江苏省南通市基地学校2019届高三3月联考数学试题（含解析）.doc

1、 江苏省南通市基地学校江苏省南通市基地学校 2019 届高三届高三 3 月联考月联考 数学试题数学试题 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共计分，共计 7070 分把答案填写在分把答案填写在答题卡相应位置答题卡相应位置 1.已知集合，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据并集和补集的定义，直接计算得结果. 【详解】由题意得： 则 本题正确结果： 【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题. 2.已知复数（i 为虚数单位） ，若 为纯虚数，则实数a的值为_ 【答案】2 【解析】 【分析】 将 化简的形式， 为纯虚数要求实部为零，虚部不为零

2、，由此可求得结果. 【详解】 为纯虚数 本题正确结果： 【点睛】本题考查复数的基本运算和纯虚数的定义，属于基础题. 3.对某种电子元件使用寿命跟踪调查，抽取容量为 1000 的样本，其频率分布直方图如图所示根据此图可知 这批样本中寿命不低于 300 h 的电子元件的个数为_ 【答案】800 【解析】 【分析】 根据频率分布直方图求出的频率 ，利用得到不低于的概率，利用得到结果. 【详解】使用寿命在的概率为： 使用寿命在的概率为： 使用寿命在的概率 使用寿命不低于的概率 使用寿命不低于的电子元件个数为：（个） 本题正确结果： 【点睛】本题考查利用频率分布直方图估计总体的问题，属于基础题. 4.运

3、行如图所示的流程图，若输入的，则输出的x的值为_ 【答案】0 【解析】 【分析】 按照程序框图依次运算，不满足判断框中条件时输出结果即可. 【详解】由，得：，循环后：， 由，得：，循环后：， 由，得：，循环后：， 由，得：，输出结果： 本题正确结果： 【点睛】本题考查程序框图中的条件结构和循环结构，属于基础题. 5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（四个面上分别写有数字 1，2，3，4）先后抛掷 2 次，观察其朝下一面的 数字，则两次数字之和为偶数的概率为_ 【答案】 【解析】 【分析】 所有可能的结果共种，通过两次数字之和为偶数说明两次均为奇数或者均为偶数，共 种，由此得到概率为 . 【详解】骰

4、子扔两次所有可能的结果有：种 两次数字之和为偶数，说明两次均为奇数或均为偶数，则有：种 两次数字之和为偶数的概率 本题正确结果： 【点睛】本题考查古典概型的应用，可通过排列组合来解决，由于此题基本事件个数较少，也可采用列举法 来求解. 6.已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为 3a，则该双曲线的渐近线方程为 _ 【答案】 【解析】 【分析】 由标准方程可得渐近线方程，利用点到直线的距离构造方程，求得 的值，从而得到渐近线方程. 【详解】 渐近线方程为： 由双曲线对称性可知，两焦点到两渐近线的距离均相等 取渐近线，焦点 渐近线方程为： 本题正确结果： 【点睛】本题考查双曲线的几何性质、点到直

5、线距离公式，关键在于利用点到直线距离公式建立的等量 关系，求解得到结果. 7.已知正四棱柱中，AB=3，AA1=2，P，M分别为BD1，B1C1上的点若，则三棱锥MPBC 的体积为_ 【答案】1 【解析】 【分析】 三棱锥体积与三棱锥体积一样， 为上动点，可知面积为侧面面积的一半； 到面的距离等于到面的距离的 ，由此可根据三棱锥体积公式求得体积. 【详解】由题意可知原图如下： 又，即 到面的距离 等于到面的距离 即 本题正确结果： 【点睛】本题考查三棱锥体积的求解，关键在于能够通过体积桥的方式将原三棱锥进行体积变换，找到易求 解的底面积和高. 8.已知函数是 R 上的奇函数，当x0 时，f(x

