清华大学信号与系统课件第九章离散傅立叶变换及其快速算法.ppt

1、1第九章离散傅立叶变换及其快速算法 傅立叶变换的离散性和周期性傅立叶变换的离散性和周期性 从离散傅立叶级数从离散傅立叶级数(DFS)到离散傅立到离散傅立叶变换叶变换(DFT)离散傅立叶变换(DFT)的性质 离散傅立叶变换(DFT)与 Z 变换的关系 快速傅立叶变换(FFT)离散傅立叶变换(DFT)的应用29.2傅立叶变换的离散性和周期性傅立叶变换的离散性和周期性对称关系对称关系时域周期性时域周期性频域离散性频域离散性（时域重复（时域重复频域抽样）频域抽样）时域离散性时域离散性频域周期性频域周期性（时域抽样（时域抽样频域重复）频域重复）时域非周期时域非周期频域连续性频域连续性 （频域取包络（频域

2、取包络 ）时域连续性时域连续性频域非周期频域非周期（傅立叶变换的对偶性）（傅立叶变换的对偶性）nnFTF101)(3四种物理存在信号的傅立叶变换四种物理存在信号的傅立叶变换（1）连续周期信号的）连续周期信号的（2）连续非周期信号的）连续非周期信号的（3）离散非周期序列的）离散非周期序列的（4）离散周期序列的）离散周期序列的FTFTFTFT4（1）连续周期信号的傅立叶变换 从从FS到到FT 从单脉冲的周期重复从单脉冲的周期重复)(2)(1nFtfFTnn221111).(1TTtjnndtetfTF5例1：周期矩形脉冲的FS和FT01T1TE)(tf1TE1E)(FnFtFSFT周期重复)(21

3、11nnSaEn)(2)(1nFtfFTnn2).(111221111nSaTEdtetfTFTTtjnn6dtetfFtj)()(（2）连续非周期信号的傅立叶变换E)(0tf022tE)(0F220nFFT例2：2)(SaEF从傅立叶积分得到从傅立叶积分得到从周期信号取单脉冲得到从周期信号取单脉冲得到7例例2：从周期信号取单脉冲得到：从周期信号取单脉冲得到1T1TE)(tftnFE)(0tf022t110)(nnTFF220FT2).(111221111nSaTEdtetfTFTTtjnn2)(SaEF8nnjjenxeX)()(（3）离散非周期序列的傅立叶变换 从从Z变换的变量置换得到变换

4、的变量置换得到 从非周期信号的抽样得到从非周期信号的抽样得到 从离散周期信号取单周期得到从离散周期信号取单周期得到9例3：从非周期信号抽样得到离散非周期序列)(tf0t)(F01)(tP)1(0t0)(tfs相乘相卷)(sssss00tsT)(sFsT1FTFTFT频域周期重复)()(nsTnTttnssnp)()(时域抽样)(1snsnFT10例例4：从离散周期信号取单周期得到：从离散周期信号取单周期得到t0221T1T)(nfp022)(0nfsTE222sT2sT2t)(22snsnSaTE11（4 4）离散周期序列的傅立叶变）离散周期序列的傅立叶变换换 从连续周期信号的抽样得到从连续周

5、期信号的抽样得到 从离散周期序列的从离散周期序列的DFS得到得到 从离散非周期信号的周期重复得到从离散非周期信号的周期重复得到10)()()(NkpLNkkXnTxFT12从连续周期信号的抽样得到从连续周期信号的抽样得到1T1TE)(tft1E)(FFTsTE122sT2sT2t)(2111nnSaTEns13例例4：离散周期矩形序列的傅立叶变换：离散周期矩形序列的傅立叶变换t0221T1T)(nfpE)(pFsTTE1222sT2sT2t220t后重复)(1tf先抽样022)(0nf离散非周期信号的周期重复离散非周期信号的周期重复149.3 从离散傅立叶级数从离散傅立叶级数(DFS)到离散到

