材料力学：能量法课件.ppt

1、材料力学：能材料力学：能 量量 法法能量方法能量方法：利用功能原理利用功能原理 Ve=W来求解可变形固体来求解可变形固体 的位移、变形和内力等的方法。的位移、变形和内力等的方法。3-1 概述概述可变形固体在受外力作用而变形时，外力和内力均将作功。可变形固体在受外力作用而变形时，外力和内力均将作功。对于弹性体，外力在相应位移上作的功，在数值上就等于对于弹性体，外力在相应位移上作的功，在数值上就等于积蓄在物体内的应变能。积蓄在物体内的应变能。Ve=W1.线弹性条件下，通过外力功求应变能线弹性条件下，通过外力功求应变能3-2 应变能应变能 余能余能常力作功常力作功：常力：常力 P 沿其方向线位移沿其

2、方向线位移 上所作的功上所作的功 PW一、应变能一、应变能变力作功变力作功：在线弹性范围内，外力：在线弹性范围内，外力 P 与位移与位移 间呈线性间呈线性关系。关系。(静荷载为变力）静荷载为变力）PW21轴向拉（压）杆外力作功轴向拉（压）杆外力作功lP oP PEAlPEAlFN 基本变形在弹性范围内变形量与外力基本变形在弹性范围内变形量与外力(内力内力)均呈线性关系均呈线性关系EIlM 弯曲弯曲pGIlT 扭扭 转转EAlFlN 轴向拉，压轴向拉，压（FN为轴力）为轴力）（为相对扭转角，为相对扭转角，T 为扭矩）为扭矩）（为为转角，转角，M 为为弯矩）弯矩）由由 Ve=W,可得以下变形能表达

3、式可得以下变形能表达式（2）扭转杆内的变形能）扭转杆内的变形能（1）轴向拉压杆内的变形能）轴向拉压杆内的变形能lNEAdxxFEAlFlPV022Ne2)(221l0p22e2d)(221GIxxTGIlTmVPlEIxxMEIlMmV022e2d)(221（3）弯曲梁内的变形能（略去剪力的影响）弯曲梁内的变形能（略去剪力的影响）llplEIxxMGIxxTEAxxFV2d)(2d)(2d)(222Ne（3）组合变形的变形能组合变形的变形能lP2、非线性弹性体，通过、非线性弹性体，通过 比能比能 求应变能求应变能 Po 1P1拉杆的材料是非线性弹性体，当外力由拉杆的材料是非线性弹性体，当外力由

4、 0 逐渐增大到逐渐增大到 P1 时，时，杆端位移就由杆端位移就由 0 逐渐增到逐渐增到 1。ld P 10dPW10edPWV外力作功为外力作功为P Po 1P1l从拉杆中取出一个各边为从拉杆中取出一个各边为 单位长单位长 的单元体，的单元体，l=1=作用在单元体上，下两表面的力为作用在单元体上，下两表面的力为P=1 1=其伸长量其伸长量ppP 1 1d 10d该该单元体上外力作功为单元体上外力作功为 l=P=pp单位体积的应变能即单位体积的应变能即 比能比能 为为10dve 1 1d pp若取单元体的边长为若取单元体的边长为 dx、dy、dz，则该单元体的应变能为，则该单元体的应变能为dV

5、e=ve dx dy dz令令 dx dy dz=dV则整个拉杆内的应变能为则整个拉杆内的应变能为VvVVeeedd拉杆整个体积内各点的拉杆整个体积内各点的 ve为常量，故有为常量，故有AlvVvVvVeeed扭转杆扭转杆EEdve221212101 拉压杆拉压杆 在在 范围内范围内lEAEAlPWVPe2221212111E G 10dPW10dveGGdve221212101ldmpPGIlmlVGIT222e2解解：法法 1 运用扭转变形能公式运用扭转变形能公式例例 题：题：在线弹性在线弹性 范围内工作的杆，范围内工作的杆，已知：已知：m、G、l、d 。求：在加载过程中所积蓄的应变能求：

