人教A版普通高中数学教科书“几何与代数”主题教材解读课件.pptx

1、人教A版普通高中数学教科书“几何与代数”主题教材解读几何、代数都是高中数学课程的传统内容，普通高中数学课程标几何、代数都是高中数学课程的传统内容，普通高中数学课程标准（准（20172017年版）（以下简称年版）（以下简称标准标准(2017(2017年版年版)）中规定，高中）中规定，高中数学课程中的几何与代数的内容包括：立体几何、平面解析几何、数学课程中的几何与代数的内容包括：立体几何、平面解析几何、平面向量（包括解三角形）、空间向量、复数。无论是必修课程，平面向量（包括解三角形）、空间向量、复数。无论是必修课程，还是选择性必修课程、选修课程，几何与代数主题都贯穿始终。几还是选择性必修课程、选修

2、课程，几何与代数主题都贯穿始终。几何与代数是高中数学课程的主线之一。在必修课程与选择性必修课何与代数是高中数学课程的主线之一。在必修课程与选择性必修课程中，突出几何直观与代数运算之间的融合，即通过形与数的结合程中，突出几何直观与代数运算之间的融合，即通过形与数的结合，感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解。，感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解。通过几何与代数主题的学习提升直观想象、逻辑推理、数学运算、通过几何与代数主题的学习提升直观想象、逻辑推理、数学运算、数学建模和数学抽象素养。数学建模和数学抽象素养。一、几何与代数主题一、几何与代数主题的的内容内容、要求及安排、要求及安

3、排按照按照标准标准（2017年版）的要求，高中数学必修年版）的要求，高中数学必修、选择性必修课程中，几何与代数主题内容和要求、选择性必修课程中，几何与代数主题内容和要求如下。如下。3（一）立体几何初步（一）立体几何初步立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系。立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系。“立体几立体几何初步何初步”以长方体为载体，认识和理解空间点、直以长方体为载体，认识和理解空间点、直 线、平面的位置线、平面的位置关系；用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结关系；用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证；了解一些简单几何体的表面

4、积与体积的计算方法；运论进行论证；了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法；运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图形的性质，建立空间观念。形的性质，建立空间观念。内容包括：基本立体图形、基本图形位置关系、内容包括：基本立体图形、基本图形位置关系、*几何学的发展。几何学的发展。具体要求为：具体要求为：（1 1）基本立体图形）基本立体图形认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。描述现实生活中简单物体的结构。知道球、棱

5、柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题。式解决简单的实际问题。能用斜二测法画出简单空间图形能用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合及其简单组合)的直观图。的直观图。（2 2）基本图形位置关系）基本图形位置关系借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解平面三公理、平行抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解平面三公理、平行公理及

6、其推论。公理及其推论。从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系，归纳出中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系，归纳出性质定理，并加以证明。性质定理，并加以证明。从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系，归纳出中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系，归纳出判定定理。判定定理。能用已获得的结论证明空间基

7、本图形位置关系的简单命题。能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题。（3 3）*了解几何学的发展了解几何学的发展（二）向量二）向量向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景。向量既是代数研向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景。向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁。向量是描究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁。向量是描述直线、曲线、平面、曲面以及高维空间数学问题的基本工具，是述直线、曲线、平面、曲面以及高维空间数学问题的基本工具，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题

8、中发挥重要作用。高中向量的内容包括：向量的概念、向量的运算（包挥重要作用。高中向量的内容包括：向量的概念、向量的运算（包括线性运算、数量积）、向量的投影与投影向量、向量基本定理及括线性运算、数量积）、向量的投影与投影向量、向量基本定理及坐标表示、向量应用（包括解决现实生活、数学和物理中的问题）坐标表示、向量应用（包括解决现实生活、数学和物理中的问题）。1.1.平面向量及其应用平面向量及其应用理解平面向量的几何意义和代数意义；掌握平面向量的概念、运算理解平面向量的几何意义和代数意义；掌握平面向量的概念、运算、向量基本定理以及向量的应用；用向量语言、方法表述和解决现、向量基本定理以及向量的应用；用

