2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市宾县一中高二上学期第二次月考数学（理）试题（解析版）.doc

1、 2019-2020 学年黑龙江省哈尔滨市宾县一中高二上学期第二学年黑龙江省哈尔滨市宾县一中高二上学期第二 次月考数学（理）试题次月考数学（理）试题 一、单选题一、单选题 1下列说法错误的是（下列说法错误的是（ ） A对于命题对于命题 p： ：xR ， 2 10xx ，则，则 p ： 0 xR， 2 00 10xx B“1x ”是是“ 2 320xx ”的充分不必要条件的充分不必要条件 C若命题若命题p q 为假命题，则为假命题，则p，q都是假命题都是假命题 D命题命题“若若 2 320xx，则，则1x ”的逆否命题为：的逆否命题为：“若若1x ，则，则 2 320xx ” 【答案】【答案】C

2、 【解析】【解析】根据非p命题的概念可知A正确,根据充分不必要条件的概念可知B正确,根据 真值表可知C不正确,根据逆否命题的概念可知D正确. 【详解】 对于A,对于命题p：xR ， 2 10xx ，则 p ： 0 xR， 2 00 10xx 是正 确的; 对于B, “1x ”是“ 2 320xx ”的充分不必要条件是正确的; 对于C,若命题p q 为假命题，则p，q至少有一个是假命题,故C不正确; 对于D,命题“若 2 320xx， 则1x ”的逆否命题为： “若1x ， 则 2 32 0xx ” 是正确的. 故选:C 【点睛】 本题考查了判断命题的真假,考查了非p命题,考查了充分不必要条件,

3、考查了真值表,考 查了否命题,属于基础题. 2已知已知 A,B,C 三点不共线三点不共线,对于平面对于平面 ABC 外的任一点外的任一点 O,下列条件中能确定点下列条件中能确定点 M 与点 与点 A,B,C 一定共面的是一定共面的是( ) AOM OA OBOC B 2OMOA OB OC C 11 23 OMOAOBOC D 111 236 OMOAOBOC 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据点M与点, ,A B C共面，可得1xyz，验证选项，即可得到答案. 【详解】 设OMxOAyOBzOC， 若点M与点, ,A B C共面,则1xyz， 只有选项 D 满足，.故选 D. 【点睛】

4、 本题主要考查了向量的共面定理的应用，其中熟记点M与点, ,A B C共面时，且 OMxOAyOBzOC,则 1xyz是解答的关键， 着重考查了分析问题和解答 问题的能力. 3已知抛物线已知抛物线 2 1 2 yx的焦点与椭圆的焦点与椭圆 22 1 2 yx m 的一个焦点重合，则的一个焦点重合，则m（ ） A 7 4 B 127 64 C 9 4 D 129 64 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 抛物线 2 1 2 yx的焦点为 1 (0) 2 ， 2 11 2( ) 24 m 9 4 m 故选 C 4设平面设平面的一个法向量为的一个法向量为 1 (1,2, 2)n ，平面，平面的一个

5、法向量为的一个法向量为 2 ( 2, 4, )nk ， 若若/ /，则，则k ( ) A2 B-4 C-2 D4 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据平面平行得法向量平行，再根据向量平行坐标表示得结果. 【详解】 因为/ /，所以 12 122 / / 24 nn k ，解之得4k ，应选答案 D 【点睛】 本题考查向量平行坐标表示，考查基本求解能力，属基础题. 5已知双曲线的方程为已知双曲线的方程为 22 1 49 yx ，则下列关于双曲线说法正确的是（，则下列关于双曲线说法正确的是（ ） A虚轴长为虚轴长为 4 B焦距为焦距为2 5 C离心率为离心率为 23 3 D渐近线方程为渐近线方

6、程为230xy 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据题意，由双曲线的标准方程依次分析选项，综合即可得答案. 【详解】 根据题意，依次分析选项： 对于 A，双曲线的方程为 22 1 49 yx ，其中 b=3，虚轴长为 6，则 A 错误； 对于 B，双曲线的方程为 22 1 49 yx ，其中 a=2，b=3，则4913c ，则焦距 为2 13，则 B 错误； 对于 C，双曲线的方程为 22 1 49 yx ，其中 a=2，b=3，则4913c ，则离心 率为 13 2 c e a ，则 C 错误； 对于 D，双曲线的方程为 22 1 49 yx ，其中 a=2，b=3，则渐近线方程为2 3