6、在加载过程中所积蓄的应变能 Ve。法法 2 由由 比能比能 求应变能求应变能 pIm GImPeGv222222ldmGve22dxdAGdxdAdVvAlPAPleImGIm)(2)(V222222e2ldmPlpGIlmdxGIm2222 例题例题：已知：图示抗弯刚度为已知：图示抗弯刚度为EI的简支梁的简支梁，受均布荷载受均布荷载 q作用。求：应变能作用。求：应变能qABly解：解：法法 1 运用功能原理求应变能运用功能原理求应变能)2(2444334lxlxlxEIqlw挠曲线方程挠曲线方程xdxqABlyqdxwlwqdxW0)(21EIlqdxlxlxlxEIlqWVle240)2(

7、242524433042xdxqABlyqdxw22)(2qxxqlxM EIlqEIdxxMVle2402522法法 2 运用弯曲变形能公式运用弯曲变形能公式qABlyx例例 题题：水平杆系如图所示水平杆系如图所示，两杆的长度均为，两杆的长度均为 l,横截面面积横截面面积 为为A，弹性模量为，弹性模量为E，且均为线弹性。试计算在，且均为线弹性。试计算在P1作用下的作用下的应变能。应变能。lla a1 1Ad da a1 1P1d121PWVe解：外力作用下，两杆件伸长，沿解：外力作用下，两杆件伸长，沿 P1 方向下移方向下移，则则lla a1 1Ad da a1 1P1？由由 A点平衡得点平

8、衡得 daa22sin2lPtgPPFNlFPNd2lla a1 1Ad da a1 1P1FNFNPlFPNd2lla a1 1Ad da a1 1P1FNFNPlllllld22222EAlFlN略去高阶微量略去高阶微量)(2EAFNd d)(2NN2)(EAlFlEAlFlla a1 1Ad da a1 1P1FNFNPd d)(22EAlFlNdEAFlN222dEAl)(3dlFPNd2P 与与 d d 成非线性关系成非线性关系lFPNd2EAlP3 d dPdEAlP)(3 EAlEAPWVle34103041dd11)(dddddd由于由于 P 与与的非线性关系的非线性关系,求能

9、量需用积分。求能量需用积分。EAlP3 d dPdlFPNd2d d1141P 二二.余能余能1、材料（拉杆）材料（拉杆）1PO1 P 1 O1P PdP10 10Pd余功公式余功公式 PdPWC10O P=矩形面积矩形面积+P 1P1 dP O PP 1P1 dP dPPWVCC10余能公式余能公式 Od单位体积的余能单位体积的余能VVcCvVd10dvC1 12、线弹性材料的几何线性问题、线弹性材料的几何线性问题VVCecvv 1PO1 PdP 1 OdP B BD D1,1 nkn1P1 1 o例题例题：已知两杆的长度均为已知两杆的长度均为 l、横截面面积均为、横截面面积均为A、材料、材

10、料单轴拉伸时的单轴拉伸时的 曲线如图所示。曲线如图所示。求：荷载求：荷载 P1作用下的余能作用下的余能 Vc VvVccd1 B BD D1,1 nkn1P1 o解解：本题已知材料应力应变间的关系，故先求单位体积的余能。本题已知材料应力应变间的关系，故先求单位体积的余能。dCv)(kn)1(110011)(nddvKknnnC由于轴向拉伸杆内各点的应力状态相同，因此由于轴向拉伸杆内各点的应力状态相同，因此)cos()2(1)1()2(d1aPkAvvVnnnCCCnllAV)cos2(1)1(11aAPknnCnvAFN11acos211PFNB BD D1P)1(11nvKnnC例题例题：拉

11、杆在线弹性范围内工作。抗拉刚度：拉杆在线弹性范围内工作。抗拉刚度EI，受到，受到 P1，P2两个力作用。两个力作用。(1)若先在若先在B截面加截面加P1，然后在，然后在C截面加截面加P2；(2)若先在若先在C截面加截面加P2，然后，然后B截面加截面加P1。分别计算两种加力方法拉杆的应变能。分别计算两种加力方法拉杆的应变能。ABCabP1P2(1)先在先在 B 截面加截面加 P1，然后在，然后在 C 截面加截面加 P2ABCabP1 在在 B 截面加截面加 P1，B截面的位移为截面的位移为EAaPB11 外力作功为外力作功为EAaPBPW22121111 再在再在C上加上加 P2P2C截面的截面