6、)2 xm(m 为常数)，则的值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据奇函数求得；将变成，代入，求得结果. 【详解】为 上的奇函数 又 本题正确结果： 【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解函数值的问题，属于基础题. 9.已知角 的终边经过点，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ， 则的值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据对称轴之间距离求出最小正周期 ，从而求得 ；利用 的终边所过点，得到、；将利用两 角和差公式展开求得结果. 【详解】角 终边经过点 ， 两条相邻对称轴之间距离为 即 本题正确结果： 【点睛】本题考查利用三角函数图像特点求解解析式、三角函数定义、两角和差公式的应用，关键

7、在于能够 通过对称轴之间距离求出解析式，能够利用三角函数定义解出 的正余弦值. 10.如图，在平面直角坐标系中，点在以原点 为圆心的圆上已知圆O与y轴正半轴的交点为 P，延长AP至点B，使得，则_ 【答案】2 【解析】 【分析】 根据点 求出，从而得到直线；假设 点坐标，利用可求得，由此可用坐标求解 . 【详解】圆 半径 则所在直线为：，即： 设，则， 解得： 本题正确结果： 【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，关键在于能够利用向量垂直求得点的坐标，从而得到所求向量的 坐标，最终求得结果. 11.已知函数的单调减区间为，则 的值为_ 【答案】e 【解析】 【分析】 通过单调递减区间可确定，利

8、用韦达定理得到关于的方程，求解出结果. 【详解】 单调递减区间为且 为方程的两根 由韦达定理可知： 当，即时， 当，即时， ，即 此时，即无解 综上所述： 本题正确结果： 【点睛】本题考查利用单调区间求解参数值的问题，解题关键是要明确此函数单调区间的端点值恰为导函数 值为零的点，通过构建方程求得结果. 12.已知函数有三个不同的零点，则实数m的取值范围是_ 【答案】 【解析】 【分析】 通过时函数的单调性和值域，可判断出此时有且仅有一个零点，由此可知当时，有两个零点；通过 求导运算，得到单调性，通过图像可知要想有两个零点，只需，求解得 范围. 【详解】当时， 且在上单调递增 有且仅有一个零点

9、当时，需要有两个零点 当时， 当时，恒成立，即单调递增，不合题意； 当时，令，解得： 当时，此时单调递增； 当时，此时单调递减 ， 本题正确结果： 【点睛】本题考查利用导数研究函数图像和零点个数的问题，关键在于能够通过导数得到图像情况，然 后找到临界情况，从而列出关于 的不等关系，求得范围. 13.在平面直角坐标系中，已知圆O：和点M(1，0) 若在圆O上存在点A，在圆C： 上存在点B，使得MAB为等边三角形，则r的最大值为_ 【答案】8 【解析】 【分析】 通过分析图像可知： 取最大值时，且 在圆 内部，由此可确定点 的坐标，再利用方程组求解得到 坐标为，由此可求得. 【详解】圆 由题意可知

10、：， 又且 若 最大，则需取最大值 ，且在圆 内部 可得，又与成角为 设，则直线所在直线方程为： 又 解得：或（舍） 时 取最大值 本题正确结果： 【点睛】本题考查点与圆上点连线的最值、圆的最值类问题，关键在于能够通过图像分析出取得最值时点的 位置，然后根据等量关系求解出坐标，进而求得结果. 14.已知等差数列的前n项和Sn0，且，其中且若 （） ，则实数t的取值范围是_ 【答案】 【解析】 【分析】 首先根据可得恒成立， 通过分析可求得； 利用已知条件得到 时，根据等差数列通项公式和求和公式可化为，将 右侧看做函数，即，通过的范围求得的范围，再结合变量 和 ，分析求 出 的取值范围. 【详解

11、】设等差数列首项为，公差为 由得：且 即：对恒成立 若，不恒成立，舍去 若即，此时满足题意 若即时，需时， ，满足题意 ，又，所以 由得： 两式作商可得：， 又 整理可得： 设， 当时， 即 当时， 当时， 此时，即，无法取得 当时， 即 当时， 当时， 综上所述： 【点睛】本题考查数列的综合应用问题，在求解过程中结合了函数、不等式、恒成立等问题的求解方法和思 路，整体难度较大.关键在于能够将 范围的求解转化为函数值域的求解，在求解最值过程中，因为变量较多， 需要不断进行变量迁移，从而能够在最值集合中找到满足题意的临界值，对学生的综合分析和应用能力要求 较高. 二、解答题：本大题共二、解答题：

