四川省凉山州2019届高三第二次诊断性检测数学（文）试题（含解析）.doc

1、 凉山州凉山州 2019 届高中毕业班第二次诊断性检测届高中毕业班第二次诊断性检测 数学文科数学文科 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的. . 1. 为虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 化简复数 z，根据实部与虚部即可判断对应的点所在象限. 【详解】1i，在复

2、平面内的对应点位 （1，1） ， 故选：D 【点睛】本题考查复数代数形式的混合运算，复数与复平面内对应点之间的关系，化简复数为 1i，是解题 的关键 2.若集合，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 化简集合A，即可得出结论 【详解】集合， 显然， 故选：A 【点睛】本题考查元素与集合的关系，集合间的关系，以及二次不等式的解法，属于基础题. 3.执行如图所示的程序框图，则输出 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分 析循环

3、中各变量值的变化情况，可得答案 【详解】解：模拟程序的运行，可得 S0，k1 满足条件k6，执行循环体，S，k2 满足条件k6，执行循环体，S2+，k3 满足条件k6，执行循环体，S2+，k4 满足条件k6，执行循环体，S2+，k5 满足条件k6，执行循环体，S2+，k6 此时，不满足条件k6，退出循环，输出S的值为 62 故选：C 【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答 4.已知双曲线 ：的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 运用双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，结合渐近线方程

4、，即可得到所求 【详解】解：由题意可得e， 即ca， 则b2a， 由渐近线方程yx， 可得yx 故选：B 【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查离心率公式和基本量a，b，c的关系，考查运算能力， 属于基础题 5.若点在角 的终边上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由三角函数定义得到角 的正余弦值，结合二倍角正弦公式得到结果. 【详解】解：由题意，xsin，ycos，r1， sin， sin 故选：B 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义,考查二倍角正弦公式，比较基础 6.如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ） 正视图 侧

5、视图 俯视图 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接四面体此四面体的外接球的半径为正方体的对角线长 利用球的表面积计算公式即可得出 【详解】 解：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接四面体 此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长 此四面体的外接球的表面积为表面积 故选：C 【点睛】本题考查了三棱锥的三视图、正方体与外接球的性质、球的表面积的计算公式，考查了推理能力与 空间想象能力、计算能力，属于中档题 7.已知等差数列的前 项和为，（，且） ，则 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用等差数列前

6、 n 项和性质与公式即可得到结果. 【详解】等差数列的前 项和为， ，又， 故选：B 【点睛】本题考查等差数列前 n 项和公式，考查前 n 项和与通项的关系，考查计算能力. 8.设 ：实数 ， 满足，且； ：实数 ， 满足；则 是 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 利用充分必要性定义及不等式性质即可得到结果. 【详解】当，且时，显然成立，故充分性具备； 反之不然，比如：a=100，b=0.5 满足，但推不出，且，故必要性不具备，所以 是 的充 分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查了不等式的性质

7、、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 9.设， 有下面两个命题 ：，；：， 则下面命题中真命题是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 画出约束条件对应的可行域，利用目标函数的几何意义，求出范围，判断选项的正误即可 【详解】解：不等式组的可行域如图： 由可行域可知：，故命题 p 为真命题； 当经过时，z 的最小值为，故命题 q 为真命题， 故选：A 【点睛】本题考查线性规划的应用，命题的真假的判断，正确画出可行域以及理解目标函数的几何意义是解 题的关键 10.已知，则 ， 不可能满足的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分

8、析】 利用指数运算法则可得，结合均值不等式即可得到结果. 【详解】由，可得 ，即 又 a，b 为不相等的正数， ，即，故 A，B 正确； 等价于 又，且，故 C 正确； 故 D 错误。 故选：D 【点睛】本题考查均值不等式的应用，考查指数幂的运算法则与性质，考查推理能力与计算能力. 11.我们把叫“费马数” （费马是十七世纪法国数学家） .设， ，表示数列的前 项之和，则使不等式成立的最小正整 数 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可得，故，利用裂项相消 法可得，代入选项检验即可. 【详解】 ， ， 而 ， ， 即， 当 n=8 时，左边=，右边=，显