9、向量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题。实生活、数学和物理中的问题。内容包括：向量概念、向量运算、向量基本定理及坐标表示、内容包括：向量概念、向量运算、向量基本定理及坐标表示、向量向量应用。具体要求如下。应用。具体要求如下。（1 1）向量概念）向量概念了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；理解平面向量的几何表示和基本要素。含义；理解平面向量的几何表示和基本要素。（2 2）向量运算）向量运算掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义；掌握平面掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义；掌

10、握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义。理解两个平面向量共向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义。理解两个平面向量共线的含义。了解平面向量的线性运算性质及其几何意义。理解平面线的含义。了解平面向量的线性运算性质及其几何意义。理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积。了解向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积。了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义。会用数量积判断两个平平面向量投影的概念以及投影向量的意义。会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。面向量的垂直关系。（3 3）向量基本定理及坐标表示）向量基本定理及坐标表示理解平面向量基本定理及其意义。掌握平面

11、向量的正交分解及坐标理解平面向量基本定理及其意义。掌握平面向量的正交分解及坐标表示。会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算。能用坐标表示。会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算。能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角。能用坐标表表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角。能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件。示平面向量共线、垂直的条件。（4 4）向量应用与解三角形）向量应用与解三角形会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用。借助向量的运算，题，体会向量

12、在解决数学和实际问题中的作用。借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理。能用余探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理。能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题。弦定理、正弦定理解决简单的实际问题。2.2.空间向量与立体几何空间向量与立体几何在学习平面向量的基础上，利用类比的方法理解空间向量的概念、在学习平面向量的基础上，利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平运算、基本定理和应用，体会平 面向量和空间向量的共性和差异；面向量和空间向量的共性和差异；运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系，体会向运用向量的方法研究空间基本图形

13、的位置关系和度量关系，体会向量方法和综合几何方法的共性和量方法和综合几何方法的共性和 差异；运用向量方法解决简单的数差异；运用向量方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的有效工具。学问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的有效工具。内容包括：空间直角坐标系、空间向量及其运算、向量基本定内容包括：空间直角坐标系、空间向量及其运算、向量基本定 理及理及坐标表示、空间向量的应用。坐标表示、空间向量的应用。具体要求如下。具体要求如下。（1 1）空间向量及其运算）空间向量及其运算经历将平面向量的概念、运算、投影的概念推广到空间向量的过程经历将平面向量的概念、运算、投影的概念推广到空间向

14、量的过程，了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算和数量积运算，了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算和数量积运算，了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义（2 2）了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解）了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解（3 3）了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会）了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置，探索并得出空间两点间的距离公用空间直角坐标系刻画点的位置，探索并得出空间两点间的距离公式掌握空间向量的坐标表示，掌握空间向量的线性运

15、算和数量积式掌握空间向量的坐标表示，掌握空间向量的线性运算和数量积运算的坐标表示运算的坐标表示（4 4）能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量）能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量语言表述直线与直线、直线与平与平面的法向量；能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系能用向量方法面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理能用证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线

16、、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，并能描述解决这一平行的平面的距离问题和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用（三）复数（三）复数通过方程求解，理解引入复数的必要性，了解数系的扩充，掌握复通过方程求解，理解引入复数的必要性，了解数系的扩充，掌握复数的表示、运算及其几何意义。内容包括：复数的概念、复数的运数的表示、运算及其几何意义。内容包括：复数的概念、复数的运算、算、*复数的三角表示。具体要求如下。复数的三角表示。具体要求如下。（1 1）通过方程的解，认识复数；理解复数的代数表示及其几何意）通过方程

17、的解，认识复数；理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义。义，理解两个复数相等的含义。(2(2）掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何）掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何 意义。意义。（3 3）*通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系，了解复数乘、除运算的三角表示及其表示与三角表示之间的关系，了解复数乘、除运算的三角表示及其 几何意义。几何意义。（四）平面解析几何（四）平面解析几何在平面直角坐标系中，认识直线、在平面直角坐标系中，认识直线、圆、椭圆、抛

