数字信号处理离散傅里叶变换课件.ppt
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- 关 键 词:
- 数字信号 处理 离散 傅里叶变换 课件
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1、第第7 7讲讲 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)第第3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)1第第7 7讲讲 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)本章作为全书的基础,主要学习本章作为全书的基础,主要学习:(1)DFT的定义;的定义;(2)DFT的物理意义;的物理意义;(3)DFT的基本性质以及频域采样;的基本性质以及频域采样;(4)DFT的应用举例等内容。的应用举例等内容。2第第7 7讲讲 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)离散傅里叶变换定义离散傅里叶变换定义计算机只能处理计算机只能处理有限长离散序列有限长离散序列,因而,因而无法直接利用无法直接
2、利用ZT与与FT进行数值计算。进行数值计算。针对有限长序列针对有限长序列,还有一种更有用的数学还有一种更有用的数学变换变换,即离散傅里叶变换(即离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform),),使数字信号处理使数字信号处理可以在频域采用数字运算的方法进行,可以在频域采用数字运算的方法进行,大大增加了数字信号处理的灵活性。大大增加了数字信号处理的灵活性。3第第7 7讲讲 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)DFT的实质:有限长序列傅里叶变换的的实质:有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样,有限点离散采样,即即频域离散化。频域离散化。DFT有多种快速算法有多种快
3、速算法(Fast Fourier Transform),因此不仅在理论上有重要意因此不仅在理论上有重要意义义,在各种数字信号处理算法中亦起着核在各种数字信号处理算法中亦起着核心作用。从而使信号的实时处理和设备心作用。从而使信号的实时处理和设备的简化得以实现。的简化得以实现。4第第7 7讲讲 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)DFT DFT 的定义的定义 设设x(n)是一个长度为是一个长度为M的有限长序列,的有限长序列,则则定义定义x(n)的的N点点离散傅里叶变换离散傅里叶变换为:为:N-1knNn=0X(k)=DFTx(n)=x(n)W,k=0,1,.,N-1 X(k)的的离散傅
4、里叶逆变换离散傅里叶逆变换为:为:N-1-knNn=01x(n)=IDFTX(k)=X(k)W,n=0,1,.,N-1 N5第第7 7讲讲 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)对式中,对式中,N称为称为DFT变换变换区间长度,区间长度,NM。通常称上述二式为离散。通常称上述二式为离散傅里叶变换对。为了叙述简洁,常常用傅里叶变换对。为了叙述简洁,常常用DFTx(n)N和和IDFTX(k)N分别表示分别表示N点离散傅里叶变换和点离散傅里叶变换和N点离散傅里叶逆点离散傅里叶逆变换。变换。2-jNNW=e6第第7 7讲讲 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)【例例】x(n)=R
5、4(n),求求x(n)的的8 8点和点和1616点点DFTDFT。【解解】(1 1)设变换区间)设变换区间N=8 N=8 时,则:时,则:),0,1.,7kk 473knkn888kn=0n=081-WX(k)=x(n)W=W=1-W1-(-=1-(-sin()sin()2 2-j4k-j4k-jkjk-jk-jkjk-jk8 82222222 2-jk-jkjk-jk-jk-jkjk-jk888888883 3-jk-jk8 8eeeeeeeeeeeeeeeek k2 2e ek k8 87第第7 7讲讲 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)(2 2)设变换区间)设变换区间N=1
6、6 N=16 时,则:时,则:),0,1.,15kk 4153knkn161616kn=0n=0161-WX(k)=x(n)W=W=1-W1-(-=1-(-sin()sin()2 2-j j4 4k k-j jk kj jk k-j jk k1 16 64 44 44 42 2-j jk k-j jk kj jk k-j jk k1 16 61 16 61 16 61 16 63 3-j jk k1 16 6e ee ee ee ee ee ee ee ek k4 4e ek k1 16 68第第7 7讲讲 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)X(nX(n)的幅频的幅频特性曲线特性
