江苏省南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校2020届高三联考数学调研测试试题（解析版）.doc

1、 南师附中、天一、海门、淮阴四校联考南师附中、天一、海门、淮阴四校联考 20202020 届期初高三届期初高三 数学调研测试试题数学调研测试试题 第第卷（共卷（共 7070 分）分） 一、填空题（每题一、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 7070 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 1.已知集合1,2,3AaB，且 3AB，则实数a的值是_ 【答案】3 【解析】 3AB， 3A， 3a 答案：3 2.已知复数 12i 1 i z ，其中i是虚数单位，则z的实部是_ 【答案】 1 2 【解析】 1 2(1 2 )(1)1 3 1(1)(1)2 iiii z iii ， z的实

2、部是 1 2 答案： 1 2 3.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为_. 【答案】10 【解析】 【分析】 模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出S的值 【详解】解：模拟程序的运行过程，得： 1S ，1i ， 满足条件5i，执行循环1 12S ，3i ， 满足条件5i，执行循环2 35S ，5i ， 满足条件5i，执行循环5510S ，7i ， 此时不满足条件5i，退出循环，输出10S 故答案为：10 【点睛】本题考查了程序运行的应用问题和对循环结构的理解，是基础题 4.如图所示，一面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图.若一个月以 30天计算，估计这家面

3、包店一个月内日销售量100个到200个的天数为_ 【答案】15 【解析】 由频率分布直方图可得，后 3组的频率为(0.0060.004) 500.5， 所以30 0.515 故估计这家面包店一个月内日销售量100个到200个的天数为15 答案：15 5.有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1,2,3,4.将此木块在水平桌面上抛两次， 则两次看不 到的数字都大于2的概率为_ 【答案】 1 4 【解析】 由题意得，将此木块在水平桌面上抛两次看不到的数字共有4 416 种情况，其中两次看不到的数字都大 于2的情况有(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)，共 4 种由古典概型概率公式

4、可得所求概率为 41 164 P 答案： 1 4 6.已知tan() 3 4 ，则 2 sincos3cos的值为_ 【答案】2 【解析】 由题意得 1tan tan3 41tan ，解得 1 tan 2 2 2 222 2 1 3 sin cos3costan3 2 sin cos3cos2 1 sincostan1 ()1 2 答案：2 点睛： 在三角变换中，要注意寻找式子中的角、函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，以减少函数 的种类，从而达到对式子进行化简的目的对于齐次式的求值问题常将所求问题转化为正切的形式求解， 在变形时有时需要添加分母 1，再用平方关系求解 7.设数列 n

5、 a为等差数列， n S为数列 n a的前n项和，已知 315 9,225, n SSB为数列 n S n 的前n项和， 则 n B _ 【答案】 2 2 nn 【解析】 设等差数列 n a的公差为d， 由题意得 31 151 339 15105225 Sad Sad ，即 1 1 3 715 ad ad ，解得 1 1 2 a d 2 (1) 2 2 n n n Snn ， n S n n ， 2 (1) 1 2 22 n n nnn Bn 答案： 2 2 nn 8.在平面直角坐标系xOy中，双曲线 22 :1(0) 4 xy Cm m 的一条渐近线与直线 210xy 垂直，则实 数m的值为

6、_ 【答案】16 【解析】 令 22 0 4 xy m ，得 2 m yx ， 故双曲线的渐近线方程为 2 m yx 由题意可得 1 ()1 22 m ， 解得16m 答案：16 9.高为3的正四棱锥的侧面积为8，则其体积为_ 【答案】 4 3 3 【解析】 设正四棱锥的底面边长为a，斜高d，则 2 3 4 a d 由题意得 2 1 4 ()2238 24 a adada ， 整理得 42 12640aa， 解得 2 4a 或 2 16a （舍去） 2a 2 14 3 23 33 V 答案： 4 3 3 10.设 f x是定义在R上且周期为4的函数，在区间( 2,2 上，其函数解析式是 ,20

7、 1,02 xax f x xx ，其中aR若 55ff，则2fa的值是_ 【答案】1 【解析】 因 为 f x是 定 义 在R上 且 周 期 为4的 函 数 ， 在 区 间2 , 2上 ， 其 函 数 解 析 式 是 ,20 1,02 xax f x xx ，( 5)(5)( 1)(1)ffff，可得 101(2 )21aafaf ，故答案为1. 11.已知函数 322 1f xxaxa x在1,1上单调递减，则a的取值范围是_ 【答案】 , 33, 【解析】 【分析】 求出函数 f x的导函数，由函数 f x在1,1上单调递减，等价于 0fx 在1,1上恒成立，根据 二次函数性质列不等式求