18、物线、双曲线的几圆、椭圆、抛物线、双曲线的几何特征，建立它们的标准方程；运用代数方法进一步认识圆锥曲线何特征，建立它们的标准方程；运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系；运用平面解析几何方法解决简单的数的性质以及它们的位置关系；运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想。学问题和实际问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想。内容包括：直线与方程、圆与方程、圆锥曲线与方程、平面解析几内容包括：直线与方程、圆与方程、圆锥曲线与方程、平面解析几何的形成与发展。何的形成与发展。具体要求如下。具体要求如下。对于对于“直线和圆的方程直线和圆的方程”，在

19、平面直角坐标系中，探索确定直线位置和，在平面直角坐标系中，探索确定直线位置和圆的几何要素；用代数方法刻画直线的斜率、两点间的距离。在此基础圆的几何要素；用代数方法刻画直线的斜率、两点间的距离。在此基础上，建立直线和圆的方程；用方程研究两条直线的位置关系、交点坐标上，建立直线和圆的方程；用方程研究两条直线的位置关系、交点坐标、点到直线的距离，以及直线与圆、圆与圆的位置关系；解决简单的数、点到直线的距离，以及直线与圆、圆与圆的位置关系；解决简单的数学问题和实际问题，初步感悟平面解析几何蕴含的数学思想。学问题和实际问题，初步感悟平面解析几何蕴含的数学思想。“圆锥曲线的方程圆锥曲线的方程”在在“直线和

20、圆的方程直线和圆的方程”的基础上，让学生了解圆锥的基础上，让学生了解圆锥曲线的背景与应用；帮助学生在平面直角坐标系中，认识椭圆、抛物线曲线的背景与应用；帮助学生在平面直角坐标系中，认识椭圆、抛物线、双曲线的几何特征，建立它们的标准方程；运用代数方法进一步认识、双曲线的几何特征，建立它们的标准方程；运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系；运用平面解析几何方法解决简单圆锥曲线的性质以及它们的位置关系；运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，进一步感悟平面解析几何中蕴含的数学思想。的数学问题和实际问题，进一步感悟平面解析几何中蕴含的数学思想。对于几何与代数主题，教科书遵循对

21、于几何与代数主题，教科书遵循标准标准（2017年版）的结构，年版）的结构，安排了如下安排了如下6章内容：章内容：必修第二册必修第二册：第六章第六章 平面向量及其应用（平面向量及其应用（1818）第七章第七章 复数（复数（8 8）第八章第八章 立体几何初步（立体几何初步（1919）选择性必修第一册选择性必修第一册：第一章第一章 空间向量与立体几何（空间向量与立体几何（1515）第二章直线和圆的方程（第二章直线和圆的方程（1616）第三章圆锥曲线的方程（第三章圆锥曲线的方程（1212）二、二、用用向量向量“统领统领”几何与代数主题几何与代数主题内容内容充分认识向量的地位充分认识向量的地位，发挥发挥

22、向量的向量的作用作用平面向量：研究平面几何问题（包括解三角形）平面向量：研究平面几何问题（包括解三角形）空间向量：研究空间向量：研究立体几何立体几何中的位置关系、度量关系中的位置关系、度量关系解析几何解析几何：向量法是解析几何的返璞归真，是不依赖坐标系的解析向量法是解析几何的返璞归真，是不依赖坐标系的解析几何。几何。(尽管向量法尽管向量法的诞生晚于坐标法的诞生晚于坐标法）复数复数：用向量理解复数的表示（尤其是是三角表示）及其运算：用向量理解复数的表示（尤其是是三角表示）及其运算向量具有向量具有统领统领作用作用几何与代数主题几何与代数主题逻辑逻辑结构结构图图三、构建几何与代数主题研究框架，整体设

