材料力学--弯曲正应力及其强度条件课件.ppt

1、一一.工程中以弯曲变形为主的杆件称为工程中以弯曲变形为主的杆件称为纵向对称面：纵向对称面：梁的轴线与横截面的对称轴所构成的平梁的轴线与横截面的对称轴所构成的平面面对称弯曲对称弯曲：当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的曲线。内时，梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的曲线。纯纯 弯弯 曲曲PPSFMaal=0=constSFM，纯弯曲纯弯曲：FQ=0,M=const 00SFM，横力弯曲横力弯曲：FQ0,Mconst PPCDABPPPaQdAdAMdAdAdSAF MSFdSAFdAM在横截面上，只

2、有法向内力元素在横截面上，只有法向内力元素dN=dAdN=dA才能合成才能合成弯矩弯矩M M，只有切向内力元素，只有切向内力元素d =dAd =dA才能合成剪力才能合成剪力SFSF纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力从三方面考虑：从三方面考虑：变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系静力学关系静力学关系1 1、变形几何关系、变形几何关系 aabbmnmnmmmm(1)aa(1)aa、bbbb弯成弧线，弯成弧线，aaaa缩短，缩短，bbbb伸长伸长(2)mm(2)mm、nnnn变形后仍保持为直线，且仍与变为弧变形后仍保持为直线，且仍与变为弧 线的线的aaaa，bbbb垂直垂直(3

3、)(3)部分纵向线段缩短，另一部分纵向线段伸长部分纵向线段缩短，另一部分纵向线段伸长。梁在纯弯曲时的梁在纯弯曲时的平面假设平面假设：梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。轴旋转了一个角度。观察到以下变形现象观察到以下变形现象:再作单向受力假设：假设各纵向纤维之间再作单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。或受压的状态。推论：推论：梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，梁在弯曲变形时，

4、上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵保持原来的长度，这一纵向纤维层称为向纤维层称为中性层中性层。中性层与横截面的交线称为中性层与横截面的交线称为中性轴中性轴中性层中性层中性轴中性轴中性层中性层 ()y dddyzdxydyy2、物理关系、物理关系 EEy 正应力与它到中性层的距离成正比，正应力与它到中性层的距离成正比，中性层上的中性层上的正应力为零正应力为零(中性层中性层y=0)上式只能用于定性分析，而不能用于定量计算：上式只能用于定性分析，而不能用于定量计算：1）由于中性轴由

5、于中性轴z z的位置未确定，故的位置未确定，故y y无法标定；无法标定；2 2）式中）式中 未知未知.（若已知（若已知M M，与与M M有何关系？）有何关系？）3、静力学关系、静力学关系dAdNAFAMzAyAdMyAzAd 0 0 M设中性轴为设中性轴为zd0NAFAEyAAd00dAAyE0zASydA必过截面形心中性轴Zyz横截面对横截面对Z轴的静矩轴的静矩MMzAyAd00dAAzydAEAyEz0yzAIzydAMyAMzAdy EyAMAd1zMEI令：AzdAyI2截面对截面对yz轴的惯性积轴的惯性积截面对截面对z轴的惯性矩轴的惯性矩由于由于y为对称轴为对称轴,上式自然满足。上式

6、自然满足。1MEIzM yIz正应力计算公式：正应力计算公式：中性轴过截面形心中性轴过截面形心中性层的曲率公式：中性层的曲率公式：1）沿）沿y轴线性分布，同一轴线性分布，同一坐标坐标y处，正应力相等。中处，正应力相等。中性轴上正应力为零。性轴上正应力为零。2）中性轴将截面分为受）中性轴将截面分为受拉、受压两个区域。拉、受压两个区域。3）最大正应力发生在距）最大正应力发生在距中性轴最远处。中性轴最远处。1maxZM yIyyy12max当中性轴是横截面的对称轴时：当中性轴是横截面的对称轴时：2maxZM yImaxmaxmaxMWZmaxmaxM yIZ横截面上的最大正应力：横截面上的最大正应力

7、：WzWz 抗弯截面模量抗弯截面模量WIyzzm ax 公式适用条件：公式适用条件：1 1）符合平面弯曲条件）符合平面弯曲条件(平面假设，横截面具有一对称轴）平面假设，横截面具有一对称轴）2 2）p p(材料服从胡克定律）材料服从胡克定律）对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。使横截面发生翘曲，不再保持为平面。弹性力学精确分析结果指出：当梁的跨高比大于弹性力学精确分析结果指出：当梁的跨高比大于5时，剪应时，剪应力和挤压应力对弯曲正应力的影响甚小，可以忽略不计。因此力和挤压应力对弯曲正应力的影响甚小，