12、的位移为位移为EAbaPc)(22P2 作功为作功为EAbaPPWc2)(2122222 d 在加在加P2 后，后，B截面又有位移截面又有位移EAaPB22 在加在加 P2 过程中过程中 P1 作功（作功（）EAaPPBPW21213 d所以应变能为所以应变能为BPcPBPWVeddd2122112121EAaPPEAbaPEAaP21222122 )(ABCabP1P2ABCabP1P2(2)若先在若先在C截面加截面加P2，然后，然后B截面加截面加P1。在在C截面加截面加P2 后，后，P2 作功作功EAbaP222)(在在B截面加截面加P1后，后，P1作功作功EAaP221ABCabP1P2

13、 加加 P1引起引起 C 截面的位移截面的位移EAaP1在加在加P1 过程中过程中P2作功（作功（）EAaPP21BPcPBPWVeddd2122112121EAaPPEAbaPEAaP21222122 )(注意：注意：(1)计算外力作功时，注意变力作功与常力作功的计算外力作功时，注意变力作功与常力作功的 区别。区别。(2)应变能应变能 只与外力的最终值有关，而与加载过只与外力的最终值有关，而与加载过 程和加载次序无关。程和加载次序无关。14-3 卡式定理卡式定理1P2P3PnP1d d2d d3d dnd设梁上有设梁上有n个荷载个荷载 P1，P2，Pn（简单加载简单加载）与之相应的位移为与之

14、相应的位移为 d d1，d d2，d dn一、卡式第一定理一、卡式第一定理 ABiniiedPWVidd 10梁内应变能在数值上就等于外力功梁内应变能在数值上就等于外力功外力作总功等于每个集中力在加载过程中所作功的总和外力作总功等于每个集中力在加载过程中所作功的总和上式表示梁内应变能上式表示梁内应变能 Ve 是其上所有荷载相应的是其上所有荷载相应的最后位移最后位移 d di 的函数的函数1P2P3PnP1d d2d d3d dndAB假设与第假设与第 i 个荷载相应的位移有一微小的增量个荷载相应的位移有一微小的增量 dd di梁内应变能的变化为梁内应变能的变化为dddiieeVdVieVd为应

15、变能对于位移为应变能对于位移 d di 的变化率的变化率1P2P3PnP1d d2d d3d dndAB只有与只有与 Pi 相应的位移有一微小增量，而与其余各荷载相应的相应的位移有一微小增量，而与其余各荷载相应的位移保持不变。位移保持不变。只有只有 Pi 在微小位移在微小位移 dd di 上作了外力功上作了外力功梁外力功的变化为梁外力功的变化为ddPdWii1P2P3PnP1d d2d d3d dndABddPdWii iieeVVdddd外力功在数值上等于应变能外力功在数值上等于应变能dWdeV得到得到ieidVP即即 卡氏第一定理卡氏第一定理1P2P3PnP1d d2d d3d dndAB

16、一个力一个力一个力偶一个力偶一对力一对力一对力偶一对力偶一个一个线位移线位移一个一个角位移角位移相对线位移相对线位移相对角位移相对角位移d di 为为 Pi 的作用点的作用点相应于相应于 Pi 的位移。的位移。Pi 为广义力，为广义力，d di 为与为与Pi相应的相应的广义广义位移。位移。ieidVP例例 题题：已知图示悬臂梁，抗弯刚度：已知图示悬臂梁，抗弯刚度 EI，自由端转角，自由端转角 求：自由端力偶求：自由端力偶 m。eVml解：解：l 梁内任一点的线应变为梁内任一点的线应变为y 由图可得由图可得mlylyy梁内任一点的比能为梁内任一点的比能为2222221lEyEve梁的应变能为梁的

17、应变能为l meVm lAeeexAvvVd)d(dVVlAxAylEd)d21(222221lEI lEIVmel meVm梁的应变能为梁的应变能为例题例题：已知平面桁架受力如图。两杆的横截面面积均为已知平面桁架受力如图。两杆的横截面面积均为A，两杆的两杆的 E 相同，且均处于线弹性范围内。求：相同，且均处于线弹性范围内。求：B点水平位移与点水平位移与铅垂位移。铅垂位移。ABClP45ABClP)(a451AB 1012245cosBC B1ABC)(b若若 B只发生水平位移只发生水平位移 1解：解：ABClP)(a45ABC)(c若若 B 只发生铅垂位移只发生铅垂位移 20 ABd2022