23、计研究路径三、构建几何与代数主题研究框架，整体设计研究路径合理的研究框架和内容的逻辑结构是教科书育人的载体。对于每一个合理的研究框架和内容的逻辑结构是教科书育人的载体。对于每一个学习内容，特别是对于学习主题，构建相应的研究框架，整体设计研学习内容，特别是对于学习主题，构建相应的研究框架，整体设计研究路径，是教材编写首要考虑的问题。在此基础上，再有逻辑地、循究路径，是教材编写首要考虑的问题。在此基础上，再有逻辑地、循序渐进地展开具体内容。序渐进地展开具体内容。“数学是自然的。数学是自然的。数学概念、数学方法数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的。与数学思想的起源与发展都是自然的。数学

24、中每一个概念，它的数学中每一个概念，它的背景、它的形成过程，它的应用，以及它与其他概念的联系，实际上背景、它的形成过程，它的应用，以及它与其他概念的联系，实际上是水到渠成、浑然天成的产物是水到渠成、浑然天成的产物”。符合数学自身发生发展过程的。符合数学自身发生发展过程的自然逻辑结构和学生心理特点的研究框架和研究路径，有助于学生明自然逻辑结构和学生心理特点的研究框架和研究路径，有助于学生明确研究问题的方向和起点、了解数学研究问题的方式、提高学习质量确研究问题的方向和起点、了解数学研究问题的方式、提高学习质量和效益、提升学生发现和提出问题的能力。和效益、提升学生发现和提出问题的能力。重视立体几几何

25、（直观想象、逻辑推理）、代数（运算）、解析几重视立体几几何（直观想象、逻辑推理）、代数（运算）、解析几何（坐标法）各自的特点何（坐标法）各自的特点跨章的内容的共性设计跨章的内容的共性设计研究研究路径与路径与框架框架1.向量的研究向量的研究路径与路径与框架框架向量的实际背景及基本概念向量的实际背景及基本概念向量的向量的运算（运算（线性运算线性运算、数量积数量积）向向量基本定理及坐标表示量基本定理及坐标表示向量的应用。向量的应用。具体具体地地借助位移、力、速度等实例，借助位移、力、速度等实例，引入引入向量的概念向量的概念，并体现，并体现引进向量引进向量的必要性的必要性。数学中，数学中，“引进一个量

26、，就要看看它的运算引进一个量，就要看看它的运算;引进一种运算，就要引进一种运算，就要研究它的运算律。研究它的运算律。”类比数及其运算，引进向量概念后，接着要讨类比数及其运算，引进向量概念后，接着要讨论的问题论的问题向量的线性运算向量的线性运算(加、加、减及数乘减及数乘)。当然，要注意向量。当然，要注意向量与数的不同，向量运算中，除了考虑大小，还要考虑方向。为了便与数的不同，向量运算中，除了考虑大小，还要考虑方向。为了便于学生理解，还要借助于物理中力的合成来定义向量的加法于学生理解，还要借助于物理中力的合成来定义向量的加法 从运算的角度看，自然要研究两个向量是否可以相乘，如果可以，从运算的角度看

27、，自然要研究两个向量是否可以相乘，如果可以，那么结果怎样？从向量的物理背景中得到启发，定义两个向量的数量那么结果怎样？从向量的物理背景中得到启发，定义两个向量的数量积运算，并讨论运算律问题。积运算，并讨论运算律问题。从力的分解得到启示，提出把一个向量表示为两个向量的和，进从力的分解得到启示，提出把一个向量表示为两个向量的和，进而以向量的加法运算为基础，得出向量基本定理。而以向量的加法运算为基础，得出向量基本定理。从从向量基本定理向量基本定理出发，取正交基，建立直角坐标系，出发，取正交基，建立直角坐标系，引进向量的引进向量的坐标表示坐标表示。“向量的应用向量的应用”主要是用向量法解决几何问题，特