8、解即可. 【详解】 322 1f xxaxa x， 22 32fxxaxa 又函数 f x在1,1上单调递减， 22 320fxxaxa在1,1上恒成立， 2 2 1320 1320 faa faa ，即 2 2 230 230 aa aa ， 解得3a或3a 实数a的取值范围是 , 33, 故答案为 , 33, . 【点睛】本题主要利用导数研究函数的单调性及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数 的范围的常见方法： 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单 调区间比较求参数需注意若函数在区间, a b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是

9、单调的; 利用导数转化为不等式 0fx 或 0fx 恒成立问题求参数范围， 12.如图，在四边形ABCD中，1ABCD，点 ,M N分别是边,AD BC的中点，延长BA和CD交NM 的延长线于不同 的两点,P Q，则 ()PQ ABDC的值为_ 【答案】0 【解析】 如图，连 AC，取 AC的中点 E，连 ME，NE，则,ME NE分别为,ADCCAB的中位线，所以 11 , 22 ENAB MEDC, 所以 1 () 2 MNMEENDCAB 由PQ与MN共线， 所以()PQMNR， 故()()() () 2 PQABDCMNABDCABDCABDC 22 ()0 2 ABDC 答案：0 点

10、睛： （1）根据题中的ABCD，添加辅助线是解题的突破口，得到 1 () 2 MNDCAB是解题的关键，然后 根据向量的共线可得()PQMNR，再根据向量的数量积运算求解 （2）也可利用,MNMAABBN MNMDDCCN 两式相加得到 1 () 2 MNDCAB 13.已知圆 22 :5, ,O xyA B为圆O上的两个动点，且 2,ABM 为弦AB的中点， (2 2, ),(2 2,2)Ca Da.当 ,A B在圆O上运动时，始终有 CMD为锐角，则实数a的取值范围为 _ 【答案】 , 20, 【解析】 由题意得5 12OM ， 点M在以O为圆心，半径为 2 的圆上 设CD的中点为N，则(

11、2 2,1)Na，且| 2CD 当,A B在圆O上运动时，始终有CMD为锐角， 以O为圆心，半径为 2的圆与以(2 2,1)Na为圆心，半径为 1的圆外离 22 (2 2)(1)3a ， 整理得 2 (1)1a， 解得2a或0a 实数a的取值范围为 , 20, 答案：, 20, 点睛： 解答本题时，要根据所给出的条件得到点 M的轨迹，然后从点与圆的位置关系出发，得到点 M在以CD为 直径的圆外，从而根据图形可得到只要两圆外离就满足题意的结论，这是解题的关键 14.已知 1,2ab ，则 2 22 () 14 ab ab 的最小值为_ 【答案】6 【解析】 设 22 1,4ambn ， 则原式

12、222222 22 52 (1)(4)2 14 mnmnabab mn ab 222222 5244mnm nmn mn 2222 5244mnm nmn mn 222 52 (2)mnmn mn 22 52(2)mnmn mn 22 29mnmn mn 2 ()999 ()2 ()6 mn mnmn mnmnmn ， 以上两个等号当且仅当2mn且 9 mn mn ，即 1,2mn 时同时成立 所以所求的最小值为 6 答案：6 第第卷（共卷（共 9090 分）分） 二、解答题二、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，小题，共共 9090 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解

13、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 15.在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 ccosB+bcosC2acosA （1）求 A； （2）若 a2，且ABC 的面积为3，求ABC 的周长 【答案】 （1） 3 A ； （2）6. 【解析】 试题分析： （1）由coscos2 coscB bCaA根据正弦定理可得sin cossin cos2sin cosCBBCAA，利用 两角和的正弦公式及诱导公式可得 1 cos 2 A ， 3 A ； （2）由ABC的面积为 3，可得 4bc ，再利 用余弦定理可得2bc，从而可得ABC的周长. 试题解析： （1）cosc

14、os2 coscB bCaA，sin cossin cos2sin cosCBBCAA sin2sin cosBCAA， sin2sin cosAAA. 0,A，sin0A， 1 cos 2 A ， 3 A . （2）ABC的面积为3， 13 sin3 24 bcAbc，4bc . 由2a， 3 A 及 222 2cosabcbcA，得 22 44bc， 22 8bc. 又4bc ，2bc. 故其周长为6. 16.如图，在三棱锥PABC中，90 ,ABCPAPC ,平面PAC 平面 ,ABC D E分别,AC BC中 点. （1）求证：/DE平面PAB； （2）求证：平面PBC 平面PDE.