18、245sinBC B2)2121(2222222121212lEAlEAlEAViied桁架的应变能桁架的应变能当水平位移与铅垂位移同时发生时当水平位移与铅垂位移同时发生时1 ABd)(2221 BCdABC)(cB2 lEAV22eB1ABC)(b由卡式第一定理由卡式第一定理01eVPVe2)2121(2222222121212lEAlEAlEAViiedABClP)(a45EAPl 1)221(2 APl1P2P3PnP1d d2d d3d dnd设梁上有设梁上有n个荷载个荷载 P1，P2，Pn（简单加载）简单加载）与之相应的位移为与之相应的位移为 d d1，d d2，d dn二、卡氏第二

19、定理二、卡氏第二定理AB niPiiCCiPWV10dd梁内余能为梁内余能为外力的总余功等与每个集中荷载余功之和外力的总余功等与每个集中荷载余功之和PWViPii0iCiCdd每个集中荷载余能每个集中荷载余能假设第假设第 i 个荷载有一微小增量个荷载有一微小增量 dPi，其余荷载及所有荷载，其余荷载及所有荷载的位移均维持常量不变，外力总余功的相应改变量为的位移均维持常量不变，外力总余功的相应改变量为PWiiCdddPWiiCddd由于由于 Pi 改变了改变了dPi，梁内余能的改变量为，梁内余能的改变量为PVViCCdPdi外力余功在数值上等于弹性杆的余能外力余功在数值上等于弹性杆的余能WVCC

20、dd则有则有PVCiid上式为上式为杆件或杆系中，应变能与余能在数值上相等杆件或杆系中，应变能与余能在数值上相等CVVieiPVd则有则有PVCiid上式为上式为iciPVdieVPdi(1)卡氏第一定理与余能定理卡氏第一定理与余能定理两定理均适用于两定理均适用于 线性线性 或或 非线性非线性 弹性杆件及杆系。弹性杆件及杆系。ieiPVdiciPVd(2)卡氏第二定理与余能定理卡氏第二定理与余能定理 卡氏第二定理只适用于卡氏第二定理只适用于 线性线性 弹性体。弹性体。(3)Pi 为广义力，为广义力，d di 为相应的位移。为相应的位移。一个力一个力一个力偶一个力偶一对力一对力一对力偶一对力偶一

21、个一个线位移线位移一个一个角位移角位移相对线位移相对线位移相对角位移相对角位移(4)(4)卡氏第二定理的应用卡氏第二定理的应用 轴向拉、压轴向拉、压EAxxFPPVNiiei2d)(2d 扭转扭转p22d)(GIxxTPPViieidxPxFEAxFiNNd)()(dxxTxTPGIiP)()(ieiFVd 弯曲弯曲 平面桁架平面桁架njeEAlFV1j2Nj2EIxxMPPViiei2d)(2ddxxMEIxMPi)()(iNi1jNjPFEAlFnjieiPVdieiFVd 组合变形组合变形ieiFVd2d)(2d)(2d)(222illplNEIxxMGIxxTEAxxFFxFxFEAx

22、Fd)()(iNNxFxTGIxTid)()(pxFxMEIxMid)()(ieiFVd 例题例题：已知：如图所示悬臂梁受力情况，抗弯刚度已知：如图所示悬臂梁受力情况，抗弯刚度 EI 求：自由端的挠度（用卡氏第二定理）求：自由端的挠度（用卡氏第二定理）ABxyloqxlqo )6(30PxxlqxM 解：因自由端没有与所求位移对应的集中力，解：因自由端没有与所求位移对应的集中力，需加一虚设外力需加一虚设外力 P 由卡氏第二定理由卡氏第二定理PABxyxloqxlqo )(PxxlqxM 306PABxyxloqxlqodxxllql)(0306)(EIlq3040 xPxM )(xPxMEIx

23、MPVfPleAAd)()(00ddxxlxqPxEIPl)()6(10030 例题例题：外伸梁受力如图所示，已知弹性模量外伸梁受力如图所示，已知弹性模量EI。梁材料为。梁材料为 线弹性体。求梁线弹性体。求梁C截面的挠度和截面的挠度和A截面的转角。截面的转角。ABCPmlaFA解：解：lPalmFAx1x2ABCPmlaFAlPalmFAAB：mxlPalmxM 111)()(1111 lxmxM)(xlaPxM111 )(BC：PxxM222 )(022 mxM)(xPxM 222)(x1x2ABCPmlaFAAB：mxlPalmxM 111)()(xlaPxM111 )(BC：PxxM22

