《高等数学（第二版）》课件3.第三节 函数的单调性.ppt

1、第三节第三节 函数的单调性函数的单调性第四章第四章 微分中值定理及导数的微分中值定理及导数的应用应用如果函数 在 上单调增加（或单调减少），那么它的图形是一条沿 轴正向上升（或下降）的曲线。)(xfy,bax曲线上各点处的切线是非负的（或非正的）。即 （或 ）。由此可见，函数的单调性与导数的符号有着密切的关系。0)(xfy()0fx定理定理1 设函数 在区间 内可导，那么（1）如果 时，则 在 内单调增加；（2）如果 时，则 在 内单调减少。)(xf),(ba),(bax0)(xf)(xf),(ba),(bax0)(xf)(xf),(ba证：证：任取 ，且 ，则由拉格朗日中值定理有),(,21

2、baxx21xx)()()(1212xxfxfxf),(21xx),(bax)()(12xfxf(2)如果 时，则 ，即(1)如果 时，则 ，即0)(xf0)(f),(bax0)(xf0)(f)()(12xfxf),(ba所以函数 在 内单调减少。)(xf所以函数 在 内单调增加。)(xf),(ba例例1 讨论函数 的单调区间。xxxy22323解：解：因为)2)(1(22xxxxy令 得2,121xx0y用这两点把定义域 划分成区间 ，及 ，其讨论结果列表如),()1,()2,1(),2(所以，函数在 和 内单调增加，在 内单调减小。(,1),2()2,1(例例2 证明当 时 。0 xxxx1)1ln(证：证：由于22)1()1(111)(xxxxxf0 x考虑函数 ，只要证明 （）即可。xxxxf1)1ln()(0)(xf01)1ln(xxx即xxx1)1ln(当 时，因此 在 内单调递增。又因为 ，所以 （），故0)(xf)(xf),0(0)0(f0)0()(fxf0 x0 x综上所述，求函数 增减区间的步骤如下：)(xfy（1）确定函数的定义域；（2）求出 单调区间所有可能的分界点（的间断点，及 不存在的点），并由分界点分割定义域为相应小区间；)(xf)(xf0y y（3）判断一阶导数 在各区间内的符号，从而判断函数在各区间内的单调性。y