复合材料力学第六章2课件.ppt

1、第六章第六章 层合板的弯曲、屈曲层合板的弯曲、屈曲和振动问题和振动问题6-1 基本假定基本假定 6-2 层合板的弯曲、屈曲和振动问题的基本微分方程层合板的弯曲、屈曲和振动问题的基本微分方程6-4 各种特殊层合板在面内压缩载荷作用下的屈曲各种特殊层合板在面内压缩载荷作用下的屈曲6-5 各种特殊简支层合板的振动问题各种特殊简支层合板的振动问题6-3 各种特殊层合板在横向均布载荷作用下的弯曲各种特殊层合板在横向均布载荷作用下的弯曲6-1 6-1 引言和基本假定引言和基本假定 一一.引言引言本章的目的主要是论述层合板物理方程中所出现的三本章的目的主要是论述层合板物理方程中所出现的三种耦合刚度：种耦合刚

2、度：拉伸和弯曲耦合刚度拉伸和弯曲耦合刚度 Bij 拉伸和剪切耦合刚度拉伸和剪切耦合刚度 A16,A26 弯曲与扭转耦合刚度弯曲与扭转耦合刚度 D16,D26对层合板弯曲、屈曲和振动性能的影响对层合板弯曲、屈曲和振动性能的影响,及其给基本微及其给基本微分方程带来的复杂性，特别是通过某些重要结果分方程带来的复杂性，特别是通过某些重要结果来讨来讨论：论：对称角铺设层合板的对称角铺设层合板的D16,D26 的重要性；的重要性；反对称正交铺设和反对称角铺设层合板的反对称正交铺设和反对称角铺设层合板的 Bij 的作用。的作用。ijB0zxzyz1、直法线假定：（、直法线假定：（Kirchhoff 克希霍夫

3、）克希霍夫）层合板变形前垂直于中面的法线，在变形后层合板变形前垂直于中面的法线，在变形后，仍，仍 垂直于中面，而且长度不变垂直于中面，而且长度不变3、变形很小，认为是小挠度理论（弯曲问题）、变形很小，认为是小挠度理论（弯曲问题）认为是小应变理论（屈曲、振动问题）认为是小应变理论（屈曲、振动问题）4、忽略体积力、忽略体积力,zxzyz 2、板很薄：、板很薄：很小，忽略不计。很小，忽略不计。二二.基本假定基本假定 0002002200220002xxxyyyxyxyxykzkkwuxxvwzyyuvwyxx y 一一、弯曲问题的基本微分方程弯曲问题的基本微分方程：1、几何方程：、几何方程：000,

4、u vw 注意：下标注意：下标“0”表示中面位移表示中面位移6-2 层合板的弯曲、屈曲和振动问层合板的弯曲、屈曲和振动问题题 的基本微分方程的基本微分方程 2、物理方程：、物理方程：0111216111216012222612222601626661626660,0,0,0,0,0,0,2xxxyyyxyxyxyxxxijyijyyyxxyNAAABBBkNAAABBBkNAAABBBkuwAvBwuvw0111216111216012222612222601626661626660,0,0,0,0,0,0,2xxxyyyxyxyxyxxxijyijyyyxxyMBBBDDDkMBBBDDDk

5、MBBBDDDkuwBvDwuvw今后为方便起见，将下标今后为方便起见，将下标“0”去掉，位移全是中面位移去掉，位移全是中面位移。3、平衡方程（没有体积力）、平衡方程（没有体积力）22222002xyxxyyxyyxNNxyNNxyMMMpxx yy 写成简写形式：写成简写形式：,002x xxy yxy xy yx xxxy xyy yyNNNNMMMp,xu,y v,z wp11,16,66,16,1266,26,11,16,1266,26,2320 xxxyyyxxxyyyxxxxxyxyyyyyA uA uA uA vAAvA vB wB wBBwB w16,1266,26,66,26

6、,22,16,1266,26,22,2230 xxxyyyxxxyyyxxxxxyxyyyyyA uAAuA uA vA vA vB wBBwB wB w将几何方程代入物理方程，用中面位移表示平将几何方程代入物理方程，用中面位移表示平板内力。再把内力表达式代入平衡方程就得到板内力。再把内力表达式代入平衡方程就得到层合板弯曲问题的基本微分方程（简写形式）层合板弯曲问题的基本微分方程（简写形式）11,16,1266,26,22,11,16,1266,26,16,1266,26,22,42243223xxxxxxxyxxyyxyyyyyyyxxxxxyxyyyyyxxxxxyxyyyyyD wD w