9、然不适合； 当 n=9 时，左边=，右边=，显然适合， 故最小正整 数的值 9 故选：B 【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法 是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧： (1)； （2） ； （3）； （4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问 题，导致计算结果错误. 12.设函数是定义在 上的偶函数， 且， 当时， 则在区间 内关于 的方程解得个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意求得函数的周期，根据偶函数的性质，及当x2，0时，函数解析式，画出函数f（x）的图象， 根据图象可

10、得yf（x）与ylog 8（x+2）在区间（2，6）上有 3 个不同的交点 【详解】解：对于任意的xR R，都有f（2+x）f（2x） ， f（x+4）f2+（x+2）f（x+2）2f（x） ， 函数f（x）是一个周期函数，且T4 又当x2，0时，f（x）（） x1，且函数 f（x）是定义在 R R 上的偶函数， 且f（6）1，则函数yf（x）与ylog 8（x+2）在区间（2，6）上的图象如下图所示： 根据图象可得yf（x）与ylog 8（x+2）在区间（2，6）上有 3 个不同的交点 故选：C 【点睛】本题综合考查了函数的奇偶性、周期性、函数的交点及方程的根，考查数形结合思想，属于中档题

11、第第卷（共卷（共 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.已知直线 ：，直线 ：，若，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出 【详解】解：l1l2，则 1a+110， 解得a1 故答案为：1 【点睛】本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 14.在甲、乙、丙、丁 名同学中选出两名代表，则甲当选的概率为_ 【答案】 【解析】 【分析】 由题意列出选出二个人的所有情况，再根据等可能性求出事件“甲当选”的概率 【详解】解：由

12、题意：甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，共有六种情况： 甲和乙、甲和丙、甲和丁、乙和丙、乙和丁、丙和丁， 因每种情况出现的可能性相等，所以甲当选的概率为 故答案为： 【点睛】本题考查了等可能事件的概率的求法，即列出所有的实验结果，再根据每个事件结果出现的可能性 相等求出对应事件的概率 15.点在曲线上， 是的最小正周期，设点，若，且 ，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 由得到的值，进而由点 在曲线上得到，结合， 可得 k 值，从而得到 T. 【详解】由可得：， 又点在曲线上， ，即， 又即 ，即，又 k=0，即 故答案为：4 【点睛】本题考查正弦函数的图像与性质，考查函数的最值与周期性，考查

13、逻辑推理能力与计算能力，属于 中档题. 16.设 ， 分别是圆和椭圆上的点，则 ， 两点间的最大距离是_ 【答案】 【解析】 【分析】 圆 心C（ 0 ， 1 ） 到 椭 圆 上 的 点Q（ 2cos ， sin ）（ 0 ， 2 ） 的 距 离 d，可得P，Q两点间的最大距离是dmax+r 【 详 解 】 解 ： 圆 心C（ 0 ， 1 ） 到 椭 圆 上 的 点Q（ 2cos ， sin ） （ 0 ， 2 ） ） 的 距 离 d，当且仅当时取等号 P，Q两点间的最大距离是d+r 故答案为： 【点睛】本题考查了椭圆的参数方程及其性质、两点之间的距离公式、三角函数的单调性与值域，考查了推 理

14、能力与计算能力，属于中档题 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17.在中，. （1）求角 ； （2）若，求的长. 【答案】 （1）； （2）. 【解析】 【分析】 （1）利用同角关系可得，结合内角和定理及两角和正切公式可得到结果； （2）由可得，又由正弦定理可知，从而解得 a，c，再利用余弦定理可得结果. 【详解】解： （1）法一：为三角形的内角，,， 又 ， 法二：， 为三角内角， ， ， （2）， 又：即，则 由得： 又 . 【点睛】解三角形的基本策

15、略 一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边；求三角形面积的最大值也是一种常见 类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于 某个角的函数，利用函数思想求最值. 18.设矩形中，点 、 分别是、的中点，如图 1.现沿将折起，使点 至 点的位置，且，如图 2. 图 1 图 2 （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】 （1）详见解析； （2）. 【解析】 【分析】 （1）要证平面，即证； （2）利用等积法即可得到结果. 【详解】 （1）证明：由题设知：又 ；，面 面， 面， 在矩形中， 、 为中点 ， ， 又，面

16、面 （2）面 ， 在中，则 又 . 【点睛】等积法：等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通 过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱 锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值 19.火把节是彝族、白族、纳西族、基诺族、拉祜族等民族的古老传统节日，有着深厚的民俗文化内涵，被称 为“东方的狂欢节”凉山州旅游局为了解民众对火把节知识的知晓情况， 对西昌市区 A,B 两小区的部分居民 开展了问卷调查，他们得分(满分 100 分)数据，统计结果如下： A 小区

