云南省2019届高三第一次高中毕业生复习统一检测文科数学试卷（含解析）.doc

1、 云南省高中毕业生云南省高中毕业生 20192019 年第一次复习统一检测年第一次复习统一检测 数学试卷（文）数学试卷（文） 一、选择题：本大共一、选择题：本大共 1212 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，则 的真子集共有（ ） A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 【答案】B 【解析】 【分析】 先求得两个集合的交集，然后计算出真子集的个数. 【详解】依题意，其真子集为 ，只有一个真子集，故选 B. 【点睛】本小题主要考查两个集合交集的运算，考查真子集的个数，属于基础题. 2

2、.已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用复数的除法运算，对题目所给表达式进行化简. 【详解】依题意，原式，故选 A. 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查运算求解能力，属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技 巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相 关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即的形式，再根据题意求解. 3.某学校为了了解高一年级、高二年级、高三年级这三个年级的学生对学校有关课外活动内容与时间安排的 意见，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样

3、方法是（ ） A. 抽签法 B. 随机数法 C. 分层抽样法 D. 系统抽样法 【答案】C 【解析】 【分析】 根据抽样方法适用的情形，结合题意，选出正确选项. 【详解】由于研究对象是三个年级学生的意见，故应按分层抽样法来抽取，故选 C. 【点睛】本小题主要考查抽样方法的选择，考查分层抽样的适用情况，属于基础题. 4.已知点，若向量 ，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先求得，然后利用向量的减法运算求得. 【详解】依题意，故选 D. 【点睛】本小题主要考查平面向量的减法运算，考查平面向量的坐标运算，属于基础题. 5.执行如图所示的程序框图，则输出 的值等于（

4、 ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 运行程序，计算 的值，当时退出循环，求得输出 的值. 【详解】运行程序，判断否，判断否，判断否，以此类推， ，判断是，输出.故选 C. 【点睛】本小题主要考查计算循环结构程序框图输出的结果，属于基础题. 6.如图，网格纸上小正方形的边长为 1（单位 mm） ，粗实线画出的是某种零件的三视图，则该零件的体积（单 位：）为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据三视图得到几何体是由一个圆柱和一个长方体构成，由此计算出几何体的体积. 【 详 解 】 由 三 视 图 可 知 ， 该 几 何 体 是 由 一 个 圆

5、 柱 和 一 个 长 方 体 构 成 ， 故 体 积 为 ，故选 A. 【点睛】本小题主要考查由三视图判断原图，考查圆柱和长方体体积的计算，属于基础题. 7.为得到函数的图象，只需要将函数 的图象（ ） A. 向左平行移动 个单位 B. 向右平行移动 个单位 C. 向左平行移动个单位 D. 向右平行移动个单位 【答案】D 【解析】 【分析】 利用计算出项右平移的单位. 【详解】依题意向右平移个单位，得到的图像. 【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，主要是平移变换，属于基础题. 8.已知 ， 都为锐角，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用求得，由此

6、求得的表达式，利用诱导公式化简，并利用齐次方程计算出的 值. 【详解】由于，所以，所以 .故选 B. 【点睛】本小题主要考查余弦函数的零点，考查诱导公式、二倍角公式以及齐次方程，属于中档题. 9.已知 是抛物线 ：上的任意一点，以 为圆心的圆与直线相切且经过点 ，设斜率为 1 的直线与抛物线 交于 ， 两点，则线段的中点的纵坐标为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】 根据抛物线的定义求得抛物线的方程，设出斜率为 的直线的方程，联立直线的方程和抛物线方程，消去 ， 然后利用韦达定理求得中点的纵坐标. 【详解】由于为圆心的圆与直线相切且经过点，根据抛物线的

7、定义可知 为抛物线的焦点，故 ，所以抛物线方程为.设斜率为 的直线的方程为，则，代入抛物线方程 得，即，所以，.即中点的纵坐标为 ，故选 A. 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题. 10.已知函数，若 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 通过分析后将 代入函数第二段表达式，解方程求得 的值，进而求得的值. 【详解】由于，而，故，所以.故 .故选 B. 【点睛】本小题主要考查分段函数求值，考查指数函数的值域，考查对数运算，属于基础题. 11.双曲线 的焦点是，若双曲线 上存在点 ，使是有一个内角为的等腰三角形，则 的离心 率