15、【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 试题分析： （1）由 ,D E分别为,AC BC中点可得 /DEAB，根据线面平行的判定定理可得结论 （2）由题意可得 PDAC，根据平面PAC 平面ABC得到PD 平面ABC，故PDBC，再结合DEBC，可得 BC 平面PDE，从而可得平面PBC 平面PDE 试题解析： （1）因为,D E分别为,AC BC中点， 所以/DEAB， 又DE 平面PAB，AB 平面PAB， 所以/DE平面PAB （2）因为 ,PAPC D 为AC中点， 所以PDAC， 又平面PAC 平面ABC，平面PAC平面ABCAC，PD 平面PAC， 故PD 平面

16、ABC， 因为BC 平面ABC， 所以PDBC 因为90 ,/ /ABCDEAB， 因此DEBC 因为,PDBC DEBC PDDED PD DE平面PDE， 所以BC 平面PDE， 又BC 平面PBC， 所以平面PBC 平面PDE 17.如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地,120ABCD AB 米， 80AD米，以 ,AD BC为直径的半 圆 1 O和半圆 2 O（半圆在矩形ABCD内部）为两个半圆形水上主题乐园， ,BC CD DA都建有围墙，游客 只能从线段AB处进出该主题乐园.为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着AE FB 、 修建不 锈钢护栏，沿着线段EF修建该主题乐园

17、大门并设置检票口，其中,E F分别为 ,AD BC上的动点， /EFAB，且线段EF与线段AB在圆心 1 O和 2 O连线的同侧.已知弧线部分的修建费用为200元/米，直 线部门的平均修建费用为400元/米. （1）若80EF 米，则检票等候区域（其中阴影部分）面积为多少平方米？ （2）试确定点E的位置，使得修建费用最低. 【答案】 （1） 800 48002000 3 3 ； （2）当 1 AOE为 3 时，修建费用最低. 【解析】 试题分析： （1）设直线EF与矩形ABCD交于 ,M N两点，则阴影部分的面积为矩形 12 AOO B的面积减去梯形 12 OO FE和扇形 1 O AE与扇形

18、 2 O FB的面积 （2）设 1 ,0, 2 AO E ，则 40AEBF ，故 120 80sinEF，从而可得修建费用 160003 2sinf ， 利用导数求解， 可得当 3 时， 即 1 3 AO E ， f有最小值，即修建费用最低 试题解析： （1）如图,设直线EF与矩形ABCD交于,M N两点，连 12 ,?OE O F，则20ME 米， 1 20 3OM 米 梯形 12 OO FE的面积为 1 1208020 32000 3 2 平方米， 矩形 12 AOO B的面积为120 404800平方米， 由 1 6 AO E ，得扇形 1 O AE和扇形 2 O FB的面积均为 14

19、00 1600 263 平方米， 故阴影部分面积为 800 48002000 3 3 平方米 （2）设 1 ,0, 2 AO E ，则 40AEBF ， 所以120 2 40sin120 80sinEF ， 修建费用 200 80400120 80sin160003 2sinf ， 所以 16000 1 2cosf ， 令 0f ，得 3 ， 当变化时， ,ff 的变化情况如下表： 0, 3 3 , 3 2 f - - 0 f 极小值 由上表可得当 3 时，即 1 3 AO E ， f有极小值，也为最小值 故当 1 AOE为 3 时，修建费用最低 18.已知椭圆C的方程： 22 22 1(0)

20、 xy ab ab ，右准线l方程为4x，右焦点 (1,0),FA为椭圆的左顶点. （1）求椭圆C的方程； （2）设点M为椭圆在x轴上方一点，点N在右准线上且满足 0AM MN 且52AMMN，求直线 AM的方程. 【答案】 （1） 22 :1 43 xy C； （2） 2yx 或 11 42 yx. 【解析】 试题分析： （1）由准线方程和焦点坐标可得 22 4,3ab，由此可得椭圆方程 （2）由题意设AM的方程为 2yk x， 与椭圆方程联立解方程组可得点 M 的坐标， 由此可得MN，AM， 然后由52AMMN 建立关于k的方程，解方程可得k，从而可得直线方程 试题解析： （1）由题意得