7、DDwD wD wB uB uBBuB uB vBBvB vB vp4.边界条件：边界条件：每个基本微分方程组是四阶的，积分常数为每个基本微分方程组是四阶的，积分常数为四个，所以每个边界需给出四个边界条件。四个，所以每个边界需给出四个边界条件。通常分简支边和固支边，即使都是简支边或通常分简支边和固支边，即使都是简支边或固支边，又由于中面位移或内力不同条件给出不固支边，又由于中面位移或内力不同条件给出不同的边界条件同的边界条件.简支边：简支边：S0,0,nntntntntnntnntnntnntwMuuuuNNuuuuNNNNNN位移边界条件位移边界条件半位移半内力半位移半内力内力边界条件内力边

8、界条件半内力半位移半内力半位移S1S2S3S4nt固支边：固支边：(C),0,0,nntntntntnntnntnntnntwwuuuuNNuuuuNNNNNN转角为零法、切向都可动法、切向都可动法向独立，切向可动法向独立，切向可动法向可动，切向独立法向可动，切向独立法、切向独立位移法、切向独立位移二、层合板的屈曲问题基本微分方程二、层合板的屈曲问题基本微分方程 几何、物理与弯曲问题相同几何、物理与弯曲问题相同 C1C2C3C4,00220 x xxy yxy xy yxx xxxy xyy yyxxxyyxyyyNNNNMMMNwNwNw平衡方程：平衡方程：,xxyyNNN其中其中为已知外加

9、平面内膜内力载荷值为已知外加平面内膜内力载荷值变分符号变分符号 屈曲前平板保持平的，当外载荷达到某一临屈曲前平板保持平的，当外载荷达到某一临界值时，层合板产生微弯状态，即小变形范围。界值时，层合板产生微弯状态，即小变形范围。满足平衡方程。满足平衡方程。像弯曲问题推导基本微分方程那样，将几何方程代入像弯曲问题推导基本微分方程那样，将几何方程代入物理方程，再代入平衡方程，就可得以下方程：物理方程，再代入平衡方程，就可得以下方程：000,2xxxyijyijyxyxyxyxxxijyijyyyxxyNkNABkNkuwAvBwuvw,2xxxxyijyijyyxyyxxyMuwMBvDwMuvw前两

10、个基本微分方程形式上与弯曲的基本微分前两个基本微分方程形式上与弯曲的基本微分方程中的前两个完全一样，只要在位移导数前方程中的前两个完全一样，只要在位移导数前面加一个变分符号就行了。面加一个变分符号就行了。因为第三个平衡方因为第三个平衡方程就不同。为此只有第三个基本微分方程形式程就不同。为此只有第三个基本微分方程形式上有一些不同，上有一些不同，11,16,66,16,1266,26,11,16,1266,26,2320 xxxyyyxxxyyyxxxxxyxyyyyyAuAuAuAvAAvAvBwBwBBwBw16,1266,26,66,26,22,16,1266,26,22,2230 xxxy

11、yyxxxyyyxxxxxyxyyyyyAuAAuAuAvAvAvBwBBwBwBw11,16,1266,26,22,11,16,1266,26,16,1266,26,22,4224322320 xxxxxxxyxxyyxyyyyyyyxxxxxyxyyyyyxxxxxyxyyyyyxxyyxxxyyyDwDwDDwDwDwBuBuBBuBuBvBBvBvBvNwNwNw0,00,00,00,00,0nntntnntnntwMuuNuuNNN,0,0nww边界条件边界条件：简支边简支边(S)固支边：固支边：同上一样同上一样S1S2S3S4三、振动问题基本微分方程三、振动问题基本微分方程 平衡方

12、程平衡方程：,0022x xxy yxy xy yxx xxxy xyy yyxxxyyxyyyttNNNNMMMNwNwNww 与屈曲问题平衡方程相比较，只有第三个与屈曲问题平衡方程相比较，只有第三个平衡方程右端项不同，振动问题有一个惯性力平衡方程右端项不同，振动问题有一个惯性力项。这里不再重复，包括边界条件。项。这里不再重复，包括边界条件。四四.求解方法求解方法1 1、解析方法、解析方法 满足边界条件下满足边界条件下,三个微分方程联立求解：三个微分方程联立求解：在特定在特定的边界条件下可采用分离变量法和双三角级数求解。的边界条件下可采用分离变量法和双三角级数求解。（简化条件）正交异性（简化