7、0xy ， 则 D 正确. 故选：D. 【点睛】 本题考查双曲线虚轴长、 焦距、 离心率以及渐近线方程等概念， 考查基本分析求解能力， 属基础题. 6在三棱锥在三棱锥 P-ABC 中中,PA,PB,PC 两两垂直两两垂直,且且 PA=1,PB=2,PC=3,则点则点 P 到三角形到三角形 ABC 重心重心 G 的距离为的距离为( ) A2 B2 C1 D 14 3 【答案】【答案】D 【解析】【解析】以 P 点为坐标原点建立空间直角坐标系，得出 A、B、C 的坐标，进而得出 G 的坐标。最后由两点间的距离公式，可得出 P、G 之间的距离。 【详解】 以 P 点为坐标原点，PA、PB、PC 所在

8、直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系。易得 A1,0,0 、B0,2,0、C0,0,3 故 G 1 2 ,1 3 3 所以PG= 22 2 12 1 33 = 14 3 【点睛】 本题主要考察利用空间直角坐标系求两点间的距离。 若三角形的三顶点坐标分别为 111 ,x y z、 222 ,x y z、 333 ,x y z.则其重心坐标为 123123123 , 333 xxxyyyzzz 7P 是椭圆上一动点，是椭圆上一动点，F1和和 F2是左右焦点，由是左右焦点，由 F2向 向 12 FPF的外角平分线作垂线，垂的外角平分线作垂线，垂 足为足为 Q，则，则 Q 点的轨迹为点的轨迹为(

9、) A直线直线 B圆圆 C双曲线双曲线 D抛物线抛物线 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 如图所示， 设 F2Q 交 F1P 于点 M， 由已知可得： PQF2M， F2PQ=MPQ 可 得 MP=F2P，点 Q 为线段 F2M 的中点连接 OQ，利用三角形中位线定理、椭圆与圆的 定义即可得出 【详解】 如图所示，设 F2Q 交 F1P 于点 M，由已知可得：PQF2M，F2PQ=MPQ MP=F2P，点 Q 为线段 F2M 的中点 连接 OQ，则 OQ 为 F1F2M 的中位线， 1 1 2 OQMF MF1=F1P+F2P=2a OQ=a Q 点的轨迹是以点 O 为圆心，a 为半径的圆

10、 故选：B 【点睛】 本题考查了线段垂直平分线的性质定理、三角形中位线定理、椭圆与圆的定义，考查了 推理能力与计算能力，属于中档题 8已知四棱锥已知四棱锥PABCD中，中，(4, 2,3)AB ，( 4,1,0)AD ，( 6,2, 8)AP ， 则点则点P到底面到底面ABCD的距离为（的距离为（ ） A 26 13 B 26 26 C1 D2 【答案】【答案】D 【解析】【解析】设( , , )nx y z是平面的一个法向量，则由题设 0 0 n AB n AD ，即 4230 40 xyz xy 1 4 4 3 x y z ，即 4 (1,4, ) 3 n ，由于 32261613 68,

11、1 16,10010 3393 n APnAP ，所以 1 cos 5 n AP，故点P到平面 ABCD 的距离 1 cos102 5 dAPn AP，应选答案 D。 9双曲线双曲线和椭圆和椭圆的离心率互为倒数，那么以的离心率互为倒数，那么以为为 边长的三角形是（边长的三角形是（ ） A锐角三角形锐角三角形 B钝角三角形钝角三角形 C直角三角形直角三角形 D等腰三角形等腰三角形 【答案】【答案】C 【解析】【解析】试题分析：双曲线(a0，b0)和椭圆(mb0)的离心率 互为倒数， ，三角形一定是直角三角形 【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质 10 如图， 正方体 如图， 正方体 1111