8、是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据是有一个内角为的等腰三角形，求得 点的坐标，代入双曲线方程，化简后求得离心率. 【详解】不妨设 在第一象限，由于是有一个内角为的等腰三角形，故，代入双曲线方程 得，化简得，解得，故.所以选 C. 【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查等腰三角形的知识，属于基础题. 12.已知 是自然对数的底数，不等于 1 的两正数 ， 满足，若，则的最小值为 （ ） A. -1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用对数的运算公式，化简，求得的值，由此求得的关系式，化简，并利用导 数求得最小值. 【详解】依题意 ，即

9、，由于，故上式解得 ，即.所以.构造函数（ 为不等于 的正数）.， 故函数在上递减，在上递增，所以最小值为.故选 D. 【点睛】本小题主要考查对数运算，考查利用导数求表达式的最小值的方法，考查化归与转化的数学思想方 法，属于中档题. 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题。小题。 13.设向量，若 则_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得 的值. 【详解】由于，故，解得. 【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示，考查运算求解能，属于基础题. 14.若 ， 满足约束条件，则目标函数的最大值等于_ 【答案】2 【解析】 【分析】 画出可行域

10、，通过向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值. 【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为 . 【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目 所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线； 然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题. 15.已知中内角对的边分别为 ，平分交于点 ，则面积的 最小值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 利用列方程，求得的关系式，然后利用基本不等式求得的最小值，进而求得面积的 最小值.

11、 【 详 解 】 由 于， 故， 化 简 得 ， 故， 故 三 角 形 面 积 . 【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查基本不等式的运用，属于中档题. 16.已知 ， ， ， ， 是球 的球面上的五个点，四边形为梯形， ，,平面平面，则球 的表面积为_. 【答案】 【解析】 【分析】 设的中点为 ，证明 是球的球心，由此求得球的半径，进而求得球的表面积. 【详解】 设中点为 ， 设中点为 ， 作出图像如下图所示， 由于，,平面平面, 所 以,平 面， 故. 由 于， 所 以 ，.所以，故 点到的距离相等，所以 为球心， 且球的半径为 ，故表面积为. 【点睛】本小题主要考查几何体外接球球

12、心的位置的求法，考查球的表面积公式，属于中档题. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.数列中， . （1）求，的值； （2）已知数列的通项公式是，中的一个，设数列的前 项和为， 的前 项和为，若，求 的取值范围 【答案】 （1），（2），且 是正整数 【解析】 【分析】 （1）根据已知条件，分别令和，求得的值.（2）根据判断出数列的通项公式为 ，利用裂项求和法求得的值，利用累加法求得的值，根据列不等式，解不 等式求得 的取值范围. 【详解】 （1）， （2）由数列的通项公式是，中的一个，和得数列的通项公式 是 由可得 ，

13、即 由，得，解得或 是正整数， 所求 的取值范围为，且 是正整数 【点睛】本小题主要考查递推数列求通项公式，考查裂项求和法，考查累加法，属于中档题. 18.为降低汽车尾气排放量，某工厂设计制造了 、 两种不同型号的节排器，规定性能质量评分在的 为优质品现从该厂生产的 、 两种型号的节排器中，分别随机抽取 500 件产品进行性能质量评分，并将评 分分别分成以下六个组；，绘制成如图所示的频率分 布直方图： （1）设 500 件 型产品性能质量评分的中位数为 ，直接写出 所在的分组区间； （2）请完成下面的列联表（单位：件） （把有关结果直接填入下面的表格中） ； 型节排器 型节排器 总计 优质品

14、非优质品 总计 500 500 1000 （3）根据（2）中的列联表，能否有的把握认为 、 两种不同型号的节排器性能质量有差异？ 附：，其中. 0.10 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】 （1）（2）见解析（3）有的把握认为两种不同型号的节排器性能质量有差异. 【解析】 【分析】 （1）中位数左边和右边的频率各占一半，由此判断出中位数所在区间是.（2）根据题目所给数据填写 好联表.（2）计算的值，由此判断出有的把握认为两种不同型号的节排器性能质量有差异. 【详解】解： （1）； （2）列联表如下： A 型节排器 B 型节排器 总计 优质品 180 140