13、条件）正交异性.2、近似能量法、近似能量法 Rayleigh-Ritz法法,Kalekin法法3、有限差分法、有限差分法 有限元法有限元法一、特殊正交各向异性层合板一、特殊正交各向异性层合板 只需解一个挠度的微分方程只需解一个挠度的微分方程：如同各向同性板的弯曲微分方程的求解，采用双级数法。令如同各向同性板的弯曲微分方程的求解，采用双级数法。令:可以满足上微分方程和简支边界条件可以满足上微分方程和简支边界条件.对于均布载荷对于均布载荷:1626162600ijBAADD111266221112122222,0,000,00 xxxxxxyyyyyynxxxyynyxxyyD wDDwD wP

14、x yxxawMMD wD wyybwMMD wD w 不必考虑面内边界有关不必考虑面内边界有关u、v 的条件的条件。11sinsinmnmnm xn ywaab0Px y021,31,3161sinsinmnPm xn yP x ymnab 6-3 各种特殊层合板在横向均布载荷各种特殊层合板在横向均布载荷 作用下的弯曲作用下的弯曲将将w代入微分方程，并对比系数可得：代入微分方程，并对比系数可得：1,31,3042246111266221sinsin1622mnm xn ymnabPwmmnnDDDDaabb 一旦一旦w确定下来，则由几何方程可得应变确定下来，则由几何方程可得应变 和和 。由物

15、理方程的。由物理方程的应力应变关系可得应力应力应变关系可得应力:K 222222xyxywxKwKyKwx y xxyKyxyxyKKzKK111216222666xxyyxyxyKKKQQQQQQ 126xyKxyKKT有正轴应力分量可以考虑强度问题。有正轴应力分量可以考虑强度问题。二、对称角铺设层合板二、对称角铺设层合板 由于由于 ，仍然只需考虑一个微分方程，仍然只需考虑一个微分方程0ijB444441112661626224223342244,wwwwwDDDDDDP x yxx yx yx yy 由于由于 ，微分方程中出现对，微分方程中出现对x、y的奇次微分项。分离的奇次微分项。分离变

16、量的双三角级数解无法满足微分方程，变量实际上不可分离。采用变量的双三角级数解无法满足微分方程，变量实际上不可分离。采用近似的能量法：近似的能量法：Rayleigh-Ritz 法法 设一挠度函数设一挠度函数 满足几何边界条件，自然边界（力）满足几何边界条件，自然边界（力）条件不一定满足。则层板的总势能可用挠度函数的微分（即曲率）表条件不一定满足。则层板的总势能可用挠度函数的微分（即曲率）表示为：示为：1626,0DD,w x y2222222211122266222222221626221242442,wwwwwVDDDDxxyyx ywwwwDDP x y w dxdyxx yyx y其中：其

17、中：P w 项是外力功，其余项是板的应变能。位移函数项是外力功，其余项是板的应变能。位移函数w展开，待展开，待定系数定系数mna则根据最小总势能原理则根据最小总势能原理，w满足平衡的条件是：满足平衡的条件是：1112161222260,020,1,20,02xxxyyxymnyxxyyxyxawMD wD wD wVm nayawMD wD wD w 的存在增加了挠度，说明弯扭耦合刚度的存在增加了挠度，说明弯扭耦合刚度 降低了板的降低了板的抗弯刚度。抗弯刚度。根据根据m、n取的项数，可得一联立方程组。解出取的项数，可得一联立方程组。解出 ，则，则w解出。解出。当当m=17，n=17（共（共49

18、项）时，板中央的挠度为项）时，板中央的挠度为:mna1226162611221111112,1.5,0.5DDDDDDDDD 4max110.00425a PwD如果忽略如果忽略 的作用，的作用，把板看作是特殊正交各向异性板，则把板看作是特殊正交各向异性板，则1626,DD4max110.00324a PwD两者误差约两者误差约24%。1626,DD1626,DD设设:一一.对称角铺设层合板对称角铺设层合板 微分方程为：微分方程为：6-4 6-4 各种特殊层合板在面内压缩载荷各种特殊层合板在面内压缩载荷作用下的屈曲作用下的屈曲0ijB0,2616DD0,2616AA0,4,)2(2,4,222