8、可以忽略不计。因此由纯弯曲梁导出的正应力计算公式，仍可以应用于横力弯曲的由纯弯曲梁导出的正应力计算公式，仍可以应用于横力弯曲的梁中，误差不超过梁中，误差不超过1%。横力弯曲时，弯矩不再是常量。横力弯曲时，弯矩不再是常量。()zM xyI圆环：圆环：Dyzd44446464(1)64yzzzIIIIDdD大小Dd其中复复习习IbhZ312IdZ4644444()(1)6464ZDdDI26ZbhW 332ZdW34(1)32ZDW例例1111：图示工字形截面外伸梁受均布荷载作图示工字形截面外伸梁受均布荷载作用，试求当最大正应力为最小时的支座位置。用，试求当最大正应力为最小时的支座位置。alaq

9、解：解：作弯矩图作弯矩图282qlqla22qa22qa支座位置支座位置 直接影响支座直接影响支座截面和跨中截面上的弯矩截面和跨中截面上的弯矩值。当中性轴为截面的对值。当中性轴为截面的对称轴，最大拉、压应力相称轴，最大拉、压应力相等时，只有支座处截面与等时，只有支座处截面与跨中截面之弯矩的绝对值跨中截面之弯矩的绝对值相等，才能使该梁的最大相等，才能使该梁的最大弯矩的绝对值为最小，从弯矩的绝对值为最小，从而使其最大正应力为最小。而使其最大正应力为最小。22822qlqlaqa取有效值取有效值0.207al二二.梁的正应力梁的正应力 max等直梁等直梁 maxmaxzMW 对于铸铁等脆性材料，抗拉

10、和抗压能力不同，所以有许用对于铸铁等脆性材料，抗拉和抗压能力不同，所以有许用弯曲拉应力和许用弯曲压应力两个数值。弯曲拉应力和许用弯曲压应力两个数值。maxmax请注意：请注意：梁的最大工作拉应梁的最大工作拉应力和最大工作压应力有时并不力和最大工作压应力有时并不发生在同一截面上。发生在同一截面上。一般情况下，一般情况下，许用弯曲正应力许用弯曲正应力比比许用拉许用拉(压压)应力应力略高。因为弯曲时除截面外边缘达到最大正应力略高。因为弯曲时除截面外边缘达到最大正应力外，其余各处应力较小。而轴向拉外，其余各处应力较小。而轴向拉(压压)时，截面上时，截面上的应力是均匀分布的。的应力是均匀分布的。利用强度

11、条件可以进行三方面的强度计算：利用强度条件可以进行三方面的强度计算：1 1、已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核、已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核梁的强度。梁的强度。2 2、已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的、已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的截面尺寸。截面尺寸。3 3、已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷。、已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷。例例1212：两矩形截面梁，尺寸和材料的许两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但放置如图用应力均相等，但放置如图(a)(a)、(b)(b)。按。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比比

12、P P1 1P P2 2？l解：解：maxmax111126MWPlbhzmaxmax222226MWP lhbz由得maxmax:12PPhb12例例1313：矩形截面梁当横截面的高度增加一倍，宽度矩形截面梁当横截面的高度增加一倍，宽度减小一半时，从正应力强度条件考虑，该梁减小一半时，从正应力强度条件考虑，该梁的承载能力将是原来的多少倍？的承载能力将是原来的多少倍？解：解：由公式由公式maxmaxmaxMWMbhz26可以看出，可以看出，该梁的承载能力将是原来的该梁的承载能力将是原来的 2 倍。倍。例例1414：主主梁梁ABAB，跨度为，跨度为L L，采用加副梁，采用加副梁CDCD的方法提高

13、承载能力，若主梁和副梁材的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度度a a为多少？为多少？a2a2l2l2PABCDAB2P2P2aL2aLMPlaABmax()4PaCDMPaCDmax4主梁主梁AB副梁副梁CDMM解：解：主梁主梁AB的最大弯矩的最大弯矩PlaPa44()副梁副梁CD的最大弯矩的最大弯矩MPaCDmax4由由MMABCDmaxmax得得al2MPlaABmax()4例例1515：图示梁的截面为图示梁的截面为T形，材料的许用拉形，材料的许用拉应力和许用压应力分别为应力和许用压应力分别为+和和-，则则 y1 和和