28、别注意体现向主要是用向量法解决几何问题，特别注意体现向量法的优越性。量法的优越性。2.2.立体几何立体几何（平面几何）（平面几何）研究研究路径与路径与框架框架立体几何：立体几何：整体整体局部局部；综合几何方法综合几何方法向量方法向量方法几何元素的向量表示几何元素的向量表示向量的运算向量的运算几何结论（研究度量几何结论（研究度量关系与位置关系）关系与位置关系）3.3.平面解析几何的研究路径与框架平面解析几何的研究路径与框架坐标法思想方法统领坐标法思想方法统领直线和圆（确定图形的几何要素、建立方程、研究位置关系）直线和圆（确定图形的几何要素、建立方程、研究位置关系）圆锥曲线（椭圆圆锥曲线（椭圆、双

29、曲线、抛物线）（确定图形的几何要素、建立方程、研究性质、研究位置关、双曲线、抛物线）（确定图形的几何要素、建立方程、研究性质、研究位置关系）系）体现体现代数代数的基本的基本研究框架（研究框架（代数对象代数对象代数运算代数运算，代数结构）代数结构）突出突出几何直观与代数运算的融合几何直观与代数运算的融合四、四、重视重视研究对象的获得研究对象的获得，概念概念、性质、性质和和方法的方法的形成过程形成过程怎么想到的？如何形成的？怎么想到的？如何形成的？研究平面与平面垂直的性质，研究平面与平面垂直的性质，就是在两个平面垂直的条件下，能推就是在两个平面垂直的条件下，能推出哪些结论这些结论又该从哪个角度提出

30、呢？实际上就是要研究出哪些结论这些结论又该从哪个角度提出呢？实际上就是要研究与这两个互相垂直的平面有关的直线、平面之间的关系与这两个互相垂直的平面有关的直线、平面之间的关系 接下来，根据以往的研究经验（接下来，根据以往的研究经验（平面与平面的关系转化为直线与平平面与平面的关系转化为直线与平面的关系面的关系），我们可以研究其中一个平面内的直线与另一个平面的），我们可以研究其中一个平面内的直线与另一个平面的位置关系位置关系 一般到特殊一般到特殊，一般情况是相交，一般情况是相交，考虑其中的特殊情况，一个平面内考虑其中的特殊情况，一个平面内的直线与交线平行时，这条直线和另一个平面平行（已研究），一的直

31、线与交线平行时，这条直线和另一个平面平行（已研究），一个平面内的直线与交线垂直时，这条直线和另一个平面有什么位置个平面内的直线与交线垂直时，这条直线和另一个平面有什么位置关系？关系？证明得到证明得到平面与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的性质定理“两个平面垂直，如果一个平两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直面垂直”。对于两个平面互相垂直的性质，我们探究了一个平面内的直线与另对于两个平面互相垂直的性质，我们探究了一个平面内的直线与另一个平面的特殊位置关系。如果直线不在两个平面内，或者把直

32、线一个平面的特殊位置关系。如果直线不在两个平面内，或者把直线换成平面，你又能得到哪些结论？换成平面，你又能得到哪些结论？例如，例如，已知平面已知平面平面平面，直线直线a，a，判断，判断a与与 的位置关系的位置关系 bl 渗透了渗透了“位置关系的性质位置关系的性质”的的研究的研究的思想方法思想方法 研究基本图形的某种位置关系的性质，就是探索在这种位置关系研究基本图形的某种位置关系的性质，就是探索在这种位置关系下的几何图形下的几何图形的组成元素之间以及的组成元素之间以及与其他同类几何图形所形成的与其他同类几何图形所形成的位置关系中出现的确定关系（不变性），具体方法是让位置关系中出现的确定关系（不变

33、性），具体方法是让“其他几其他几何图形何图形”动起来，看动起来，看“变化中的不变性变化中的不变性”。这就是落实这就是落实“四基四基”“”“四能四能”的过程，也是直观想象、数学抽象的过程，也是直观想象、数学抽象等数学核心素养落地的过程。最终的目标都聚焦在理性思维上，等数学核心素养落地的过程。最终的目标都聚焦在理性思维上，使学生逐步养成有结构地、有逻辑地思考的习惯。使学生逐步养成有结构地、有逻辑地思考的习惯。向量法解决几何问题的向量法解决几何问题的“三步曲三步曲”大量实例，归纳总结大量实例，归纳总结五、五、重视问题引导，积累数学活动经验，提重视问题引导，积累数学活动经验，提升学生发现和提出问题的能