12、 ABCDABC D中， 点中， 点M，N分别为棱分别为棱 1 A A， 1 B B的中点， 则的中点， 则CM 和和 1 D N所成角的余弦值为（ 所成角的余弦值为（ ） A 1 9 B 1 9 C 1 8 D 1 8 【答案】【答案】B 【解析】【解析】以D为原点,DA, 1 ,DC DD 所在直线分别为 , x y,z轴建立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为 2,根据向量的夹角公式可得向量MC与 1 DN的夹角的余弦值,由此 可得CM与 1 D N的夹角的余弦值. 【详解】 如图: 以D为原点,DA, 1 ,DC DD 所在直线分别为 , x y轴建立空间直角坐标系,设正方体的 棱长为

13、2, 所以 1 (2,01),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,1)MCDN, 所以( 2,2, 1)MC , 1 (2,2, 1)DN , 设向量MC与 1 DN的夹角为, 则 1 1 cos | MC D N MCD N 2 22 2( 1) ( 1)1 944 144 1 , 因为cos0, 所以CM与 1 D N的夹角即为向量MC与 1 DN的夹角, 所以CM与 1 D N的夹角的余弦值为 1 9 . 故选:B 【点睛】 本题考查了利用空间向量求异面直线的夹角的余弦值,正确建系,写出向量MC与 1 DN 的坐标,代入夹角公式计算是解题关键. 11已知直线已知直线 1:4 360

14、lxy和直线和直线 2: 1lx ，抛物线，抛物线 2 4yx上一动点上一动点P到直线到直线 1 l和直线和直线 2 l的距离之和的最小值是的距离之和的最小值是( ) A2 B3 C 11 5 D 37 16 【答案】【答案】A 【解析】【解析】直线 l2：x1 为抛物线 y24x 的准线由抛物线的定义知，P 到 l2的距离 等于 P 到抛物线的焦点 F(1,0)的距离，故本题转化为在抛物线 y24x 上找一个点 P，使 得 P 到点 F(1,0)和直线 l2的距离之和最小，最小值为 F(1,0)到直线 l1：4x3y60 的 距离，即 dmin 406 5 2 12 12 FF，分别是双曲线

15、分别是双曲线 22 2 (0) 4 xy b b 的左右焦点，过的左右焦点，过 1 F的直线的直线l与双曲线的左右与双曲线的左右 两支两支分别交于分别交于BA，两点若两点若 2 ABF为等边三角形，则为等边三角形，则 12 BFF的面积为（的面积为（ ） A8 B8 2 C8 3 D16 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由双曲线的定义，可得 F1AF2A=F1AAB=F1B=2a，BF2BF1=2a，BF2=4a， F1F2=2c，再在 F1BF2中应用余弦定理得，a，c 的关系，即可求出 BF1F2的面积 【详解】 因为 ABF2为等边三角形，不妨设 AB=BF2=AF2=m， A 为双

16、曲线上一点，F1AF2A=F1AAB=F1B=2a， B 为双曲线上一点，则 BF2BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c， 在 F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a222a4acos120， 得 c2=7a2， 在双曲线中：c2=a2+b2，b2=24 a2=4 BF1F2的面积为 13 24 22 aa = 2 2 3a =2 3 4=83 故选 C 【点睛】 本题给出经过双曲线左焦点的直线被双曲线截得弦 AB 与右焦点构成等边三角形， 求三 角形的面积，着重考查了双曲线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题 二、填空题二、填空题 13在空间中，已知平面在空间中，已知平面

17、过过3,0,0和和0,4,0及及z轴上一点轴上一点0,0,0aa ，如果，如果 平面平面与平面与平面xOy的夹角为的夹角为45，则，则a_. 【答案】【答案】 12 5 a 【解析】【解析】设(3,0,0), (0,4,0),(0,0, )ABCa,先求出平面ABC的一个法向量,然后取平面 xoy的一个法向量,利用两个平面的法向量的夹角的余弦值的绝对值等于 2 2 ,列等式可 解得. 【详解】 设(3,0,0), (0,4,0),(0,0, )ABCa, 则( 3,0, )ACa ,( 3,4,0)AB , 设平面ABC的一个法向量( , , )nx y z, 则 0 0 AC n AB n