24、2 )(xPxM 222)(dxPxMEIxMdxPxMEIxMfalC202222111011 )()()()()(363132PamlaPlaEI )(x1x2ABCPmlaFAAB：mxlPalmxM 111)()(dxmxMEIxMdxmxMEIxMalA202222111011 )()()()()(631PlamlEI ()1111 lxmxM)(BC：PxxM222 )(022 mxM)(例题例题：外伸梁受力如图所示，已知弹性模量外伸梁受力如图所示，已知弹性模量EI。梁材料。梁材料 为线弹性体。求梁为线弹性体。求梁C截面和截面和D截面的挠度。截面的挠度。0FA解：解：PFB2ABC

25、PaPDaaFBx1x2x3法一法一:AC：01)(xM01 PxM)(CB：)()(axPxM 22)()(axPxM 22BD：PxxM 33)(xPxM 33)(ABCPaPDaaFBx1x2x3AC：01)(xM01 PxM)(CB：)()(axPxM 22)()(axPxM 22BD：PxxM 33)(xPxM 33)(ABCPaPDaaFBdxaxaxPEIffaaDC2222)()(1EIPadxxPxEIa32133303 )(法二法二:AC：xPPxM12112 )(2111xPxM )(P1P22321PPFB221PPFA2121xPxM )(ABCPaPDaaFBFAx

26、1CB：)()(axPxPPxM 21221222222xPxM )(P1P2axPxM 2212)(x2ABCPaPDaaFBFABD：xPxM233 )(xPxM 323)(P1P2013 PxM)(ABCPaPDaaFBFAx3xPPxM12112 )()()(axPxPPxM 2122122xPxM233 )(axPxM 2212)(013 PxM)(dxPxMEIxMdxPxMEIxMfaaaC2122211101)()()()()(12)()(331303 EIPadxPxMEIxMaPPP 21ABCPaPDaaFBFA2111xPxM )(P1P2ABCPaPDaaFBxPPx

27、M12112 )()()(axPxPPxM 2122122xPxM233 )(FAdxPxMEIxMdxPxMEIxMfaaaD2222212101)()()()()(129)()(332303 EIPadxPxMEIxMa2222xPxM )(xPxM 323)(2121xPxM )(PPP 21P1P2ABCPaPDaaP1P2例题：例题：已知开口圆环受力如图，材料为线弹性，抗弯刚度已知开口圆环受力如图，材料为线弹性，抗弯刚度EIEI 求：圆环的张开位移（不计剪力及轴力的影响）。求：圆环的张开位移（不计剪力及轴力的影响）。例例14-1214-12RPP PVeRPP)cos1(R cos

28、1PRM使曲率减小为正使曲率减小为正解：由卡氏第二定理解：由卡氏第二定理 RPP)cos1(R cos 1PRMdsPMMEIP )()(1U 20)cos1()cos1(1RdRPREI)(EIPR33qABCll例题例题：抗弯刚度均为抗弯刚度均为 EI 的静定组合梁的静定组合梁 ABC，受力如，受力如图所示。梁材料为线弹性体，不计剪应变对梁变形的影响。图所示。梁材料为线弹性体，不计剪应变对梁变形的影响。用卡氏第二定理求梁中间铰用卡氏第二定理求梁中间铰 B 两侧截面的相对转角。两侧截面的相对转角。qABClllmqlB lmB222qlmB mBmBqABCll解：在解：在 B 两侧虚设一对

29、外力偶。约束反力如图所示两侧虚设一对外力偶。约束反力如图所示qABClllmqlB lmB222qlmB mBmBxxAB：22222qxqlmxlmqlxMBB )()()(BC:xlmxMB )(2 lxmxMB)(lxmxMB )(AB:22222qxqlmxlmqlxMBB )()()(BC:xlmxMB )(2)(lxmxMBlxmxMB )(dxmxMxMEImBBmlmmBBBB)()(1U00dxlxdxlxqxqlqlxEIll)(0)2)(22(10202 EIql2473()例题例题：刚架结构如图所示刚架结构如图所示 。弹性模量。弹性模量EI已知。材料为线已知。材料为线弹

