《高等数学（第二版）》课件1.第一节 对弧长的曲线积分.pptx

1、一、一、对弧长的曲线积分的概念与性质对弧长的曲线积分的概念与性质第一第一节节 对对弧长的曲线积弧长的曲线积分分 （第一类曲线积分）（第一类曲线积分）第十二章第十二章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法曲线形构件质量曲线形构件质量的计算的计算 在设计曲线形细长构件时，由于构件各点处的粗细不完全一样，因而可以认为这构件的线密度（单位长度的质量）是一个变量。假设这构件所占位置为 平面上一条曲线弧段L，它的端点为A、B点，L上任一点处的线密度为连续函数，现在计算此构件的质量M。xOy一、一、对弧长的曲线积分的概念与性质对弧长的曲线积分的概念与性

2、质如果构件的线密度为常量，则构件质量为线密度与长度的乘积。现在构件上各点处的线密度是变量，因而不能用上述方法来求曲线形构件的质量。1,niiiil M为了克服这个困难，在L上插入 个点，把L任意分成n个小段 ，由于线密度是连续的，可把小段上的线密度视为常量。在其上任取一点 ，这一小段构件的质量近似地等于 ，其中 表示 的长度，于是整个构件的质量1n12,M M1iiMM,ii,iiil il1iiM M1,nM用 表示n个小弧段的最大长度，当 时，即L的分割越来越细时，得到001lim,niiiiMl 在研究其他问题时常会遇到计算此种和式极限的问题，为此我们引进下面的定义。定义定义 设 是定义

3、在 面内光滑曲线弧L上的有界函数。在L上插入点列 把L任意分成n个小弧段，设第i个小段的长度为 ，又 为第i个小弧段上任意取定的一点，作乘积 并作和 。如果当各小弧段上的长度最大值 时，此和式的极限总是存在的且收敛于相同的一个极限值，则称此极限值为函数 在曲线弧L上对弧长的曲线积分，（或第一类曲线积分）。记作 ，即 (,)f x yxOy121,nM MMil,ii,1,2,iiiflin 1,niiiifl 0(,)f x y(,)Lf x y dl01(,)lim,niiiLif x y dll 其中 称为被积函数，L称为积分弧段。(,)f x y 有时，有界函数对弧长的曲线积分不一定存在

4、，但如果函数 在光滑曲线或分段光滑曲线L上连续时，则其对弧长的曲线积分一定存在。以后始终假定 在L上是连续的，L是光滑曲线或分段光滑曲线。(,)f x y(,)f x y 由上述定义，线密度为连续函数 的光滑曲线弧L上的质量，就等于 对弧长的曲线积分，即,x y,x y(,)LMx y dl 另外，对弧长的曲线积分 在几何上还可以理解为以L为准线，以平行于z轴的直线为母线，且母线 长度为的柱面面积。(,)Lf x y dl(,)f x y 还可以把上述定义推广到积分弧段为空间曲线的情形，即函数 在曲线弧 上对弧长的曲线积分为(,)f x y z01,lim(,)niiiiif x y z dl

5、fl 如果L是分段光滑的（即，可分为有限段，而每段都光滑的。以后总假定L是分段光滑的。）则规定函数在L上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分之和。即如 ，就规定12LLL1212(,)(,)(,)LLLLf x y dlf x y dlf x y dl另外，对弧长的曲线积分有以下的性质。(,)f x y(,)Lf x y dl 如果L是闭曲线，那么函数 在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为 。性质性质1（线性性）设 为常数，则 ,(,)(,)(,)(,)LLLf x yg x ydlf x y dlg x y dl12(,)(,)(,)LLLf x y dlf x y dlf x y dl1

6、LL2L性质性质2（弧段可加性）设 由 和 两段光滑曲线弧组成，则 特别地，有 。(,)(,)LLf x y dlf x y dl(,)(,)LLf x y dlf x y dl性质性质4 设在L上 ，则(,)(,)f x yg x y(,)(,)LLf x y dlg x y dl性质性质3 第一类曲线积分不依赖于曲线的方向，即LL其中 表示为与 方向相反的曲线。上述定义和性质可以类似地推广到积分弧段L为空间曲线的情况。二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法定理定理 设 在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为其中 在 上具有连续导数，且 ，则曲线积分 存在，且(,)f x

7、 y(),(),xtytt(),()tt,220tt(,)Lf x y dl 22(,),Lf x y dlftttt dt 如果曲线L由方程 给出，那么可以把L看作以x为参数的参数方程，所以有()yy x()axb 2(,),1bLaf x y dlfx y xyx dxab（1）类似地，如果曲线L由方程 给出，则有 xx ycyd 2(,),1dLcf x y dlfx yxxy dycd如果曲线L由极坐标方程 给出，则由 rrcos,sin,xryr得 22(,)cos,sinLf x y dlfrrrrd ,xtytztt 给出。此时 222(,),f x y z dSftttttt

8、dt 公式（1）可推广到空间曲线弧 ，其中 由参数方程由于积分曲线L 由分段光滑曲线组成，所以可分成线段 ,圆弧 与线段 三段计算。即OAABBO22xyLedl 22xyABedl22xyBOedl在 上，由公式（2），得OA00,yxadldx22xyOAedl10aaxedxe例例1 计算 ，其中L为圆周 ，直线 及 轴在第一象限所围整个边界。22xyLedl 222xyayxx解解22xyOAedl在 上,，由公式（2），得BO20,22yxxadsdx22222021axyxaBOedsedxedseLyx22aaaee4)1(2在 上，由公式（1），得ABcos,sin,4xt y

9、atatdladt 22404xyaaABedleadtae合并后得例例2 计算曲线积分 ，其中L为心脏线 的下半部分。Lydl1 cosra1 cos2ra 22sinLLydlrrrd2221 cossin1 cossinaaad 2238cossincos222ad2248cossin22ad 22521616cos525aa 解解心脏线下半部分的极坐标方程为所以例例3 计算曲线积分 ，其中L为螺旋线 上相应于t 从0到 的一段弧。222Lxyzdlcos,sin,xt yat zkt2222Lxyzdl222222 2222220cossinsincosatatk tatatk dt2

10、22 2220ak tak dt22222 3013aka tk t222222343akak计算对弧长的曲线积分，应根据给定曲线的形式，正确给出不同类型的参数方程，写出定积分表达式。在计算中还可利用区域对称性与函数奇偶性来简化计算。解解例例4 设L为椭圆 其周长为 ，求 。221,43xy22(234)Lxyxy dl 223412xy20Lxydl 解解 积分曲线如图因此有因为积分曲线L关于y轴对称，函数2xy是y的奇函数，L方程可写为，所以22(234)Lxyxy dl 2Lxydl 22(34)Lxy dl=+a而 ，被积函数定义在L上，由L可知 =12 ，22(34)Lxy dl 22(34)Lxy dl 12Ldl 12Ldla 22(234)12Lxyxy dla 所以