17、 得分范围/分 频率 B 小区 （1）以每组数据的中点值作为该组数据的代表，求 B 小区的平均分； （2）若 A 小区得分在内的人数为人，B 小区得分在内的人数为人，求在 A，B 两小区中所 有参加问卷调查的居民中得分不低于分的频率； 【答案】 （1）； （2）0.08. 【解析】 【分析】 （1）由频率分布直方图即可得到 B 小区的平均分； （2）分别求出 A，B 小区不低于分的居民数，即可得到结果. 【详解】解（1）设 B 小区的平均分为 则 B 小区的平均分为 （2）A 小区得分为分的频率为 A 小区被问卷调查的居民共有（人） B 小区得分为分的频率为 B 小区被问卷调查的居民共有（人）

18、 A 小区不低于分的居民共有（人） B 小区不低于分的居民共有（人） 所有参加问卷调查的居民得分不低于分的频率为： , 【点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者在频率分布直方图 中： (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的； (3)平均数是频率分布直方图的“重心”， 等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点 的横坐标之和 20.椭圆长轴右端点为 ，上顶点为 ， 为椭圆中心， 为椭圆的右焦点，且，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）直线 交椭圆于 、 两点，判断是否存在直线 ，

19、使点 恰为的垂心？若存在，求出直线 的方程； 若不存在，请说明理由. 【答案】 （1）； （2）存在直线 ：满足要求. 【解析】 【分析】 （1）由条件布列关于 a，b 的方程组，即可得到椭圆的标准方程； （2）由 为的垂心可知，利用韦达定理表示此条件即可得到结果. 【详解】解： （1）设椭圆的方程为，半焦距为 . 则、 由，即，又， 解得，椭圆的方程为 （2）为的垂心， 又， ， 设直线：， 将直线方程代入，得 ， ，且 又， ，即 由韦达定理得： 解之得：或（舍去） 存在直线 ：使 为的垂心. 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、

20、三角形垂心的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题 21.设函数， （1）当时，求的单调区间； （2）若存在极值点，求 的取值范围. 【答案】 （1）在单调递增； （2）. 【解析】 【分析】 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）由存在极值点可知在上有解，即在上有解，数形结合即可得 到结果. 【详解】解： （1）当时， 设，则， 当时，当时， 在为减函数，在为增函数 ，成立 在单调递增 （2）存在极值点 在上有解 即有解 即在上有解 当上式不成立 即当，在上有解 即曲线与曲线在上有交点 当或时， 当， , 时， 作出的图象

21、如图 有或 即 【点睛】本题考查导数的综合应用，利用导数求函数的单调区间，利用导数判断函数的极值，考查计算能力， 属于中档题 请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 已知直线 的参数方程为， （ 为参数） .以坐标原点 为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线 的普通方程和极坐标方程； （2）设点 的极坐标为，求点 到直线 的距离. 【答案】 （1） 的极坐标方程()， 的普通方程为； （2）1. 【解析】 【分析】 （1）由参数方程利用

22、代入消参法得到直线 的普通方程，进而得到其极坐标方程； （2）把 A 点的极坐标化为直角坐标，借助点到直线距离公式可得结果. 【详解】解（1），代入，得， 的倾斜角为 的极坐标方程()， 的普通方程为 （2）在普通直角坐标系下坐标为 到 的距离 【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、直角坐标方程化为极坐标方程、点到直线的距离公式，考查了 推理能力与计算能力，属于基础题 23.选修 4-5：不等式选讲 已知. （1）求不等式的解集； （2）若存在，使得成立，求实数 的取值范围. 【答案】 （1）. （2）. 【解析】 试题分析： （）通过讨论 x 的范围，得到关于 x 的不等式组，解出取并集即可； （）求出 f（x）的最大值，得到关于 a 的不等式，解出即可 试题解析： （1）不等式等价于或 或，解得或， 所以不等式的解集是； （2）， ，解得实数 的取值范围是 点睛： 含绝对值不等式的解法有两个基本方法， 一是运用零点分区间讨论， 二是利用绝对值的几何意义求解 法 一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透， 解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向