高中数学选修2-3串讲14页.pdf
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1、高中数学选修 2-3 串讲 知识点汇总 1分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案, 在第 1 类方案中有 m 种不同的方法, 在第 2 类方案中有 n 种不同的方法, 那么完成这件事共有 Nmn 种不同的方法 2分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第 1 步有 m 种不同的方法,做第 2 步有 n 种不同的方法,那么完成这件 事共有 Nmn 种不同的方法 3两个计数原理的比较 名称 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 都是解决完成一件事的不同方法的种数问题 运用加法运算 运用乘法运算 不同点 分类完成一件事, 并且每类办法中的每 种方法都能独立完成这件事情, 要注意 “类”
2、 与“类”之间的独立性和并列性 分类计数原理可利用“并联”电路来理解 分步完成一件事, 并且只有各个步骤都 完成才算完成这件事情, 要注意 “步” 与 “步” 之间的连续性 分步计数原理可利用“串联”电路来理解 4排列与排列数 排列 从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 排列数 从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同排列的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,记作 A m n 5组合与组合数 组合 从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素合成一组, 叫做从 n 个不同元素中取出
3、 m 个元素的一个组合 组合数 从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个数, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数,记作 C m n 6排列数、组合数的公式及性质 排列数 组合数 公式 A n(n1)(n2)(nm1) m n n! nm! C m n Am n Am m nn1nm1 m! n! m!nm! 性质 A n!;0!1 n n C 1;C C_;C CC 0 nm nnmnm nm1nmn1 备注 n,mN*且 mn 7排列与组合的区别 排列 组合 排列与顺序有关 组合与顺序无关 两个排列相同,当且仅当这两个排列的 元素及其排列顺序完全相同 两个组
4、合相同,当且仅当这两个组合的 元素完全相同 8二项式定理 二项展开式 公式(ab)nC anC an1bC ankbkC bn(nN*)叫做二项式定 0 n1 nk nn n 理 二项式的通项 Tk1C ankbk为展开式的第 k1 项 k n 9二项式系数与项的系数 二项式系数 二项展开式中各项的系数 C (r0,1,n)叫做第 r1 项的二项式系数 r n 项的系数 项的系数是该项中非字母因数部分,包括符号等,与二项式系数是两个不同的 概念如(abx)n的展开式中,第 r1 项的系数是 C anrbr r n 10,二项式系数的性质 (1)对称性:当 0kn 时,C . k n Cnk n
5、 (2)二项式系数的最值:二项式系数先增后减, 当 n 为偶数时,第 1 项的二项式系数最大,最大值为 C n; n 2 n 2 当 n 为奇数时,第项和第项的二项式系数最大,最大值为. n1 2 n3 2 (3)二项式系数和:C C C C 2n,C C C C C C 2n1. 0 n1 n2 nn n0 n2 n4 n1 n3 n5 n (二)第二章随机变量及其分布列 1离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地,若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1,x2,xi,xn, X 取每一个值 xi(i1,2,n)的概率 P(Xxi)pi,则表 X x1 x2 xi xn P p1 p2
6、 pi pn 称为离散型随机变量 X 的_概率分布列_,简称为 X 的分布列 (2)离散型随机变量的分布列的性质 pi0(i1,2,n);pi_p1p2pn_1. n i1 2两点分布:若随机变量 X 服从两点分布,其分布列为 X 0 1 P 1p p 其中 pP(X1)称为成功概率 3超几何分布:在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品,则 P(Xk), Ck MC nkNM Cn N k0,1,2,m,其中 mminM,n,且 nN、MN,n、M、NN,称随机变量 X 服从超几何分 布. X 0 1 m P C0 MC n0NM Cn N C1 MC n1NM
7、 Cn N Cm MCnm NM Cn N 4条件概率 定义 设 A,B 为两个事件,且 P(A)0, 称 P(B|A)为在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的条件概率 PAB PA 性质 0P(B|A)1; 如果 B 和 C 是两个互斥事件,则 P(BC|A)P(B|A)P(C|A) 5.事件的相互独立性 定义 设 A,B 为两个事件,如果 P(AB)P(A)P(B),则称事件 A 与事件 B 相互独立 性质 若事件 A 与 B 相互独立,则 P(B|A)P(B),P(AB)P(A)P(B); 如果事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与,与 B,与也都相互独立 B A A B 6独立重
8、复试验 在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验Ai(i1,2,n)表示第 i 次试验结果, 则 P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(An) 7二项分布 在 n 次独立重复试验中,用 X 表示事件 A 发生的次数,设每次试验中事件 A 发生的概率是 p,此时称 随机变量 X 服从二项分布,记作 XB(n,p),并称 p 为成功概率在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发 生 k 次的概率为 P(Xk)C pk(1p)nk(k0,1,2,n) k n 8正态曲线及性质 (1)正态曲线的定义 函数 ,(x)e,x(,)(其中实数 和 (0)为参数)的图象为正态分布密度
9、1 2 x2 22 曲线,简称正态曲线 (2)正态曲线的特点 曲线位于 x 轴上方与 x 轴不相交;曲线是单峰的,曲线是单峰的,它关于直线它关于直线 x 对称;对称; 曲线在 x 处达到峰值; 曲线与 x 轴之间的面积为 1; 1 2 当 一定时, 曲线的位置由 确定,曲线随着 的变化而沿 x 轴平移; 当 一定时,曲线的形状由 确定:Error!Error! 9正态分布 定义及表示 如果对于任何实数 a,b(ab),随机变量 X 满足 P(aXb), b a dxx)( , 则称随机变量 X 服从正态分布,记作 XN(,2) 三个常用数据 P(X)0.682_6; P(2X2)0.954_4
10、; P(3X3)0.997_4 (三)统计案例 1回归方程: x ,其中 , _ _,它主要用来估计和预测取值,从而获得对y b a b n i1xiyinxy n i1x2 inx2 a yb x 这两个变量之间整体关系的了解 2相关系数:r n i1xiyinxy n i1x2 inx2 n i1y2 iny2 它主要用于相关量的显著性检验,以衡量它们之间的线性相关程度当 r0 时表示两个变量正相关, 当 r0 时表示两个变量负相关|r|越接近 1,表明两个变量的线性相关性_越强_;当|r|接近 0 时,表明 两个变量间几乎不存在相关关系,相关性_越弱_. 3,独立性检验 (1) 22 列
11、联表 设 X,Y 为两个分类变量,它们的取值分别为x1,x2和y1,y2,其样本频数列联表(22 列联表)如下 : y1 y2 总计 x1 a b ab x2 c d cd 总计 ac bd abcd (2).独立性检验 利用随机变量 K2(也可表示为 X2)(其中 nabcd 为样本容量)来判断 nadbc2 abcdacbd “两个变量有关系”的方法称为独立性检验 1.有 4 件不同颜色的衬衣,3 件不同花样的裙子,另有 2 套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服 装参加歌舞演出,则有几种不同的选择方式( ) A.24 B.14 C.10 D.9 2.用 10 元、5 元和 1 元来支
12、付 20 元钱的书款,不同的支付方法的种数为( ) A.3 B.5 C.9 D.12 3.(2016全国卷)如图,小明从街道的 E 处出发,先到 F 处与小红会合,再一起到位于 G 处的老年公寓 参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) A.24 B.18 C.12 D.9 4.用 0,1,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A.243 B.252 C.261 D.279 5六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( ) A192 种 B216 种 C240 种 D288 种 6为发展国外孔子学院,教育部选派 6 名
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