12、本大题共 6 6 小题，共计小题，共计 9090 分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答解答时应写出文字说明、证明过内作答解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤程或演算步骤 15.如图，在三棱柱中，求证： （1）平面； （2）平面平面 【答案】 （1）详见解析； （2）详见解析. 【解析】 【分析】 （1）通过，证得结论； （2）通过四边形为菱形，得到，又，可得到 平面，从而证得结论. 【详解】 （1）在三棱柱中， 又平面，平面 所以平面 （2）在三棱柱中，四边形为平行四边形 因为，所以四边形为菱形， 所以 又，平面，平面 所以平面 而平面 所以平面平面 【点睛】本题考查线面平行

13、、面面垂直的证明，题目中的位置关系较为简单，属于基础题. 16.在中，角所对的边分别为向量，且 （1）若，求角 的值； （2）求角 的最大值 【答案】 （1）； （2）. 【解析】 【分析】 （1）利用向量平行得到，再利用正弦定理化简，可求得，从而求得 ； （2）方法一： 利用正弦定理将边都化成角的关系，化简求得，再利用，结合基本不等 式求得的最值，从而得到 的最大值；方法二：利用余弦定理将角化成边的关系，再利用和基本不 等式得到的最小值，从而得到 的最大值. 【详解】 （1）因为，且 所以，即 由正弦定理，得 所以 整理，得 将代入上式得 又，所以 （2）方法一：由式，因为，所以 式两边同时

14、除以，得 又 当且仅当，即时取等号 又，所以 的最大值为 方法二：由（1）知， 由余弦定理 代入上式并化简得 所以 又 当且仅当，即时取等号 又，所以 的最大值为 【点睛】 本题主要考查解三角形边角关系式的化简， 以及通过边角关系式求解角的范围的问题.解决边角关系 式的关键是能够通过正余弦定理将边化成角或者将角化成边，然后再进行处理. 17.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆 ：的离心率为，且左焦点F1到左准线 的距离为 4 （1）求椭圆 的方程； （2）若与原点距离为 1 的直线l1：与椭圆 相交于A，B两点，直线l2与l1平行，且与椭圆 相切 于点M（O，M位于直线l1的两侧） 记MAB，

15、OAB的面积分别为S1，S2，若，求实数 的取值范围 【答案】 （1）； （2）. 【解析】 【分析】 （1） 根据椭圆的几何性质得到关系， 求解得到标准方程；（2） 设，根据可知， 又 与原点距离为 ，即，可把 化简为：，根据 与椭圆相切，联立可得，由此 代入化简可得的范围，再进一步求解出 的范围. 【详解】 （1）因为椭圆 的离心率为，所以 又椭圆 的左焦点到左准线的距离为 所以 所以， 所以椭圆 的方程为 （2）因为原点与直线的距离为 所以，即 设直线 由得 因为直线 与椭圆 相切 所以 整理得 因为直线 与直线 之间的距离 所以， 所以 又 因为，所以 又位于直线 的两侧，所以同号，所

16、以 所以 故实数 的取值范围为 【点睛】本题考查椭圆几何性质、直线与椭圆中的参数范围问题求解.求解参数范围问题，关键是构造出满足 题意的函数关系式，然后通过函数求值域的方法，求解出函数的范围，从而可以推导出参数的范围. 18.某鲜花小镇圈定一块半径为 1 百米的圆形荒地，准备建成各种不同鲜花景观带为了便于游客观赏，准备 修建三条道路AB，BC，CA，其中A，B，C分别为圆上的三个进出口，且A，B分别在圆心O的正东方向与正 北方向上，C在圆心O南偏西某一方向上在道路AC与BC之间修建一条直线型水渠MN种植水生观赏植物黄 鸢尾（其中点M，N分别在BC和CA上，且M在圆心O的正西方向上，N在圆心O的