15、320 非优质品 320 360 680 总计 500 500 1000 （3）由于 所以有的把握认为两种不同型号的节排器性能质量有差异. 【点睛】本小题主要考查由频率分布直方图判断中位数的位置，考查列联表及独立性检验，属于基础题. 19.在四棱锥中，四边形为菱形，且 ，分别为棱的中点 （1）求证：平面； （2）若平面，求点 到平面的距离 【答案】 （1）见证明； （2） 【解析】 【分析】 （1）设的中点为 ，连接，通过证明四边形是平行四边形，证得，由此证得平 面.（2）利用等体积法，通过列方程，解方程求得 到平面的距离. 【详解】 （1）证明：设的中点为 ，连接 分别是的中点， 且 由已知

16、得且 且 四边形是平行四边形 平面，平面 平面 （2）解：设点 到平面的距离为 由平面得 点 到平面的距离也为 连接，平面 ，由题设得 ， 在中，由已知得， 由，得 点 到平面的距离为 【点睛】本小题主要考查线线平行的证明，考查利用等体积法求点到面的距离，属于中档题. 20.已知椭圆 的中心在原点，左焦点、右焦点都在 轴上，点 是椭圆 上的动点，的面积的最大 值为，在 轴上方使成立的点只有一个 （1）求椭圆 的方程； （2）过点的两直线分别与椭圆 交于点和点，且，求证： 【答案】 （1）（2）见证明 【解析】 【分析】 （1）根据已知条件判断出是短轴的端点，根据三角形面积、以及列方程组，解方

17、程组求得椭圆的方程.（2）先证得直线的斜率为 或不存在时，等式成立.当直线的斜率存在且不为 时， 设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，根据弦长公式计算出的长，进而 证得等式成立. 【详解】 （1）解：根据已知设椭圆 的方程为， 在 轴上方使成立的点 只有一个， 在 轴上方使成立的点 是椭圆 的短轴的端点 当点 是短轴的端点时，由已知得 解得 椭圆 的方程为 （2） 证明： 若直线的斜率为 0 或不存在时， 且或且， 此时， 若直线的斜率存在且不为 0 时，设 由，得 设，则， 于是 同理可得： 综上所述： 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，

18、考查弦长公式，综合性较强， 属于中档题. 21.已知 是自然对数的底数，函数与的定义域都是 （1）求函数在点处的切线方程； （2）求证：函数只有一个零点，且 【答案】 （1）（2）见证明 【解析】 【分析】 （1）利用导数求得斜率，求得切点的坐标，由此求得切线方程.（2）首先根据零点存在性定理判断出在 区间上存在零点.然后利用的导数，证得在上是减函数，由此证得函数在区间上只有 一个零点. 【详解】 （1）解： 切线的斜率， 函数在点处的切线方程为 （2）证明：， ， 存在零点，且 当时， 当时，由 在上是减函数， 若，则 函数只有一个零点，且. 【点睛】本小题主要考查切线方程的求法，考查利用导

19、数研究函数的零点，考查零点的存在性定理，综合性 较强，属于中档题. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 已知常数 是实数，曲线的参数方程为（为参数） ，以原点 为极点，以 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系，曲线的极坐标方程为 （1）写出的普通方程与的直角坐标方程； （2）设曲线与相交于 ， 两点，求的最小值 【答案】 （1）的普通方程为，的直角坐标方程为（2）8 【解析】 【分析】 （1）将的参数方程消去，得到的普通方程.对的极坐标方程两边乘以 ，由此求得的直角坐标方程. （2）联立的直角坐标方程，写出韦达定理，然后根据弦长公式求得的表达式，进而求得的最小 值. 【详解】 （1）的普通方程为

20、的直角坐标方程为 （2）设，则 由得， ， 当时， 的最小值等于 8 【点睛】本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查弦长公式， 属于中档题. 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数. （1）当时，解关于 的不等式； （2）当时，若对任意实数 ，都成立，求实数 的取值范围 【答案】 （1）（2） 【解析】 【分析】 （1）当时，利用含有一个绝对值不等式的解法，求得不等式的解集.（2）对 分成和两类，利 用零点分段法去绝对值，将表示为分段函数的形式，求得的最小值，进而求得 的取值范围. 【详解】 （1）当时， 由得 由得 解：，得 当时，关于 的不等式的解集为 （2）当时， 所以在上是减函数，在是增函数，所以， 由题设得，解得.当时，同理求得. 综上所述， 的取值范围为. 【点睛】本小题主要考查含有一个绝对值不等式的求法，考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式， 属于中档题.