19、666121611xxwNyyyywDxyyywDxxyywDDxxxywDxxxxwDx以拉为正xN简支边界条件为：简支边界条件为：D16,D26的存在，无法得到封闭解，的存在，无法得到封闭解，变量不可分离，同样可以由变量不可分离，同样可以由RayleighRitz法求解：法求解：设屈曲位移为设屈曲位移为：满足位移边界，不满足自然边界满足位移边界，不满足自然边界.0,2,161211xywDyywDxxwDMxax,00wby,00w0,2,262212xywDyywDxxwDMy 11sinsinmnmnbynaxmAw代入总势能表达式和运用最小势能原理代入总势能表达式和运用最小势能原理：

20、由由 为为w满足平衡的条件。满足平衡的条件。在在 和和 时时(Boron/Epoxy)对三种对三种铺设所得解如图铺设所得解如图。（1 1）正交各向异性解）正交各向异性解（2 2）2020层层 对称角铺设。同上对称角铺设。同上（3 3）2020层为层为，考察弯扭耦合影响载荷：考察弯扭耦合影响载荷：x x方向均方向均匀压缩匀压缩N Nx xdxdyxxwNdxdyxywDxywyywDxywxxwDyywxxwDyywDxxwDUabxab 00226626001612222211,21),4,4,4,2,(210mnAU7,7nm3.0,3.0,101221221EGEE0,02616DDBij

21、002616DD可见弯扭耦合的影响与特殊正交各向异性解比较，弯扭耦合的影响可见弯扭耦合的影响与特殊正交各向异性解比较，弯扭耦合的影响降低了屈曲载荷（理论近似解与实际的比较是满意的，说明了近似降低了屈曲载荷（理论近似解与实际的比较是满意的，说明了近似解的可靠性）解的可靠性）。208060400实验点：20层 20层 （1）（3）（2）12201624正交各向异性解二二,反对称正交铺设层合板反对称正交铺设层合板 考察考察 的影响的影响 由于由于 ，屈曲微分方程是联立的。，屈曲微分方程是联立的。2211,BB011B02616 AA02616 DD02211BB0,),(,)2(2),(0,)(0,

22、)(,1166111111116666121166126611xxwNyyyvxxxuBxxyywDDyyyywxxxxwDyyywByyvAxxvAxyuAAxxxwBxyvAAyyuAxxuAx对于对于S S2 2简支边界条件简支边界条件0,xa11,11,11,11,12,11,0000 xxxxyyxxyyywMBuDwDwvNAuAvBw0,yb11,12,11,12,11,11,0000yyxxyyyxyyywMBvDwDwuNAuAvBw 选取以下位移变分函数选取以下位移变分函数cossinsincossinsinm xn yuuabm xn yvvabm xn ywwab设设:

23、22661244113331123266211223111366121226621111)()(2(2)()()()()()()()()(bnamDDbnamDTbnBTamAbnATamBTbnamAATbnAamAT并令其满足微分方程得：并令其满足微分方程得：需求最小值在需求最小值在m，n为整数时。为整数时。0)(002332313232212131211amNTwTvTuTwTvTuTwTvTux（1）（2）（3）（1）（）（2）解出）解出 表示代入（表示代入（3）得存在非零解的条件是：）得存在非零解的条件是：wvu用,)2()(21222112231121322132312332TTT

24、TTTTTTTTmaNx式中式中对对 的石墨的石墨/环氧反对称层板环氧反对称层板的解如下图的解如下图.22661244113331123266211223111366121226621111)()(2(2)()()()()()()()()(bnamDDbnamDTbnBTamAbnATamBTbnamAATbnAamAT25.0,2.0,40121221GEEbaB11=02层数460202505101505101520253035xN2222DbNx板的长宽比a/b（1）层时：层时：B110。两层时，。两层时，B11最大。最大。a/b1时，时，B110的的 正则比正则比 值比二层时高出值比二层时高出183！比四层时高出！比四层时高出19，比六层时高出，比六层时高出8。说。说 明明 随着反对称正交铺层数的增加，拉弯耦合影响迅速衰减，铺层数随着反对称正交铺层数的增加，拉弯耦合影响迅速衰减，铺层数N 2 时，耦合影响最大，时，耦合影响最大，最低。在铺层数最低。在铺层数N6或或8时时，耦合影响可忽略不计。，耦合影响可忽略不计。