6、离散傅立叶变换傅立叶变换(DFT)效仿连续周期信号有傅立叶级数，记作：效仿连续周期信号有傅立叶级数，记作：离散周期序列也有傅立叶级数，记作：离散周期序列也有傅立叶级数，记作：dtetxTFeFtxTTtjnpnntjnnp2211)(1)()(1)(1)(1010222kXNenxNaeaeanxpNnknjpkknjNkkknjkkpNNN周期性以N为周期151.2,1,0)(1)(1.2,1,0)()(221010NkekXNnxNnenxkXknjNkppNnknjppNN离散周期序列的傅立叶级数离散周期序列的傅立叶级数(DFS)的正负的正负运算对运算对周期序列的基频是周期序列的基频是

7、是是 K次谐波分量，谐波系数是次谐波分量，谐波系数是 谐波成分中只有谐波成分中只有N个是独立的个是独立的 ，是周期的是周期的njNe)(2)(kXp)()()(22NknjnkjNNeenkjNe)(2)(kXp16)(nxpnN0N2N)(kXp0NN2Nk17有限长序列是周期序列的一个周期有限长序列是周期序列的一个周期 有限长序列 x(n)只有的N个值x(n)可看成是周期序列的主值序列，记作 周期序列 当 叫做 的主值周期，记作 有限长序列的以N 为周期的周期延拓)(0)10()()(otherNnnxnx)(0)10()()(otherNnnxnxp1.2,1,0Nn1.2,1,0Nn)

8、(nxpNpnxnx)()()()()(nGnxnxNp)()()(nGnxnxNp18的主值序列的主值序列 也是周期性的，相当于有限长也是周期性的，相当于有限长序列周期延拓序列周期延拓 当当 时，其主值序列时，其主值序列相当于一个有限长序列相当于一个有限长序列)(kXp10Nk)(kXpNpkXkX)()()()()(kGkXkXNp19 和和 都取主值周期，得到离都取主值周期，得到离散傅立叶变换散傅立叶变换(DFT)对对1.2,1,0)(1)(1)(1.2,1,0)()()(10101010222NkWkXNekXNnxeWhereNnWnxenxkXnkNknkjNkjNnnkNnknj

9、NNN)(kX)(nx20NjNeW2NjNeW22210)()(NnnkNNWnxnxDFT120120222)()()(NnnNNnnkNNkWnxWnxnxDFT周期为周期为N和周期为和周期为2N的不同的不同 当主值周期为0N-1时，点的DFT为 当主值周期为02N-1时，2N DFT（接下页）21 212101012)(2102120222)1(1)()()()()()()(22kNkkNNNnnNNnnNNNnNnkNNnnkNNnnkNNNXWWnxWnxWNnxWnxWnxnxDFTkXkk22小结小结 是是 的主值序列的主值序列 是严格按傅立叶分析的概念得来的是严格按傅立叶分析

10、的概念得来的 只是一种借用形式，一种算法只是一种借用形式，一种算法 用用 计算信号的频谱时，计算信号的频谱时，采样频率必须大于两倍的信号最高截止频率采样频率必须大于两倍的信号最高截止频率 对周期信号要取一个整周期对周期信号要取一个整周期DFTDFSDFSDFTDFTDFT23)(nxpnN0N2N)(kXp02NN2NkN0N0nk)(nx)(kXDFSDFT24 FS FT DFS FT)(2)(1nFtfFTnn102)(1)(1NnknjppkNenxNkXNa221111).(1TTtjnndtetfTF)()()()(12)(2)(10LNkkXnkXNTnaTtfFTNnnpsnksntjnnpeFtx1)(knjNkkpNeanx210)(所以知道DFT=X(k)就可以求得离散周期信号的FT,也就可以找到其他三种的FT25例#：已知N 的x(n)序列的 DFT如图所示，求下图x1，x2，x3,x4的FTN0N0nk)(nx)(kX)(1nxxpn0N)(2txxpTNTs02NN2N)(kX02N2N)(2kXNkk1N226TNTs02N2Nk)(12)(kXNkXTs)(30txx N0n)(nx02N2NkN)(kXsT127作业 9-5 9-6 补充题：把例#自己重作一遍