17、正南方向上） ，并在区域 MNC内种植柳叶马鞭草 （1）求水渠MN长度的最小值； （2）求种植柳叶马鞭草区域MNC面积的最大值（水渠宽度忽略不计） 【答案】 （1）百米； （2）平方米. 【解析】 【分析】 （1） 设，可表示出直线的方程， 从而求得两点坐标， 进而将表示为关于 的 函数，利用导数求得最值； （2）方法一：将表示为，利用 将面积表示出来，利用 进行换元，从而化简得：，再根据 的范围求得面积最大值；方法二：利用三角 形面积公式，直接用 表示出，再利用换元，也可得到，从而与方法一采 用相同的求最大值方法求值. 【详解】 【解】 （1）以圆心 为原点，建立平面直角坐标系，则圆 的方程

18、为 设点， 直线的方程为，令，得 直线的方程为，令，得 所以 令， 即， 则 令，得 当时，则单调递减； 当时，则单调递增； 所以当时， 所以 水渠长度的最小值为百米 （2）由（1）可知，且 则 设，因为，所以 所以， 所以当时， 种植柳叶马鞭草区域面积的最大值为平方百米 另法： （2）因为，所以 由 所以 设，因为，所以 所以， 所以当时， 种植柳叶马鞭草区域面积的最大值为平方百米 【点睛】 本题考查函数导数的实际应用问题， 属于中档题.解题关键在于能够将所求量表示为某一变量的函数 关系，然后利用函数最值的求解方式求得对应的结果. 19.已知数列的各项均不为 0，其前n项和为若， （1）求的

19、值； （2）求数列的通项公式； （3）若数列满足，求证：数列是等差数列 【答案】 （1）81； （2）； （3）详见解析. 【解析】 【分析】 （1）将代入，可求得； （2）由可求得，进而 ，两式作差可得，进而推得，可得数列 及数列均为等差数列，进而求得通项； （3）由与关系可得： ， 即， 两 式 作 差 可 得 ：， 进 而 推 得 ，即，则证明结束. 【详解】 （1）时，由得 解得 （2）时，由，得 则 因为，所以 所以 得 所以，两式相减得 即数列及数列都成公差为 的等差数列 由，得，可求得 所以数列的通项公式为 （3）由，得 所以 因为，所以 所以 两式相减得，即 所以 两式相减得

20、所以 因为，可得 所以 所以数列是等差数列 【点睛】本题考查由数列递推关系式求解通项公式以及证明类问题.关键在于能够适当代入 和，从而得 到数列前后项之间的关系，灵活运用递推关系式.证明数列为等差数列问题，基本思路为说明或 ，符合定义式即可证得结论. 20.已知函数，其中且， （1）若函数f(x)与 g(x)有相同的极值点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） ，求k的值； （2）当m0，k = 0 时，求证：函数有两个不同的零点； （3）若，记函数，若，使，求k的取值范 围 【答案】 （1）0； （2）详见解析； （3）或 【解析】 【分析】 （1）分别求得与的极值点，利用极值点相同构造

21、方程，求得 ； （2）首先求得在上单调递 减，在上单调递增；再通过零点存在定理，分别在两段区间找到零点所在大致区间，根据单调性可知 仅有这两个不同零点； （3）根据已知关系，将问题变为：，又，则可 分别在，三个范围内去求解最值，从而求解出 的范围. 【详解】 （1）因为，所以 令，得 当时，则单调递减； 当时，则单调递增； 所以为的极值点 因为，所以函数的极值点为 因为函数与有相同的极值点，所以 所以 （2）由题意，所以 因为，所以 令，得 当时，则单调递减； 当时，则单调递增； 所以为的极值点 因为，又在上连续且单调 所以在上有唯一零点 取满足且 则 因为且，所以 所以，又在上连续且单调 所