18、,即 30 340 xaz xy , 取1z ,则 3 a x , 4 a y ,所以(,1) 3 4 a a n , 取平面xoy的一个法向量(0,0,1)m , 则 22 00 12 |cos,| 2 100 1 916 m n aa , 2 144 25 a ,又0a, 12 5 a . 故答案:12 5 . 【点睛】 本题考查了求平面的一个法向量,考查了二面角的向量求法,属于基础题. 14在正方体在正方体 ABCD-A1B1C1D1中中,有下列命有下列命 题题:( 1 AAADAB)2=3 2 AB ; 1 A C ( 1 11 AB AA)=0; 11 ADA B与的夹角为的夹角为

19、60 ;正方体的体积为正方体的体积为| 1 AB? AA ? AD|.其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是_. 【答案】【答案】 【解析】【解析】由向量的运算法则以及垂直向量其数量积为 0，可得正确。由向量线性运算 以及空间中 1 A C与 1 AB垂直可知正确。易得三角形 1 AD C为等边三角形。又 11 A B/ /D C，故 11 ADA B与夹角为 1 D C与 1 D A的补角为 120 ，故错误。 | 1 AB? AA ? AD|= 11 AB AA cosBAA ?|AD|故错误 【详解】 ( 1 AAADAB)2= 222 1 AAADAB2 1 AA ? AD2 1 A

20、A ? AB2AD?AB=3 2 AB 故正确 1 A C ( 1 11 AB AA)= 1 A C 1 AB 0,故正确。 因为 1 A B/ 1 D C， 11 ADACD C、均为面对角线，所以三角形 1 AD C为等边三角形， 而 11 ADA B与的夹角为 1 D C与 1 D A的补角。 所以 11 ADA B与的夹角为 120 ， 故错误。 正方体的体积为|AB| 1 AA|AD|，而| 1 AB? AA ? AD|= 11 AB AA cosBAA ?|AD|故 错误 【点睛】 本题主要考察空间向量的线性运算。在求向量夹角时，注意判断向量的方向。 15如图，若如图，若P为椭圆为

21、椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 上一点，上一点， 2 5,0F 为椭圆的焦为椭圆的焦 点，若以椭圆短轴为直径的圆与点，若以椭圆短轴为直径的圆与PF相切于中点，则椭圆相切于中点，则椭圆C的方程为的方程为_. 【答案】【答案】 22 1 3616 xy 【解析】【解析】设线段PF的中点为M,另一个焦点F,利用OM是FPF的中位线以及椭 圆的定义求得直角三角形OMF的三边之长,再利用焦点坐标可求解椭圆方程. 【详解】 设线段PF的中点为M,另一个焦点F,由题意知,OMb, 又OM是FPF的中位线,所以 1 2 OMPFb,所以2PFb, 由椭圆的定义知222PFaPFab, 又 11

22、(22 ) 22 MFPFabab,OFc, 所以在直角三角形OMF中,由勾股定理得 222 ()abbc, 又 222 acb ,可得23ab, 因为( 2 5,0)F 为椭圆的焦点,所以2 5c , 所以 22 20ab , 联立解得6,4ab, 所以椭圆C的方程为 22 1 3616 xy . 故答案为: 22 1 3616 xy 【点睛】 本题考查了椭圆的定义,考查了三角形的中位线定理,考查了利用, ,a b c求椭圆方程,本题 属于中档题. 16过双曲线过双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左焦点的左焦点 F 作圆作圆 222 xya的切线，切点为的切线，切点为 E

23、， 延长延长 FE 交双曲线于点交双曲线于点 P，O 为坐标原点，若为坐标原点，若 1 () 2 OEOFOP，则双曲线的离心率，则双曲线的离心率 为为_ 【答案】【答案】5 【解析】【解析】由题意，可知 E 是 PF 的中点，OE 为FF P的中位线，根据三角形中中位线 定理及双曲线的定义，即可求解, a b的关系，即可求出双曲线的离心率. 【详解】 由题意，双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 焦点在x轴上，焦点( ,0)F c ， 则,OFc OEa，所以EFb， 因为 1 () 2 OEOFOP，则 E 是 PF 的中点，OE 为FF P的中位线， 则22 ,2PFEFb