30、性。不考虑轴力和剪力的影响，计算弹性。不考虑轴力和剪力的影响，计算C截面的转角和截面的转角和D截面截面的水平位移。的水平位移。ABCDaa2am解解 在在C截面虚设一力偶截面虚设一力偶 mc,在在D截面虚设一水平力截面虚设一水平力P。mcPRHV)(mmaPVRC 21PH ABCDaa2ammcPRHVxCD:xmmaPxMc)()(21xPxM )(axmxMc2 )()(mmaPVRC 21PH ABCDaa2ammcPRHV)(mmaPVRC 21PH xCB:PxmammaPxMcc 221)()(xaPxM 2)(0 mxMc)(ABCDaa2ammcPRHV)(mmaPVRC 2

31、1PH xxPxM )(0 mxMc)(AB:M(x)=PxCD:xmmaPxMc)()(21xPxM )(CB:PxmammaPxMcc 221)()(xaPxM 2)(AB:M(x)=PxxPxM )(ABCDaa2ammcPRHVPx U0 mc0 P aadxxamxdxamxEI020221)()(617002 aEImaxdxCD:xmmaPxMc)()(21axmxMc2 )(CB:PxmammaPxMcc 221)()(0 mxMc)(AB:M(x)=Px0 mxMc)(mcc U0 mc0 P aadxmdxaxamxEI0200221 aEImadx03200()ABCDa

32、a2ammcP例题例题：各杆抗弯刚度均为各杆抗弯刚度均为 EI 的的Z字形平面刚架受集字形平面刚架受集中力中力 P 作用。杆的材料是线弹性的，不计剪力和轴力对变作用。杆的材料是线弹性的，不计剪力和轴力对变形的影响。求端面形的影响。求端面 A的线位移和转角。的线位移和转角。ABCDP3a4a ABCDP3a4a PxmACABDP 解：在解：在 A端虚设水平力端虚设水平力 Px 和外力偶和外力偶 mA。PxmAABCDP xAB：mPxxMA )(0 PxMx)(xPxM )(1 mxMA)(PxmAABCDP BC：mxaPxPxMAx )cos(sin)(3sin)(xPxMx cos)(x

33、aPxM 31 mxMA)(3a4axPxmAABCDP xCD：mPxaPxMAx 4)(aPxMx4 )(xPxM )(1 mxMA)(4aPxmAABCDP AB：mPxxMA )(0 PxMx)(BC：mxaPxPxMAx )cos(sin)(3sin)(xPxMx CD：mPxaPxMAx 4)(aPxMx4 )(Pxx U0 Px0 mAdxxxaPEIa)sin)(cos(5031)()(aEIPadxaPxEI3032841AB：mPxxMA )(BC：mxaPxPxMAx )cos(sin)(3CD：mPxaPxMAx 4)(xPxM )(cos)(xaPxM 3xPxM )

34、(PVeyd0 Px0 mAdxxaPEIa 50231)cos()()(aEIPadxxPxEI303331 adxxPxEI301)(PxmAABCDP AB：mPxxMA )(BC：mxaPxPxMAx )cos(sin)(3CD：mPxaPxMAx 4)(1 mxMA)(1 mxMA)(1 mxMA)(AeAmV0 Px0 mAdxxaPEIa 5031)cos(aEIPadxPxEI30223311)(adxPxEI3011)(（）PxmAABCDP 例题例题：各杆的抗拉（压）刚度均为各杆的抗拉（压）刚度均为 EA的正方形平面桁架受的正方形平面桁架受水平力水平力 P作用。杆的材料为线

35、弹性。求结点作用。杆的材料为线弹性。求结点C的水平和铅垂的水平和铅垂位移。位移。llABcDPQllABcDPQ杆件杆件NFiPFiNQNFiNFiQ=0ABBCCDDAAC0000-（P+Q）-1-1-P00000000P22P20PFlFiinjjjieiNEANPV1)(dQ=0Q=0)(.)()(EAPlEAlPEAlPx8332221llABcDPQ)(83.32)2)(2()1)(EAPlEAlPEAlPxd)()(EAPlEAlPy1例题例题：求：求A截面的铅垂位移。略去剪力影响截面的铅垂位移。略去剪力影响ABCDPll/22l/3EAEIABCDPll/22l/3EAEI解：解