21、2 4,1 a c c ， 2 4,a 222 3bac, 椭圆C的方程为 22 1 43 xy （2）由题意得，直线AM的斜率存在，设AM的方程为2yk x， 由 22 2 1 43 yk x xy ，得 2 2 2 2 1 43 kxx ， 2 2 2 222 1 344 kxxxx ， 2 p x ， 2 22 , 34 kxx 222 431234 12236 kkk x ， 2 2 2 68 43 12 43 M M k x k k y k 而 1 MN k k ， 又4 N x， 222 2222 11 2461246 11 4343 MN kkk MNxx kkkkk ， 又 2

22、22 22 1212 111 4343 MA AMkxxkk kk ， 52AMMN， 22 2 22 121246 5 12 4343 kk k kkk ， 解得1k 或 1 4 k 直线AM的方程为2yx或 11 42 yx 19.已知函数( ) ln, ( ),f xxax g xex aR （e是自然对数底数） （1）若直线y ex 为曲线( )yf x的一条切线，求实数a的值； （2）若函数( )( )yf xg x在区间(1,)上为单调函数，求实数a的取值范围； （3）设( )( )( ),1, H xf xg x xe，若( )H x在定义域上有极值点（极值点是指函数取得极值时对

23、应的 自变量的值） ，求实数a的取值范围. 【答案】 （1） 1 e e ； （2）(,1,)ee ；（3） 1 0a e 或 11 2 a e . 【解析】 【详解】试题分析： （1）设切点，根据导数的几何意义求解（2）分单调递增合递减两种情况考虑，将问题转化为导函数大 （小）于等于零在 1,恒成立求解可得a的范围（3）由题意得 2 ln ln x H xxax exexa x ， 令 ln ,1, x t xa xe x ，然后对实数a的取值进行分类讨论，并根据 t x的符号去掉绝对值，再结合 导数得到函数 H x的单调性，进而得到函数 H x有极值时实数a的取值范围 试题解析： （1）设

24、切点 00 ,P x y，则 0000000 ln,lnyxax yexxae x（*） 又 1 ,fxa x 0 0 1 ,fxae x 0 1 x ae ，代入（*）得 0 ln1,x 0 ,xe 1 ae e （2）设 ln1h xf xg xxae x x， 当 h x单调递增时， 则 1 0h xae x 在1,上恒成立， 1 ae x 在1,上恒成立， 又 1 0,1 , x 0,ae 解得ae 当 h x单调递减时， 则 1 0h xae x 在1,上恒成立， 1 ae x 在1,上恒成立， 1,ae 1ae 综上 h x单调时a的取值范围为 ,1,ee （3） 2 ln ln

25、x H xxax exexa x ， 令 ln ,1, x t xa xe x 则 2 1 lnx tx x ， 当1,xe时， 0tx ， t x单调递增， 1tt xt e，即 1 at xa e . 1）当0a ，即 0a 时， 0,t x 2 ln,1,H xe x xaxxe， 则 ln1 20,?HxexaxH x 单调递增， H x在1,xe上无极值点 2）当 1 0a e 即 1 a e 时， 0,t x 2 ln,1,H xex xaxxe 111 2ln1 ,2,1HxeaxxHxea xxe I）当21a ，即 1 2 a 时， 0Hx ， Hx 在1,e递增， 1210

26、Hea ， H x在1,e上递增， H x在1,e上无极值点 II）当 11 2 a e 时，由 11 20, 2 Hxaxe xa 可得 Hx 在 1 1, 2a 递减， 1 , 2 e a 递增， 又 1210,22210HeaH eeaee ae 0 1,xe使得 0 0,Hx H x在 0 1,x上单调递减，在 0, x e上单调递增， H x1,e上有一个极小值点 3）当 1 a e 时， 221 ln1 ,0 2 e HxexxHxex eex 由得 ， Hx 在1, 2 e 上单调递减，在, 2 e e 上单调递增， 又 2 110,0HeHe e ， 0Hx 在1,e上恒成立，

27、 H x无极值点 4）当 1 0a e 时， t x在1,e递增， 0 1,xe使得 0 0 lnx a x ， 当 0 1,xx时， 0,t x 当 0, xx e时， 0t x ， 2 0 2 0 ln,1 ln, e axx xxx H x e x xaxxxe ， 0 0 21 ,1 1 2, eaxlnxxx Hx e lnxaxxxe ， 令 2 ln,1,2ln1axx xk xxe k xaxx， 下面证明 0kx ，即证 ln1 2ln1,2 x axxa x ， 又 2 ln1ln ()0 xx xx min ln12x xe ， 即证 1 a e ，所以结论成立，即 0k