24、 PFa ， 由双曲线的定理可知2PFPFa ，则2ba， 所以双曲线的离心率为 2 2 15 cb e aa . 【点睛】 本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用， 其中解答中合理用题设 条件，借助双曲线的定义和三角形的中位线，求得, a b的关系式是解答的关键，着重考 查了数形结合思想，及转化思想的应用，属于中档试题. 三、解三、解答题答题 17已知命题已知命题p：空间两向量：空间两向量1, 1,ABm与与1,2,ACm的夹角不大于的夹角不大于 2 ；命题；命题 q：双曲线 ：双曲线 22 1 5 yx m 的离心率的离心率 1,2e若若 q 与与p q 均为假命题，求实数

25、均为假命题，求实数m的取的取 值范围值范围 【答案】【答案】0,1 【解析】【解析】 先求出 , p q为真命题时,m的取值范围,再根据q 与p q 均为假命题,可得q为 真命题，p为假命题,由此列式可求得答案. 【详解】 解：若命题p为真，则有cos,0AB AC，即 2 10AB ACm ， 解得1m或m1； 若命题q为真，则有 5 14 5 m ，解得：015m； q 与p q 均为假命题，q为真命题，p为假命题 则有 11 015 m m ，解得01m 故所求实数m的取值范围是0,1 【点睛】 本题考查了根据命题的真假求参数的取值范围,考查了向量的夹角,考查了根据椭圆的离 心率的取值范

26、围求参数的取值范围,属于中档题. 18已知直线已知直线 L: yxm 与抛物线与抛物线 y28x 交于交于 A、B 两点（异于原点） ，两点（异于原点） ， （1）若直线）若直线 L 过抛物线焦点，求线段过抛物线焦点，求线段 |AB|的长度；的长度； （2）若）若 OAOB ，求，求 m 的值；的值； 【答案】【答案】(1)m =2,|AB|=16；(2)m=-8. 【解析】【解析】 （1）把直线方程与抛物线方程联立消去 y，根据韦达定理表示出 x1+x2和 x1x2， 利用弦长公式可求； （2）由于 OAOB，从而有 x1x2+y1y2=0，利用韦达定理可得方程，从而求出 m 的值 【详解】

27、 (1)设 A(x1,y1)、B(x2,y2)，抛物线 y28x 的焦点坐标为(2,0) 直线 L: yxm 过点(2,0)，得 m=2, 直线 L:y=x2 与抛物线 y2=8x 联立可得 x212x+4=0， x1+x2=12, x1x2=4， 2 121 2 1 141 1144 1616ABxxx x . (2)联立 2 y8 yxm x ，得 22 x2m 8 x0m 2 1212 82 ,xxm x xm. OAOB, 1212 0x xy y 2 1 2121 212 0 20x xxmxmx xm xxm，. 222 28 20,80,mmmmmmm=0 或 m=8, 经检验

28、m=8. 【点睛】 本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，主要是利用舍而不求的思路，表示弦长或垂 直关系，属于基础题. 19如图，平面如图，平面ABDE 平面平面ABC，ABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，4ACBC，四，四 边形边形ABDE是直角梯形，是直角梯形，/BDAE，BDBA， 1 2 2 BDAE，O，M分别为分别为 CE，AB的中点的中点 （1 求异面直角求异面直角AB与与CE所成角的大小；所成角的大小； （2）求直线）求直线CD与平面与平面ODM所成角的正弦值所成角的正弦值 【答案】【答案】 （1） 3 （2） 30 10 【解析】【解析】 (1) 以C为坐标原点， 分别

29、以CA，CB所在直线为x，y轴， 以过点C且与EA 平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系利用向量AB与CE的夹角公式计算可得; (2) 设直线CD与平面ODM所成的角为，利用sin cos, n CD n CD n CD 计 算可得答案. 【详解】 （1） DBBA， 平面ABDE 平面ABC， 平面ABDE 平面ABCAB，DB 平面ABDE， DB 平面ABC /BDAE，EA 平面ABC 如图所示，以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴，以过点C且与EA 平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系 4ACBC，0,0,0C，4,0,0A，0,4,0B，4,0,4E， 4,4,0AB