36、：AB为弯曲变形为弯曲变形CD为轴向拉伸为轴向拉伸取取AB为研究对象为研究对象ACBFN230NPFmBVVABCDeVPPPVVfABCDeAVABCDPll/22l/3EAEIPPPABCDeAfVVV23NPF PxMEIxMPFEAlFCDN)()(N23NPFCD杆杆ACBFNABCDPll/22l/3EAEIAB梁梁AC：xPxxM )(xPxM )(CB:x)(2)2()(NlxPxFxlPxM)(21)(lxPxM PACBFNABCDPll/22l/3EAEIAB梁梁PxxM )(xxxM )()(2)2()(lxPNxxlPxM )(21)(lxPxM 23NPF 23NP

37、FCD杆杆)(4)(12332232002dxlxPdxxPxEIEAlPfllA EIPlEAPl8233 PxMEIxMPFEAlFfCDNA)()(N例题例题：圆截面杆：圆截面杆ABC，（，（ABC=900）位于水平平面内，已知）位于水平平面内，已知杆截面直径杆截面直径 d 及材料的弹性常数及材料的弹性常数 E,G。求。求C 截面处的铅垂位移截面处的铅垂位移。不计剪力的影响。不计剪力的影响。ABCllqABCllqBC：弯曲变形弯曲变形x2)(2qxPxxM PxPxM )(ABlClqAB为为弯曲与扭转的组合变形弯曲与扭转的组合变形xPABlQmqlPQ 22qlPlm （扭转变形）（

38、扭转变形）（弯曲变形）（弯曲变形）ABlClqxxqlPQxxM)()(PxPxM )(ABlQmxqlPQ 22qlPlm 2)(2qlPlmxT lPxT )(xqlPQxxM)()(xPxM )(ABlClqxPx2)(2qlPlmxT lPxT )(BC：弯曲变形弯曲变形2)(2qxPxxM xPxM )(AB：弯扭组合变形弯扭组合变形dxPxMEIxMl )()(0)()()()(0dxPxTGIxTdxPxMEIxMPl PVeCfP=0ABlClqxPxdxPxMEIxMl )()(0)()()()(0dxPxTGIxTdxPxMEIxMPl dxlqlGIdxxqlxEIdxx

39、qxEIlPll 02002211)(2(1)(2241144 GIqlEIqlP644dI324dIPPVeCfP=0例题例题：图示刚架各段的抗弯刚度均为：图示刚架各段的抗弯刚度均为 EI。不计轴力和剪力的。不计轴力和剪力的影响。用卡氏第二定理求截面影响。用卡氏第二定理求截面 D 的水平位移的水平位移 D 和转角和转角 D。ABCDPPll2 l解：在点虚设一力偶矩解：在点虚设一力偶矩 mmCD：弯曲变形：弯曲变形mPxxM)(xPxM)(1)(mxMP1ABCDPPll2 lxABCPP1ABCP将力将力 P 向向C 简化得：简化得：力力 P（产生拉伸变形）（产生拉伸变形）将将 m 向向C

40、 简化得：简化得：m（产生弯曲变形）（产生弯曲变形）2Plm力偶矩力偶矩 2Pl（产生弯曲变形）（产生弯曲变形）DPll2 lmABCPP1ABCABCPP1ABCP2PlmDPll2 lmABCPP1ABC 产生产生 拉伸拉伸 与弯曲与弯曲 的组合变形。的组合变形。横截面上的内力有轴力和弯矩。横截面上的内力有轴力和弯矩。但是轴力不计，因此横截面上的内力只计但是轴力不计，因此横截面上的内力只计。ABCDPPll2 lmxP1P2PlmxmPlxM 2)(lPxM2)(1)(mxMBC段：段：BA段：段：xxPmPlxM12)(lPxM2)(1)(mxMABCDPPll2 lmxP1P2Plmx

41、mPlxM 2)(lPxM2)(xxPmPlxM12)(lPxM2)(mPxxM)(xPxM)(EIPldxlxPPldxlPldxxPxEIlll3352)2(221320001m=0P1=PPVfexABCDPPll2 lmxP1P2PlmxmPlxM 2)(1)(mxMxxPmPlxM12)(1)(mxMmPxxM)(1)(mxMEIPldxxPPldxPldxPxEIlll2131)2(1211220001m=0P1=PmVeD3-4 用能量法解超静定问题用能量法解超静定问题例题例题：已知两杆抗弯刚度均为已知两杆抗弯刚度均为EI。不计剪力和轴力。不计剪力和轴力对刚架变形的影响。求支座反