34、力升学生发现和提出问题的能力 问题是数学的心脏问题是数学的心脏，问题引导学习问题引导学习 在知识形成过程的在知识形成过程的“关键点关键点”上，在运用数学思想方法产生解决问上，在运用数学思想方法产生解决问题策略的题策略的“关节点关节点”上，在数学知识之间联系的上，在数学知识之间联系的“联结点联结点”上，在数上，在数学问题变式的学问题变式的“发散点发散点”上，在学生思维的上，在学生思维的“最近发展区最近发展区”内，提出内，提出恰当的、对学生数学思维有适度启发的问题，引导学生的思考和恰当的、对学生数学思维有适度启发的问题，引导学生的思考和探索活动，使他们经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等探索活

35、动，使他们经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等理性思维的基本过程，体会数学研究方法、积累数学活动经验，理性思维的基本过程，体会数学研究方法、积累数学活动经验，提升发现和提出问题的能力。提升发现和提出问题的能力。道而弗牵、强而弗抑、开而弗达道而弗牵、强而弗抑、开而弗达 在章节开篇，提出引导性问题，整体构建研究思路在章节开篇，提出引导性问题，整体构建研究思路32 正文通过正文通过引导语、引导语、栏目和边空提出问题，引导学生思维活动，理栏目和边空提出问题，引导学生思维活动，理解数学本质解数学本质 从知识的发生发展过程中提出问题，引导学生的数学思维活动，从知识的发生发展过程中提出问题，引导学生的数

36、学思维活动，使学生在问题的引导下有条理地进行观察、猜想、分析、推理、使学生在问题的引导下有条理地进行观察、猜想、分析、推理、论证等，有序地、符合逻辑地进行知识的概括，提高学生的概括论证等，有序地、符合逻辑地进行知识的概括，提高学生的概括能力能力 提示学生采用类比、推广、特殊化等方法进行数学思考，为学生提示学生采用类比、推广、特殊化等方法进行数学思考，为学生的探究活动提供恰当的思想方法指导，使探究活动更加有效，从的探究活动提供恰当的思想方法指导，使探究活动更加有效，从而提高了探究活动的质量和效益而提高了探究活动的质量和效益 通过栏目提出学后反思的任务，通过栏目提出学后反思的任务，培养培养学生养成

37、良好的思维习惯。学生养成良好的思维习惯。倾斜角和斜率倾斜角和斜率直线的方程直线的方程 关注确定图形的几何要素关注确定图形的几何要素在坐标系中用代数方法表示几何要素在坐标系中用代数方法表示几何要素曲线的方程曲线的方程 确定一条直线的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直确定一条直线的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直线线l l，如何利用坐标系确定它的位置？，如何利用坐标系确定它的位置？两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线。借助向。借助向量，量，两点确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线两点确定一条直线可以归

38、结为一点和一个方向确定一条直线.在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，经过经过x x轴上一点轴上一点P P有无数条直线，它们的区别有无数条直线，它们的区别在于在于方向不同方向不同.如何表示这些直线的方向？如何表示这些直线的方向？这些直线相对于这些直线相对于x x轴的倾斜程度不同，也就是它们与轴的倾斜程度不同，也就是它们与x x轴所成的角不轴所成的角不同同.因此，我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向因此，我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向倾斜倾斜角角 设设P1（x1，y1），），P2（x2，y2）是直线）是直线l上的两点由两点确定一条直上的两点由两点确定一条直线可知，直线线可知，直线