30、 ，4,0,4CE . 4 44 00 4161 cos, 2|16 160160 164 24 2 AB CE AB CE AB CE ， 异面直线AB与CE所成角的大小为 3 . （2） 由 （1） 知2 , 0 , 2O，0,4,2D，2,2,0M， 0,4,2CD ，2,4,0OD ， 2,2,2MD . 设平面ODM的法向量为, ,nx y z， 则由 nOD nMD ，可得 240 2220 xy xyz ，令2x，则1y ，1z ， 2,1,1n 设直线CD与平面ODM所成的角为，则 sincos, n CD n CD n CD |2 0 1 4 1 2| 4 1 10 164

31、30 10 直线CD与平面ODM所成角的正弦值为 30 10 . 【点睛】 本题考查了利用空间向量求异面直线所成角,求直线与平面所成角,正确建立空间直角坐 标系是解题关键,本题属于中档题. 20设直线设直线 l：y=2x1 与双曲线与双曲线 22 22 1 xy ab （0a，0b）相交于）相交于 A、B 两个不两个不 同的点，且同的点，且 0OA OB （O 为原点） 为原点） （1）判断）判断 22 11 ab 是否为定值，并说明理由；是否为定值，并说明理由； （2）当双曲线离心率）当双曲线离心率( 2, 3)e时，求双曲线实轴长的取值范围时，求双曲线实轴长的取值范围 【答案】【答案】 （

32、1）见解析； （2） 10 0, 5 【解析】【解析】 （1） 22 11 ab 为定值 5将直线 y=2x1 与双曲线的方程联立，运用韦达定理 和向量数量积的坐标表示，化简整理即可得到定值； （2）运用双曲线的离心率公式和（1）的结论，解不等式即可得到所求实轴的范围 【详解】 （1） 22 11 ab 为定值 5 理由如下：y=2x1 与双曲线 22 22 100 xy ab ab ， 联立， 可得（b24a2）x2+4a2xa2a2b2=0， （b2a） ， 即有 =16a4+4（b24a2） （a2+a2b2）0， 化为 1+b24a20，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则

33、 x1+x2= 2 22 4 4 a ab ，x1x2= 222 22 4 aa b ab ，由 0OA OB （O 为原点） ，可得 x1x2+y1y2=0，即有 x1x2+（2x11） （2x21）=5x1x22（x1+x2）+1=0， 即 5 222 22 4 aa b ab 2 2 22 4 4 a ab +1=0， 化为 5a2b2+a2b2=0，即有 22 11 ab =5，为定值 （2）由双曲线离心率23e，时， 即为 2 c a 3，即有 2a2c23a2， 由 c2=a2+b2，可得 a2b22a2，即 2 1 2a 2 1 b 2 1 a ， 由 22 11 ab =5，可

34、得 2 1 2a 2 1 a 5 2 1 a ，化简可得 a 10 10 ， 则双曲线实轴长的取值范围为（0， 10 5 ） 【点睛】 本题考查双曲线的方程和运用，考查直线和双曲线方程联立，运用韦达定理，以及向量 数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题 21如图，在四面体如图，在四面体ABCD中，中，ABC是正三角形，是正三角形，ACD是直角三角形，是直角三角形， ABDCBD，ABBD. （1）证明：平面）证明：平面ACD平面平面ABC； （2）过）过AC的平面交的平面交BD于点于点E，若平面，若平面AEC把四面体把四面体ABCD分成体积相等的两部分成体积相等的两部 分，求二面

35、角分，求二面角DAEC的余弦值的余弦值 【答案】【答案】 （1）证明见解析 （2） 7 7 【解析】【解析】(1) 取AC的中点O，连接DO，BO，可证DOB为二面角DACB的 平面角,再根据计算可得90DOB,即二面角DACB为直二面角,根据平面与平 面垂直的定义可证平面ACD平面ABC; (2) 以O为坐标原点，OA的方向为x轴正方向，OA 为单位长度， 以OB的方向为y轴 正方向，以OD uuu r 的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，然后 求出平面DAE的一个法向量和平面AEC的一个法向量,利用两个法向量的夹角即可求 得答案. 【详解】 （1）证明：由题设可得AB