28、x ， 0 1,1,xeH x在 0 1,x递减， 0, x e递增， 0 x 为 H x的极小值. 综上当 1 0a e 或 11 2 a e 时， H x在1,e上有极值点 点睛： （1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上 0fx(或 0fx( fx在该区间的任 意子区间内都不恒等于 0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围； （2）求函数的极值应先确定函数的定义域，再解方程 f(x)0，再判断 f(x)0 的根是否是极值点，可通过 列表的形式进行分析，若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论 20.设数列 n a的首项为 1，前n项和为 n

29、 S，若对任意的 *nN，均有 nn k Sak （k是常数且*kN） 成立，则称数列 n a为“ P k数列” （1）若数列 n a为“ 1P数列”，求数列 n a的通项公式； （2） 是否存在数列 n a既是“ P k数列”， 也是“2P k 数列”？若存在， 求出符合条件的数列 n a 的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由； （3）若数列 n a为“ 2P数列”， 2 2a ，设 312 23 2222 n n n aaaa T ，证明：3 n T 【答案】 （1） 1 2n n a - =； （2）不存在；（3）证明见解析. 【解析】 试题分析： （1）由题意得 1 1 nn

30、 Sa ，故 12 1 nn Sa ，两式相减可得 21 2 nn aa ，在此基础上可得数列 n a为 等比数列，从而可得通项公式 （2）利用反证法可得不存在这样的数列 n a既是“ P k数列”，也是 “2P k 数列” （3）由数列 n a为“ 2P数列”，可得到 21nnn aaa 对任意正整数n恒成立， 于是可得 312 232345 12358 2222222222 nn n nn aaaaa T ，然后根据错位相减法求得 2 2341 11112 2222222 nn n nn aa T 2 1 31 442 n n n a T ，故得 2 1 ,0 2 n nn n a TT

31、，故 131 244 nn TT，即3 n T ，即结论成立 试题解析： （1）因为数列 n a为“ 1P数列”， 则 1 1 nn Sa 故 12 1 nn Sa ， 两式相减得： 21 2 nn aa ， 又1n 时， 12 1aa， 所以 2 2a ， 故 1 2 nn aa 对任意的 * nN恒成立，即 1 2 n n a a （常数） ， 故数列 n a为等比数列，其通项公式为 1* 2, n n anN . （2）假设存在这样的数列 n a，则有 nn k Sak ，故有 11nn k Sak 两式相减得： 11nn kn k aaa ， 故有 332nn kn k aaa ， 同

32、理由 n a是“2P k 数列”可得 132nn kn k aaa ， 所以 13nn aa 对任意 * nN恒成立 所以 22nn kn kn SakakS ， 即 2nn SS ， 又 22 22 nn kn SakS ， 即 2 2 nn SS ， 两者矛盾，故不存在这样的数列 n a既是“ P k数列”，也是“2P k 数列” （3）因为数列 n a为“ 2P数列”， 所以 2 2 nn Sa ， 所以 13 2 nn Sa ， 故有， 132nnn aaa ， 又1n 时， 13 2aa， 故 3 3a ，满足 321 aaa， 所以 21nnn aaa 对任意正整数n恒成立，数列的

33、前几项为：1,2,3,5,8 故 312 232345 12358 2222222222 nn n nn aaaaa T ， 所以 1 23451 11235 2222222 nn n nn aa T ， 两式相减得 2 2341 11112 2222222 nn n nn aa T 2 1 31 442 n n n a T ， 显然 2 1 ,0 2 n nn n a TT ， 故 131 244 nn TT， 即3 n T . 点睛： （1）本题属于新概念问题，解题时要从所给出的概念出发，得到相应的结论，然后再借助于数列的有关知 识得到相应的结论 （2）对于存在性问题的解法，可利用反证法求

34、解，解题时在假设的基础上得到矛盾是解题的关键，通过否 定假设可得原结论不成立 附加题附加题 选做题选做题 在在, ,A B C D四个小题中只能选做四个小题中只能选做 2 2 道，每小题道，每小题 1010 分，请把答案写在答题卡指定区域内分，请把答案写在答题卡指定区域内. . A. A. 选修选修 4 4- -1 1：集合证明选讲：集合证明选讲 21.如图，D为ABC的BC边上的一点， 1 O经过点,B D， 交AB于另一点E， 2 O经过点,C D， 交AC 于另一点F， 1 O与 2 O交于点G. 求证：EAGEFG. 【答案】证明见解析. 【解析】 试题分析： 连接GD交AB于H，由,

