江西省红色七校2019届高三第二次联考数学（理）试题（含解析）.doc

1、 江西省红色七校江西省红色七校 2019 届高三第二次联考届高三第二次联考 数学（理）试卷数学（理）试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的 1.已知集合，则真子集的个数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出 A,得则真子集个数可求. 【详解】由题则 01 时，f(x)的最小值为 f(a)=1,故 若有最小值，则 a1; 当 0a1 时,单调递增，此时, 故若有最小值，则 2a,解得

2、 0c=2,所以 a+b+c 故答案为 【点睛】本题考查基本不等式的应用，余弦定理，准确将原式化简是关键，注意三角形两边之和大于第三边， 是中档题. 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.已知数列为等差数列，为的前 项和，.数列为等比数列且 . （1）求数列和的通项公式； （2）记，其前 项和为，求证：. 【答案】 （1） ； （2）详见解析. 【解析】 【分析】 （1）由题列关于的方程组即可求由得 ，进而求得（2）将变形为 裂项相消求和得，由单调性即可证明. 【详解】 （1）设公差为 ，则由 得,解得，

3、所以. 设的公比 ， 因为，由且， 解得，所以。 （2）， ， 易知随着 的增大而增大，所以. 【点睛】本题考查等差数列通项公式，等比数列性质，裂项求和，熟记等差等比通项及性质，准确求和是关 键，是中档题 18.如图，多面体为正三棱柱沿平面切除部分所得， 为的中点，且 . (1)若 为中点,求证； (2)若二面角大小为 ，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】 （1）见解析； （2）. 【解析】 【分析】 (1) 取中点 N，连接 MN，证明即可；(2)由（1）得是二面角的平面 角，得，建立空间直角坐标系，由线面角的向量公式求解即可. 【详解】 （1）取中点 N，连接 MN，则 MN 为的中位

4、线， , ，又 MN=AD,， ， ， 。 (2) 由可得二面角平面角， 由二面角大小为 可得， 如图建立空间直角坐标系，则，, 设平面的法向量为 ，所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】本题考查线面平行的判定，线面角的向量求法，熟记线面平行判定定理，准确计算是关键，是基础 题. 19.当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发 学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施.程度 2019 年初中毕业生升学体育考试 规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1 分钟跳绳三项测试，三项考试满分 50 分，其中立定跳远 15

5、 分， 掷实心球 15 分，1 分钟跳绳 20 分.某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取 了 100 名学生进行测试，得到下边频率分布直方图，且规定计分规则如下表： 每分钟跳绳个数 得分 17 18 19 20 （）现从样本的 100 名学生中，任意选取 2 人，求两人得分之和不大于 35 分的概率； ； （）若该校初三年级所有学生的跳绳个数 服从正态分布，用样本数据的平均值和方差估计总体的 期望和方差，已知样本方差（各组数据用中点值代替）.根据往年经验，该校初三年级学生经过一年 的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数

6、比初三上 学期开始时个数增加 10 个，现利用所得正态分布模型： 预计全年级恰有 2000 名学生，正式测试每分钟跳 182 个以上的人数； （结果四舍五入到整数） 若在全年级所有学生中任意选取 3 人， 记正式测试时每分钟跳 195 以上的人数为 ， 求随机变量的分布列 和期望. 附：若随机变量 服从正态分布，则， . 【答案】 （I）； （II） ;详见解析. 【解析】 【分析】 （）根据古典概率概率公式求解即可得到结果； （）先根据频率分布直方图得到平均数个，结合 题意得到正式测试时根据正态曲线的对称性可得，由此可预计所求人 数；由题意得，根据独立重复试验的概率可得当 分别取时的概率，然

7、后可得分布列及期 望 【详解】 （）设“两人得分之和不大于 35 分”为事件 A，则事件 A 包括两种情况：两人得分均为 17 分； 两人中 1 人得 17 分，1 人得 18 分 由古典概型概率公式可得， 所以两人得分之和不大于 35 分的概率为 （）由频率分布直方图可得样本数据的平均数为 （个） ， 又由， 所以正式测试时， 由正态曲线的对称性可得 （人） ， 所以可预计全年级恰有 2000 名学生，正式测试每分钟跳 182 个以上的人数为 1683 人 由正态分布模型，全年级所有学生中任取 1 人，每分钟跳绳个数 195 以上的概率为 0.5， 所以 的分布列为 0 1 2 3 【点睛】