39、l由点由点P1，P2唯一确定唯一确定。所以，可以推断，直线所以，可以推断，直线l的倾斜的倾斜角一定与角一定与P1，P2两点的坐标有内在联系两点的坐标有内在联系。在平面直角坐标系中，设直线在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为的倾斜角为，如果直线如果直线l经过两点经过两点P1（x1，y1），），P2（x2，y2），），x1x2，那么，那么与与P1，P2的坐标有怎样的的坐标有怎样的关系？关系？利用向量推导利用向量推导tan=，定义斜率。，定义斜率。2121yyxx 给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线这样，在平面直角坐给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线这样，在平面直角坐标系中，给定一个点标系

40、中，给定一个点P0（x0，y0）和斜率）和斜率k（或倾斜角），就能唯一（或倾斜角），就能唯一确定一条直线也就是说，这条直线上任意一点的坐标（确定一条直线也就是说，这条直线上任意一点的坐标（x，y）与）与点点P0的坐标（的坐标（x0，y0）和斜率）和斜率k之间的关系是完全确定的之间的关系是完全确定的.那么，这一那么，这一关系如何表示呢？关系如何表示呢？直线直线l经过点经过点P0（x0，y0），且斜率为），且斜率为k设设P（x，y）是直线）是直线l上不同上不同于点于点P0的任意一点，因为直线的任意一点，因为直线l的斜率为的斜率为k，由斜率公式得，由斜率公式得 ，即，即y-y0=k(x-x0)。上述

41、推导说明上述推导说明直线直线l上任意一点的坐标一定满足关系式上任意一点的坐标一定满足关系式；再验证；再验证坐坐标满足关系式标满足关系式的点一定在直线的点一定在直线l上上我们把方程我们把方程y-y0=k(x-x0)称为过称为过点点P0（x0，y0），斜率为），斜率为k的的直线直线l的方程的方程。00yykxx 小结以问题形式总结全章内容，深化对内容的整体理解小结以问题形式总结全章内容，深化对内容的整体理解 小结是对全章内容的梳理，是对本章核心内容及反映的主要思想方小结是对全章内容的梳理，是对本章核心内容及反映的主要思想方法和研究方法进行归纳概括、去粗取精、由厚到薄的提炼过程。法和研究方法进行归纳

42、概括、去粗取精、由厚到薄的提炼过程。回顾与思考回顾与思考：在回顾部分对本章进行整体概述，阐述本章内容之间在回顾部分对本章进行整体概述，阐述本章内容之间、本章内容与其他内容之间的联系，揭示本章内容反映的思想方法、本章内容与其他内容之间的联系，揭示本章内容反映的思想方法、研究方法等。、研究方法等。“思考思考”部分则强调问题引导，加强学生的主动思部分则强调问题引导，加强学生的主动思维，通过学生自己的独立思考回忆、总结全章内容，深化对本章核维，通过学生自己的独立思考回忆、总结全章内容，深化对本章核心内容及其反映的数学思想方法的理解。心内容及其反映的数学思想方法的理解。空间向量空间向量与与立体几何的立体

43、几何的小结小结六六、设计系列化的数学活动，引导学生学习，落实四基、设计系列化的数学活动，引导学生学习，落实四基、四能四能以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境、提出数以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境、提出数学问题，引导学生以独立思考、自主学习、合作交流等多样化的方式学问题，引导学生以独立思考、自主学习、合作交流等多样化的方式开展数学学习，是标准（开展数学学习，是标准（20172017年版）的基本理念。为此，教科书年版）的基本理念。为此，教科书强调构建系列化数学活动，注重创设与学生的现实紧密关联的真实问强调构建系列化数学活动，注重创设与学生的现实紧密关联的真实问

44、题情境，引导学生开展体验学习、合作学习、建构学习，通过有结构题情境，引导学生开展体验学习、合作学习、建构学习，通过有结构、有逻辑的系统学习，逐步形成数学学科观念、数学思维方式和探究、有逻辑的系统学习，逐步形成数学学科观念、数学思维方式和探究技能，促进数学知识和技能的持续结构化，使学生的理性思维不断走技能，促进数学知识和技能的持续结构化，使学生的理性思维不断走向成熟。系列化的数学活动涵盖了通过数学抽象获得研究对象，构建向成熟。系列化的数学活动涵盖了通过数学抽象获得研究对象，构建研究数学对象的基本路径，发现和提出值得研究的数学问题，探寻解研究数学对象的基本路径，发现和提出值得研究的数学问题，探寻解