22、以在上有唯一零点 综上，函数有两个不同的零点 （3）时， 由，使，则有 由于 当时，在上单调递减 所以 即，得 当时，在上单调递增 所以 即，得 当时， 在上，在上单调递减； 在上，在上单调递增； 所以 即（*） 易知在上单调递减 故，而，所以不等式（*）无解 综上，实数 的取值范围为或 【点睛】本题考查导数在研究函数中的综合应用问题，包括了单调性的求解、极值和极值点、最值问题，综 合性较强.证明零点个数问题重点在于能够通过单调性将零点个数的最大值确定， 进而再通过零点存在定理来 确定零点个数；而能够将存在性问题转化为恒成立问题，通过最值来求解参数范围，也是解决此题的关键. 数学数学（附加题）

23、（附加题） 第第 2121、2222、2323 题，每小题题，每小题 1010 分，共计分，共计 3030 分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤 21.已知二阶矩阵 有特征值，其对应的一个特征向量为，并且矩阵 对应的变换将点（1，2） 变换成点（8，4） ，求矩阵 【答案】 【解析】 【分析】 设二阶矩阵为，根据特征值、特征向量可列出关于的方程组，求解即可得到结果. 【详解】设所求二阶矩阵 因为 有特征值，其对应的一个特征向量为 所以，且 所以，解得 所以 【点睛】本题考查二阶矩阵以及特征值

24、与特征向量的计算问题，属于基础题. 22.如图，四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD为矩形，PA底面ABCD， ，F为BC的中 点， （1）若，求异面直线PD与EF所成角的余弦值； （2）若，求二面角EAFC的余弦值 【答案】 （1）； （2）. 【解析】 【分析】 （1）根据求得 点坐标，从而表示出，通过夹角公式求得结果； （2） 通过求得得 点 坐标，再进一步求出平面法向量，又面的一个法向量为，求出 即可求得所求余弦值. 【详解】以 为原点，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 则， （1）当时，由得 所以，又 所以 所以异面直线与所成角的余弦值为 （2）当时，由，得 设平面的一个法向

25、量为，又， 则，得 又平面的一个法向量为 所以 所以二面角的余弦值为 【点睛】本题考查利用空间向量法求解异面直线所成角和二面角的问题，关键在于能够准确地建立坐标系， 并用坐标表示点、求解法向量；需要注意的问题是：平面法向量有无数条，方向不同会造成的 符号不同，要判断好所求二面角与法向量夹角是等角关系还是补角关系，从而准确求得结果. 23.设整数数列an共有 2n（） 项， 满足， 且 （） （1）当时，写出满足条件的数列的个数； （2）当时，求满足条件的数列的个数 【答案】 （1）8； （2）. 【解析】 【分析】 （1） 当确定时， 可确定， 再逆推可知有 种取法； 再依据可知各有 种取法；

26、 由于与有关，当确定时，必然随之确定，故根据分步乘法计数原理，可得数列个数为 ； （2）设 ，且，可推得： ；又，可推得： ；用 表示中值为 的项数可 知的取法数为，再任意指定的 值 ， 有种 ， 可 知 数 列 有个 ； 再 化 简 ，可得最终结果. 【详解】 （1）时，且 则确定时，有唯一确定解 又，可知有 种取法 若，则，则有 种取法 此时，也有 种取法 又，当确定时，随之确定 故所有满足条件的数列共有：个 满足条件的所有的数列的个数为 （2）设，则由得 由得，则： 即 用 表示中值为 的项数 由可知 也是中值为 的项数，其中 所以的取法数为 确定后，任意指定的值，有种 由式可知，应取，使得为偶数 这样的的取法是唯一的，且确定了的值 从而数列唯一地对应着一个满足条件的 所以满足条件的数列共有个 下面化简 设 两展开式右边乘积中的常数项恰好为 因为，又中的系数为 所以 所以满足条件的数列共有个 【点睛】本题考查新定义、排列组合、二项式定理问题，对学生分析解决问题能力要求较高；如何正确理解 定义，同时找到定义式的切入点是解决问题的关键；题目对于排列组合、二项式定理知识的应用能力要求比 较高，难度较大.