42、力。对刚架变形的影响。求支座反力。q=10KN/m，m=50KN.m。ABCDa=50mm2a2aqmXABCDa=50mm2a2aqmABCDa=50mm2a2aqmXABCDa=50mm2a2aqm解：变形相容条件是在解：变形相容条件是在 B 点处的挠度为零。点处的挠度为零。0 fBxXxMxMEIXVeBfd)()(1XABCDa=50mm2a2aqmM(x)=XxxXxM )(xxM(x)=Xx-mxXxM )(yCA:22qymXayM )(aXyM )(BD：DC:BD：M(x)=Xx DC:M(x)=Xx-mxXxM )(CA:22qymXayM )(aXyM )(xXxM )(

43、20202021aaaaBadyqymXaxdxmXxxdxXxEIf)()(kN56.16)433(3212qamaXXABCDa=50mm2a2aqmxxykN56.16)433(3212qamaX)(kN50AH)(kN56.16ARkN.m2.92Am()XABCDa=50mm2a2aqmxxymARAHAACqaaB例题例题 ：各杆的抗弯刚度均为：各杆的抗弯刚度均为 EI，且轴力不计。求支座反力。，且轴力不计。求支座反力。解：解：这是三次超静定问题。变形相容条件为这是三次超静定问题。变形相容条件为0HVeBxd0RVeByd0mVeBaACqaBRHmBC：mRxxM )(0 HxM

44、)(xRxM )(1 mxM)(CA：22qxHxmRaxM )(aRxM )(xHxM )(1 mxM)(ACqaBRHmxxaBC：mRxxM )(xRxM )(CA：22qxHxmRaxM )(aRxM )(021002 aaByadxqxHxmRaxdxmRxEI)()(ACqaBxxRHmaBC：mRxxM )(0 HxM)(CA：22qxHxmRaxM )(xHxM )(0201002 aaBxxdxqxHxmRadxmRxEI)()(RHmACqaBxxaBC：mRxxM )(1 mxM)(CA：22qxHxmRaxM )(1 mxM)(01211002 aaBdxqxHxmRa

45、dxmRxEI)()(RHmACqaBxxa01211002 aaBdxqxHxmRadxmRxEI)()(0201002 aaBxxdxqxHxmRadxmRxEI)()(021002 aaByadxqxHxmRaxdxmRxEI)()(RHmACqaBxxa)(16qaR167qaH 482qam RHmACqaBxxa例题例题：两端固定半圆环在对称截面处受集中力作用，两端固定半圆环在对称截面处受集中力作用，环轴线的半径为环轴线的半径为R，抗弯刚度为，抗弯刚度为EI，不计剪力和轴力对变，不计剪力和轴力对变形的影响，求对称截面上的内力。形的影响，求对称截面上的内力。PR2PX3解：这是三次超

46、静定问题。取两个解：这是三次超静定问题。取两个1/4圆环为基本静定系。圆环为基本静定系。轴力：轴力：X1弯矩：弯矩：X2剪力：剪力：X3X1X2PR与与 X1，X2，X3 相对应的广义位移相对应的广义位移依次为两切开截面的相对分开量，依次为两切开截面的相对分开量，相对转角，相错动开量。分别用相对转角，相错动开量。分别用 D1，D2，D3 表示。表示。变形相容条件为变形相容条件为02 D03 D01 D补充方程为补充方程为2PX3X2X1011XVDe022XVDe033XVDeX3X3X12P X2X3X3由结构和荷载的对称性可知，原超静定半圆环在对称截面由结构和荷载的对称性可知，原超静定半圆

47、环在对称截面上的反对称力上的反对称力 X3 必等于零。必等于零。011XVDe022XVDe033XVDeX3X3X12P XRXRPM2112 )cos(sin)()cos()(11RXM12 XM)(0)()(2)(21220220)(dMMEIRRdEIXVXXMiiieX2X3X3X3XRXRPM2112 )cos(sin)()cos()(11RXM011222120 dRXRXRPEIR)cos()cos(sinX3X12P X2X3X304)12()243(21 PRXRXX3XRXRPM2112 )cos(sin)(X3X12P X2X3X312 XM)(011222120 dXRXRPRIR)cos(sin022)12(21 PRXRXPX8421 PRX83222 )(03 X04)12()243(21 PRXRX022)12(21 PRXRXX3X3X12P X2X3X3