35、B D E G四点共圆可得EGHB，同理FGHC，进而可证得 ,E G F A四点共圆，故结论成立 试题解析 连接GD交AB于H， 由,B D E G四点共圆， 可得EGHB， 同理FGHC， 故180BACEGFBACBC ； 所以,E G F A四点共圆， 故EAGEFG B. B. 选修选修 4 4- -2 2：矩阵与变换：矩阵与变换 22.已知二阶矩阵 1 3 a M b 的特征值3所对应的一个特征向量 1 1 1 e . （1）求矩阵M； （2）设曲线C在变换矩阵M作用下得到的曲线 C 的方程为2xy ，求曲线C的方程. 【答案】 （1） 21 30 ； （2） 2 632xxy.

36、【解析】 试题分析： （1）根据题意得到 113 313 a b ，利用矩阵的运算求得, a b后可得矩阵M （2）设曲线C上的点 ,P x y在矩阵M的作用下得到点,P x y ，则由 21 30 xx yy 得到变换公式 2 3 xxy yx ，代入 可得曲线C的方程 试题解析： （1）依题意得 113 313 a b ， 31 333 a b ，解得 2 0 a b ， 21 30 M （2）设曲线C上一点,P x y在矩阵M的作用下得到曲线 2xy 上一点,P x y ， 则 21 30 xx yy ， 即 2 3 xxy yx ， 又点,P x y 在曲线2xy 上， 232xyx，

37、 整理得 2 632xxy， 曲线C的方程为 2 632xxy C. C. 选修选修 4 4- -4 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 23.已知曲线 2cos : 3sin x C y （为参数） 和曲线 22 : 3 xt l yt （t为参数） 相交于两点,A B， 求两点,A B 的距离. 【答案】 13 2 . 【解析】 试题分析： 把参数方程化为普通方程，解方程组可得两曲线的交点坐标，根据两点间的距离公式可得所求 试题解析： 曲线C的普通方程为 22 1 43 xy ， 曲线l的普通方程为 3 3 2 yx ， 由 22 1 43 3 3 2 xy yx ，解得 1 1 2

38、0 x y 或 1 1 1 3 2 x y 3 2,0 ,1, 2 AB ， 2 313 1 ( ) 22 AB 即两点,A B的距离为 13 2 D. D. 选修选修 4 4- -5 5：不等式选讲：不等式选讲 24.如图，已知长方体 11111 ,2,1ABCDABC D ABAA，直线BD与平面 11 AAB B所成角为30 ,AE垂直 BD于点 ,E F为 11 AB的中点. （1）求直线AE与平面BDF所成角的正弦值； （2）线段 11 C D上是否存在点P，使得二面角FBDP的余弦值为 3 5 ？若存在，确定P点位置；若不存 在，说明理由. 【答案】 （1） 2 5 5 ； （2）

39、存在点P，为 11 C D中点. 【解析】 试题分析： 由题意可知 11 ADAAB B平面，故得 11 30DBABDAAB BDBA即为直线与面所成的角，即为， 由此可得 2 3 1 3 ADAE， （1）结合条件建立空间直角坐标系， 由条件可求得平面BDF的一个法向 量为1, 3,1n ， 根据线面角的求法可得所求角的正弦值为 2 5 5 （2） 根据条件可得 2 3 22 ,1 3 P ， 由此可得平面BDP的一个法向量为 1 1, 3,22n， 再由所给出的条件可求得 1 2 ， 从而存在点P满 足条件，且点P为 11 C D的中点 试题解析： 由题意得 11 ADAAB B平面， 所以DBA为直线BD与面 11 AAB B所成的角，故30 ,DBA 又2AB ， 2 3 3 ADAB tan DBA 由1AEBDAE，得 （1）以 1 ,AB AD AA为正交基底建立平面直角坐标系， 则 2 313 0,0,0 ,2,0,0 ,1,0,10,0 ,0 322 ABFDE ，则 13 ,0 22 AE ， 设平面BDF的一个法向量为, ,nx y z， 因为 2 3 2,0 ,1,0,1 3 BDBF ， 由 2 3 20 1,