45、决问题的数学方法，获得有价值的数学结论，直至建立数学模型解决决问题的数学方法，获得有价值的数学结论，直至建立数学模型解决现实问题。现实问题。设计设计系列系列化化数学活动数学活动,提升核心素养提升核心素养系列数学活动系列数学活动的育人价值的育人价值数学知识、数学活动与核心素养的关系数学知识、数学活动与核心素养的关系：核心素养就是在核心素养就是在各种各种情境中解决问题的品质和能力。情境中解决问题的品质和能力。核心素养是个体在与情境的持续互动中，不断解决问题的过程中核心素养是个体在与情境的持续互动中，不断解决问题的过程中形成的。形成的。数学核心素养的形成是以数学知识为载体，以数学活动为路径而数学核心

46、素养的形成是以数学知识为载体，以数学活动为路径而逐步实现的。情境化是数学知识转化为数学素养的重要途径。逐步实现的。情境化是数学知识转化为数学素养的重要途径。设计设计系列数学活动系列数学活动的案例的案例:复数的扩充复数的扩充设计了系列化数学活动设计了系列化数学活动 章引言章引言节引言节引言例如，例如，“椭圆椭圆”的系列化的系列化数学活动数学活动（1 1）章引言（略），章引言（略），节引言以节引言以“椭圆到底有怎样的几何特征？我椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？质奠定基础？”从

47、宏观上提出问题，给出研究目标。从宏观上提出问题，给出研究目标。（2 2）在引入椭圆概念时，以）在引入椭圆概念时，以“探究：移动的笔尖（动点）满足的探究：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？几何条件是什么？”引导学生探究椭圆的几何特征，为抽象椭圆概引导学生探究椭圆的几何特征，为抽象椭圆概念、展开后续内容做好必要准备。念、展开后续内容做好必要准备。（3 3）以）以“思考：思考：观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？得的椭圆方程形式简单？”引导学生思考如何利用椭圆的几何特征合引导学生思考如何利用椭圆的几何特征合理建立坐理建立

48、坐标系标系。（6 6）以）以“先用几何眼光观察，再用坐标法解决先用几何眼光观察，再用坐标法解决”为指导，为指导，以以“与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等的范围、形状、大小、对称性和特殊点等”为导入语，设置为导入语，设置“观察观察”栏目，提出问题栏目，提出问题“观察椭圆的形状，你能从图上看观察椭圆的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特出它的范围吗？它具有怎样的对称

49、性？椭圆上哪些点比较特殊？殊？”从整体上明确椭圆性质的主要研究内容，再以系列化从整体上明确椭圆性质的主要研究内容，再以系列化的栏目引导学生具体探究性质：的栏目引导学生具体探究性质：例如，在用空间向量研究直线、平面的位置关系例如，在用空间向量研究直线、平面的位置关系时时，教科书围绕空间中点、直，教科书围绕空间中点、直线和平面的向量表示，通过空间向量的运算线和平面的向量表示，通过空间向量的运算加以解决加以解决，以栏目为载体，构建了，以栏目为载体，构建了这样一条问题链：这样一条问题链：（1 1）以）以“思考思考 如何用向量表示空间中的一个点？如何用向量表示空间中的一个点？”引导学生思考空间中点的引导

50、学生思考空间中点的向量表示；向量表示；（2 2）以）以“思考思考 我们知道，空间中给定一个点我们知道，空间中给定一个点A A和一个方向就能唯一确定一条和一个方向就能唯一确定一条直线直线l l如何用向量表示直线如何用向量表示直线l？”引导学生思考空间中直线的向量表示；引导学生思考空间中直线的向量表示；（3 3）以以“思考思考 一个定点和两个定方向能否确定一个平面？进一步，一个定点一个定点和两个定方向能否确定一个平面？进一步，一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？”引导学生思考空间中平面的向量表示