第二章多元函数微分法及其应用第二节偏导数与全微分-课件.ppt
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- 第二 多元 函数 微分 及其 应用 导数 课件
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1、第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分一一 偏导数偏导数二二 全微分全微分一一 偏导数偏导数函数对函数对x偏增量偏增量定义定义),(yxfz 在点在点),(),(lim000yfyfx 存在存在,xyxyxfz对对在点在点),(),(00 的的偏导数偏导数,记为,记为;),(00yxxz ),(00yx的某邻域内的某邻域内;),(00yxxf xx 00 x则称此极限为函数则称此极限为函数如果极限如果极限设函数设函数x;),(00yxfx;),(00yxxz100(,).fxy1 偏导数及其计算偏导数及其计算xyxfyxxfx ),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx ),
2、(00yxfx注意注意:有定义,有定义,函数对函数对 y 的偏增量的偏增量0),(dd0yyyxfy 同样可定义对同样可定义对 lim0 y),(00yxfy,xzxfxz 则该偏导数称为则该偏导数称为偏导函数偏导函数,也简称为也简称为偏导数偏导数 ,1(,),(,)xfx yfx y2(,),(,)yfx yfx y),(0 xf),(0 xf y记为记为yy 00y,yzyfyz y的偏导数的偏导数或或若函数若函数),(yxfz 在区域在区域D 内每一点内每一点),(yx处对处对 xy偏导数存在,偏导数存在,),(zyxfx例如例如,三元函数三元函数 u=f(x,y,z)在点在点(x,y,
3、z)处对处对 x 的的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.lim0 x),(zyf),(zyf x xx?),(zyxfy?),(zyxfzx偏导数定义为偏导数定义为(请自己写出请自己写出)解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 证证 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立原结论成立解解 xz 22211yxx|22yyx .|22yxy|)|(2yy xyxx223222)(yxy yz22211yxx|22yyx yyxx1
4、sgn22 )0(y00 yxyz不存在不存在 yyxx22322)()(yxxy 22arcsinyxxz 例例4 4 设设(1)yzxy求求,zzxy解解zx ln(1)yxyze zy (1)yxy(ln(1)yyxy ln(1)1xyxyxy 21(1)yyxy xxy)1(1(1)yyxyy 1(1)yyxy ln(1)yxye 例例5 5 求求222zyxr 的偏导数的偏导数 .解解:xr yr2222zyx x2rx zr,ry 2222zyx y22222zyx z2rz,(,),(0,0),(0,0).xyzf x yxyff例如 设求例如 设求有关偏导数的几点说明:有关偏导
5、数的几点说明:、求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求;定义求;解解xxfxx0|0|lim)0,0(0 0).0,0(yf 2 2 偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系所以函数在该点处并不连续所以函数在该点处并不连续.偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续,连续,多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续,连续,因为因为2200limyxxyyx 不存在不存在3 3 偏导数的几何意义偏导数的几何意义00000(,(,)(,),Mxyf xyzf x y 设为曲面上一点设为曲面上一点00),(dd0
6、0 xxyxfxxfxxyy 0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy 是曲线是曲线 0),(xxyxfzyTM0在点在点 M0 处的切线处的切线对对 x 轴的斜率轴的斜率.在点在点M0 处的切线处的切线斜率斜率.是曲线是曲线对对 y 轴的轴的yxz0 xyTo0y0MxT4 4 高阶偏导数高阶偏导数设设 z=f(x,y)在域在域 D 内存在连续的偏导数内存在连续的偏导数),(,),(yxfyzyxfxzyx 若这两个偏导数仍存在偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数,)(xz )(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy 则称它们是则称它们是z=f(x
7、,y)的的二阶偏导数二阶偏导数.按求导顺序不同按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导有下列四个二阶偏导22xz );,(yxfxx yxz 2),(yxfyx);,(2yxfxyzxy x 数数:二阶混和偏导数二阶混和偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数高阶偏导数.类似可以定义更高阶的偏导数类似可以定义更高阶的偏导数.例如,例如,z=f(x,y)关于关于 x 的三阶偏导数为的三阶偏导数为3322)(xzxzx z=f(x,y)关于关于 x 的的 n 1 阶偏导数阶偏导数,再关于再关于 y 的一阶的一阶)(y yxznn 1偏导数为偏导数为11 nnxz解解xz
8、,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2.19622 yyxyxz 2,19622 yyx解解xu yu 22xu 22yu yxu 2xyu 2,cosbyaeax;sinbybeax ,cos2byeaax,cos2byebax ,sinbyabeax .sinbyabeax 例例8 8设设sinzxxy 求求222,zzx yx 解解zx 22zx 2coscossinyxyyxyxyxy22sinycoxyxyxy2zx y 2coscossinxxyxxyx yxy22 cossinxxyx y
9、xysincosxyxyxy解解),ln(21ln2222yxyx xu yu 22xu 22yu 2222yuxu.0.02222 yuxu)(222yx x2,22yxx ,22yxy 222)(yx ,)(22222yxxy xx 2 )(22yx .)(22222yxyx 22222)(2)(yxyyyx 22222)(yxxy 22222)(yxyx 例例10 10 设设2,xyuexyz求求22.uux yx z 解解ux 2xyyeyz 2ux y xyxyexye2z 2ux z 0 2yz 2yz 问题:问题:混合偏导数都相等吗?具备怎样的条件才相等?混合偏导数都相等吗?具备
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