7、曲线(FT(FT曲线曲线)X(nX(n)的的8 8点点DFTDFT曲线曲线X(nX(n)的的1616点点DFTDFT曲线曲线9第第7 7讲讲 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)结论结论:由此例可见,由此例可见,x(nx(n)的离散傅里叶变换结果与的离散傅里叶变换结果与变换区间长度变换区间长度NN的取值有关。在后面,对的取值有关。在后面,对DFTDFT与与Z Z变换和傅里叶变换的关系及变换和傅里叶变换的关系及DFTDFT的物理意的物理意义进行讨论后,上述问题就会得到解释。义进行讨论后,上述问题就会得到解释。10第第7 7讲讲 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)DFT与
8、傅里叶变换和与傅里叶变换和Z变换的关系变换的关系 设序列设序列x(n)的长度为的长度为M,其,其Z变换和变换和N(NM)点点DFT分别为:分别为:1010()ZT()()()DFT()()0,1,1MnnMknNNnX zx nx n zX kx nx nWkN11第第7 7讲讲 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)上二式表明序列上二式表明序列x(n)的的N点点DFT是是x(n)的的Z变换在单位圆上的变换在单位圆上的N点等间隔采样。点等间隔采样。X(k)为为x(n)的傅里叶变换。的傅里叶变换。j2()(e)|0,1,1kNX kXkN比较上面二式可得关系式比较上面二式可得关系式 2
9、je()()0,1,1kNzX kX zkN或或12第第7 7讲讲 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)DFT是是 X(ej)在区间在区间0,2上的上的N点等点等间隔采样。这就是间隔采样。这就是DFT的物理意义的物理意义。DFT的变换区间长度的变换区间长度N不同,表示对不同,表示对X(ej)在区间在区间0,2上的采样间隔和采样上的采样间隔和采样点数不同,所以点数不同,所以DFT的变换结果不同。的变换结果不同。DFT的物理意义的物理意义13第第7 7讲讲 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)knNWDFT的隐含周期性的隐含周期性 在在DFT变换对中,变换对中,x(n)与与
10、X(k)均为有限长序列,均为有限长序列,但由于但由于的周期性,使的周期性,使DFT和和IDFT式中的式中的X(k)隐含周期性,且周期均为隐含周期性,且周期均为N。对任意整数。对任意整数m,总有,总有 在在DFT式中,式中,X(k)满足:满足:(),kkmNNNNWWk m为整数,为自然数,11()00()()()()NNkmN nknNNnnX kmNx n Wx n WX k14第第7 7讲讲 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)实际上,任何周期为实际上,任何周期为NN的周期序列都可的周期序列都可以看做长度为以看做长度为NN的有限长序列的有限长序列x x(n n)的周期延的周期延
11、拓序列,而拓序列,而x x(n n)则是的一个周期,即则是的一个周期,即()()mx nx nmN()()()Nx nx nRn()x n()x n15第第7 7讲讲 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)一般称周期序列中从一般称周期序列中从n=0到到N1的第一个周期为的主值区间,而主的第一个周期为的主值区间,而主值区间上的序列称为的主值序列。值区间上的序列称为的主值序列。因此因此x(n)与的上述关系可叙述为:与的上述关系可叙述为:是是x(n)的周期延拓序列,的周期延拓序列,x(n)是的主是的主值序列。值序列。)(nx)(nx)(nx)(nx)(nx)(nx16第第7 7讲讲 离散傅
12、里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)为了以后叙述简洁,当为了以后叙述简洁,当N大于等于序列大于等于序列x(n)的长度时,将式的长度时,将式用如右形式表示:用如右形式表示:式中式中x(n)N表示表示x(n)以以N为周期的周期延拓序为周期的周期延拓序列,列,(n)N表示模表示模N对对n求余,即如果求余,即如果 n=MN+n1 0n1N1,M为整数为整数则则(n)N=n1 ()()Nx nx n()()mx nx nmN17第第7 7讲讲 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)例如,例如,,则有则有所得结果符合下图所示的周期延拓规律。所得结果符合下图所示的周期延拓规律。88,()()
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