36、DCBD，从而ADCD 又ACD是直角三角形，所以90ADC. 取AC的中点O，连接DO，BO，则DOAC，DOAO. 又因为ABC是正三角形，故BOAC， 所以DOB为二面角DACB的平面角 在Rt AOB中， 222 BOAOAB，又ABBD，所以 222222 BODOBOAOABBD， 故90DOB,即二面角DACB为直二面角, 所以平面ACD平面ABC （2）由题设及（1）知，OA，OB，OD两两垂直，以O为坐标原点，OA的方向为x 轴正方向，OA为单位长度， 以OB的方向为y轴正方向， 以OD uuu r 的方向为z轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 则1,0,0A

37、，0, 3,0B，1,0,0C ，0,0,1D. 由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的 1 2 ，从而E到平面ABC的 距离为D到平面ABC的距离的 1 2 ，即E为DB的中点，得 3 1 0, 22 E ， 故1,0,1AD ，2,0,0AC uuu r ， 3 1 1, 22 AE uuu r . 设, ,nx y z是平面DAE的法向量， 则 0 0 n AD n AE ，即 0 31 0 22 xz xyz ，可取 3 1,1 3 n r . 设m是平面AEC的法向量，则 0 0 m AC m AE ，同理可取0, 1, 3m u r ， 则 3 1 0( 1) 13

38、 7 3 cos, 71 110 1 3 3 n m n m nm . 所以二面角DAEC的余弦值为 7 7 . 【点睛】 本题考查了平面与平面所成的角,考查了平面与平面垂直的定义,考查了利用法向量求二 面角的平面角,建立空间直角坐标系,利用向量解决角的问题是常用方法,属于中档题. 22 已知 已知 2 2 6 , 33 P 是椭圆是椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 与抛物线与抛物线 2 :2(0)E ypx p 的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点F （1）求椭圆）求椭圆 1 C及抛物线及抛物线E的方程；的方程； （

39、2） 设过） 设过F且互相垂直的两动直线且互相垂直的两动直线 12 ,l l，1l与椭圆与椭圆 1 C交于交于,A B两点，两点， 2 l与抛物线与抛物线E交交 于于,C D两点，求四边形两点，求四边形ACBD面积的面积的最小值最小值 【答案】【答案】 （）椭圆C的方程为 22 1 43 xy ，抛物线E的方程为 2 4yx； （）见解 析. 【解析】【解析】(1)先求p ，即得 c，再将点 P 坐标代入椭圆方程，解方程组得 a,b，即得结果， (2)根据垂直条件得 1 2 ACBD SAB CD，设直线 1 l的方程1yk x，与椭圆方程联 立方程，结合韦达定理以及弦长公式解得 AB，类似可

40、得 CD,最后根据二次函数性质求 最值. 【详解】 （） 2 2 6 , 33 P 抛物线E： 2 20ypx p一点 2p ，即抛物线E的方程为 2 4yx，1,0F 22 1ab 又 2 2 6 , 33 P 在椭圆C： 22 22 1 xy ab 上 22 48 1 93ab ，结合 22 1ab知 2 3b （负舍） ， 2 4a ， 椭圆C的方程为 22 1 43 xy ，抛物线E的方程为 2 4yx. （）由题可知直线 1 l斜率存在，设直线 1 l的方程1yk x， 11223344 ,A x yB x yC x yD x y 当0k 时，4AB ，直线 2 l的方程1x ，4C

41、D，故 1 8 2 ACBD SAB CD 当0k 时，直线2 l的方程为 1 1yx k ，由 22 1 1 43 yk x xy 得 2222 3484120kxk xk. 22 1212 22 8412 , 3434 kk xxx x kk 由弦长公式知 2 22 121212 114ABkxxkxxx x 2 2 121 43 k k . 同理可得 2 41CDk. 2 22 2 22 121241 11 41 224343 ACBD kk SAB CDk kk . 令 2 1,1,tkt， 则 2 2 2 2 42 42 4 41 41 1 24 ACBD t S t tt t ， 当1,t时， 2 11 0,1 ,243 tt ， 24 8 3 ACBD S 综上所述：四边形ACBD面积的最小值为 8. 【点睛】 解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的 一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或 者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.