8、 （1）离散型随机变量的期望与方差的应用，是高考的重要考点，不仅考查学生的理解能力与数学计 算能力，而且不断创新问题情境，突出学生运用概率、期望与方差解决实际问题的能力，以解答题为主，中 等难度 （2）利用正态曲线的对称性求概率的方法 解题的关键是利用对称轴x确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关 系，一般要借助图形判断、分析，解题时要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为 1 这些特 殊性质 20.已知椭圆的离心率，且椭圆过点. （I）求椭圆 的标准方程； （II）已知点 为椭圆 的下顶点，为椭圆 上与 不重合的两点，若直线与直线的斜率之和为，试 判断是

9、否存在定点 ，使得直线恒过点 ，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2) 存在定点，使得直线恒过点 【解析】 试题分析： （1）第（1）问，直接根据已知条件得到关于 a,b 的一个方程组，再解方程组即可. (2)第（2） 问，对直线的斜率分两种情况讨论.每一种情况都要先根据已知条件求直线 DE 的方程，再判断其方程是否 过定点. 试题解析： （1）因为椭圆 的离心率， 所以，即， 因为椭圆 与圆 的 4 个交点恰为一个正方形的 4 个顶点， 所以直线与圆 的一个交点在椭圆 上，所以， 由解得，所以椭圆 的标准方程为. （2）由（1）知， 当直线的斜率存在时，设直线的

10、方程为， 代入得， 所以，即. 设，则， 因为直线与直线的斜率之和为，所以 ， 整理得，所以直线的方程为， 显然直线经过定点. 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为， 因为直线与直线的斜率之和为，设，则， 所以，解得， 此时直线的方程为，显然直线经过定点. 综上，存在定点，使得直线恒过点 . 点睛：本题的关键是计算，先要把直线 DE 的方程和椭圆的方程联立，得到比较复杂的韦达定理，再把韦达定 理代入=，化简得到,计算量比较大，如果计算出错，则结果出错.所以我们在计算时要认 真细心. 21.已知函数. （1）求函数在点处的切线方程； （2）已知函数区间上的最小值为 1，求实数 的值. 【答案】

11、（1）； （2） . 【解析】 【分析】 （1）求得切线斜率 k,点斜式得方程； （2）法一：，由 h(x) 单 调 增 ， 则 存 在 唯 一 的， 变 形， 则 构造函数，证明函数有唯一解，即可求解；法一：同法一则 ，利用基本不等式求解即可 【详解】 （1） ，则函数在点处的切线方程为； (2)， 在区间上单调递增，在区间上单调递减，存在唯一的， 使得，即 （*） ， 函数在上单调递增，单调递减； ，单调递增， 由（*）式得， ，显然是方程的解， 又是单调减函数，方程有且仅有唯一的解， 把代入（*）式得，所求实数 的值为 . 解法解法 2 2：， 在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以

12、函数在上单调递增，故存在唯一的， 使得，即 （*） ， ，单调递减；，单调递增， ， 由式得， = = , （当且仅当 =1 时） ，由得,此时， 把代入（*）也成立， 实数 的值为 . 【点睛】本题考查切线方程，函数的最值，第二问中函数 h(x)存在隐零点，正确处理的方程是本题的关 键，是中档题. 请考生在第请考生在第 2222，2323 两题中任选一题做答两题中任选一题做答. .只能做所选定的题目只能做所选定的题目. .如果多做，则按所做的第一个题记分如果多做，则按所做的第一个题记分. .做答时做答时 用用 2B2B 铅笔在答题卡上把所选题号后方框涂黑铅笔在答题卡上把所选题号后方框涂黑.

13、. 22.已知在极坐标系中，直线 的极坐标方程为，曲线 的极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴为 轴正半轴，建立平面直角坐标系. （1）写出直线 和曲线 的直角坐标方程； （2）若直线 ：与曲线 交于两点，求的值. 【答案】 （1）； （2）. 【解析】 【分析】 （1）利用极坐标与直角坐标互化公式即可求解； （2）写出 的参数方程，代入曲线 C，利用韦达定理及参数 t 的意义即可求解 【详解】 （1）因为直线 ：，故， 即直线 的直角坐标方程：； 因为曲线 ：，则曲线 直角坐标方程：. （2）设直线 参数方程为 将其代入曲线 的直角坐标系方程得， 设对应的参数分别为则 . 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标互化，直线参数方程，直线与抛物线的位置关系，弦长公式，准确计算 是关键，是基础题. 23.已知函数. （1）当时，解不等式； （2）若对于恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】 （1）； （2）或.。 【解析】 试题分析： （1）根据分类讨论的方法去掉绝对值，化为不等式组求解 （2）先由绝对值的三角不等式得 ，再根据求得实数 的取值范围 试题解析： （1）时，不等式为，等价于 或或， 解得，或或， ， 不等式的解集是. （2）由绝对值的三角不等式得， 对于恒成立， ， 解得或. 实数 的取值范围为