量位向量。如果如果不平行，那么它们决定一个平面。不平行，那么它们决定一个平面。UVUVsinUVU Vn1.定义定义 设给定两个非零向量和，和的向量（叉）积为 UV如果如果和和中的一个或两个为零，我们定义中的一个或两个为零，我们定义U VUV为零。这样一

7、来，为零。这样一来，和和的叉积为零，的叉积为零，UV和和平行或它们中的一个或两个为零。平行或它们中的一个或两个为零。当且仅当当且仅当UV0U V非零向量和称为平行向量，当且仅当2.向量积（叉积）的性质：向量积（叉积）的性质：1rUsVrsUV 2UVWUVUW 3VWUVUWU 4VUUV 500UUVWUVUVWVW通常，由于 位于 和 所在的平面上，而 在 和 所在的平面上，所以向量积乘法是不满足结合律的。当我们用定义计算当我们用定义计算 和和 的两两向量积时，便得到的两两向量积时，便得到,i jkijj ik jkkji kii kj 0i ijjkk U V3.的行列式表示的行列式表示

8、 假定假定123Uu iu ju k123Vviv jv k那么由分配律和那么由分配律和 和和 相乘的法则告诉我们相乘的法则告诉我们,i jkU V 123123u iu ju kviv jv k1 11 21 3u vi iu v iju v ik 2 1222 3u v jiu v jju v jk 3 13 23 3u v kiu v kju v kk 2 33 21 33 11 22 1u vu viu vu vju vu v k2323uuivv1313uujvv1212uukvv于是我们可以于是我们可以用用下列行列式计算向量积（叉积）下列行列式计算向量积（叉积）U V123123i

9、jkuuuvvv2 33 21 33 11 22 1u vu viu vu vju vu v k 例例5求垂直于 ，和 所在的平面的向量。1,1,0P2,1,1Q1,1,2R 解：向量 垂直于平面，因为它垂直于平面上的两个向量。利用分量我们求得PQPR (2 1)(1 1)(1 0)2PQijkijk (1 1)(1 1)(20)222PRijkijk PQPR 121222ijk211112222222ijk66ik 例例6 求顶点 ，和 的三角形的面积。1,1,0P2,1,1Q1,1,2R 解：由 和 所确定的平行四边形的面积是,P QR66PQPRik 22666 2三角形的面积是这个值

10、的一半 。3 2 例例7求垂直于 ，和 所在的平面的单位向量。1,1,0P2,1,1Q1,1,2R 解：向量 垂直于平面，它的方向 是垂直于平面的单位向量，由例5和例6有：PQPR nPQPRPQPR 666 2ik1122ikn4.转矩转矩当我们在扳手上用一个力当我们在扳手上用一个力F转动一个螺栓时，我们转动一个螺栓时，我们产生一个产生一个转矩转矩作用在螺栓的轴上以使螺栓前进。转作用在螺栓的轴上以使螺栓前进。转矩的大小依赖于力作用在扳手的多远处及垂直于扳矩的大小依赖于力作用在扳手的多远处及垂直于扳手的作用点处的力有多大。我们测量转矩大小的数手的作用点处的力有多大。我们测量转矩大小的数是杠杆是

11、杠杆 的臂长和的臂长和F的垂直于的垂直于 的数量分量的乘积。的数量分量的乘积。rr 转矩的大小 sinr FrF转矩向量 sinr FnrF 如果令 是沿螺栓的轴并指向转矩方向的单位向量，那么转矩向量可以完整地表示为n当 和 平行时，定义 为零。这与转矩的解释正好是吻合的。假如图中的力F平行于扳手，即我们试图通过沿着扳手的柄的方向拉或推扳手，所产生的转矩为零。UVUV四、混合积四、混合积积积 称为称为 和和 （按这个次序）的混合积。（按这个次序）的混合积。从公式从公式UVW,U VWcosUVWUV W可以看出，积的绝对值是由可以看出，积的绝对值是由 和和 确定的平行确定的平行六面体（由六面体（由 组成的平行四边形为底面的箱体）组成的平行四边形为底面的箱体）的体积的体积。,U VW,U V数数 是箱体底面平行四边形的面积，数是箱体底面平行四边形的面积，数 是平行六面体的高。是平行六面体的高。U VcosW把 和 以及 和 确定的平面作为平行六面体的底所在的平面，我们可以看出VWWUUVWVWUWUV由此，我们还得到UVWUVW（点积与叉积可交换）UVW211231312332uuuuuuijkWvvvvvv211231312123332uuuuuuwwwvvvvvv123123123uuuvvvwww向量的混合积可以用行列式计算：