14、 y2 的最佳比值为多少的最佳比值为多少?(为截面形心为截面形心)PCy1y2z解：解：12(1)(2)yy得：max1maxzMyImax2maxzMyI()1()2例例1616：图示外伸梁，受均布载荷作用，图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力材料的许用应力=160 MPa=160 MPa，校核该，校核该梁的强度。梁的强度。10kN/m2m4m100200解：解：由弯矩图可见由弯矩图可见Mmax20kN m10kN/m2m4m10020045kN15kNQ()kN202515M()kN m201125.tzMWmax20100102632.30MPa 该梁满足强度条件，安全该梁满足强度

15、条件，安全例例1717：图示三种截面梁，材质、截面内图示三种截面梁，材质、截面内maxmax、maxmax全相同，求三梁的重量比。并全相同，求三梁的重量比。并指出哪种截面最经济。指出哪种截面最经济。A1A2A32bbaad解：解：由题意可知由题意可知WWWzzz123A1A2A32bbaad即即bbad()26632233AAA123:24222bad:bada063001193.0794 1 112.:.zWMmaxmax例例1818：图示铸铁梁，许用拉应力图示铸铁梁，许用拉应力+=30MPa=30MPa，许用压应力许用压应力-=60MPa,=60MPa,z z=7.63=7.631010-

16、6-6m m4 4，试，试校核此梁的强度。校核此梁的强度。9kN4kNCz52881m1m1mABCDmax2.5 88CzI9kN4kNCz52881m1m1mM(kN m)2.5kN10.5kN25.4ABCDmax2.5 52CzImax4 52BzImax4 88BzIC截面截面：B截面截面：288.MPa 170.MPa 273.MPa 461.MPa满足强度要求满足强度要求本题本题maxC和和maxB可不必计算可不必计算为什么？为什么？例例1919：简支梁简支梁ABAB，在截面下边缘贴一，在截面下边缘贴一应变片，测得其应变应变片，测得其应变=6=61010-4-4，材料的，材料的弹

17、性模量弹性模量 E=200GPaE=200GPa，求载荷，求载荷P P的大小。的大小。04.m05.m1mPABCD4020解：解：04.m05.m1mPABCD4020C C点的应力点的应力CE2001061034 120MPaC截面的弯矩截面的弯矩MWCCzMRCA 05.由由得得P 32.kN0504.P 02.P640N m640N m例例2020：简支梁受均布荷载，在其截面简支梁受均布荷载，在其截面的下边缘贴一应变片，已知材料的的下边缘贴一应变片，已知材料的E=200GPaE=200GPa，试问该应变片所测得的应变值，试问该应变片所测得的应变值应为多大？应为多大？q 40kN/m15

18、.mABC20030015.mq 40kN/m15.mABC20030015.m解：解：C截面下边缘截面下边缘的应力的应力CCzMWC截面的弯矩截面的弯矩MqlC2845kN mCE应变值应变值15MPa1510200106975105.例例2121：图示木梁，已知下边缘纵向总伸图示木梁，已知下边缘纵向总伸长为长为 10 mm，E=10GPa，求载荷，求载荷P的大小。的大小。P2mABC2003002mP2mABC2003002m解：解：AClxx()d0/2xdx()xExld0/2M xW Exzl()d0/2PxW Exzl2d0/2PlW Ez216PW ElzAC162 164020

19、361051022103.150kN例例2222：我国营造法中，对矩形截面梁给我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是出的尺寸比例是 h:b=3:2h:b=3:2。试用弯曲正应。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯出的矩形截面梁，力强度证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。上述尺寸比例接近最佳比值。bhd（使（使WzWz最大）最大）解：解：bhd222bhdWbhz26b db()226Wbdbz22620由此得由此得bd3hdbd2223hd23:2例例23:23:跨长跨长l l=2m=2m的铸铁梁受力如图示，已知材料的铸铁梁受力如图示，已知材料许用拉、压应力分别为许用拉、压

20、应力分别为30MPa和和90MPa试根据截面最为合理的要求，确定试根据截面最为合理的要求，确定T形梁横截面的形梁横截面的一个参数一个参数，并校核此梁的强度。，并校核此梁的强度。BAP=80KN1m2m22060220 解：解：设设z z轴过形心轴过形心最为合理时最为合理时z1y2ymaxmax12yy170ymm2210ymmBAP=80KN1m2m22060220 z1y2y1220220(60)60 220 3027022060 220ymm =24mm332224 220220 6024 220(210 110)220 60(7030)1212zI646499.3 1099.3 10mm

21、mmax80 24044PlMKN mmax1max28.3zMyMPaI30MPa梁满足强度要求梁满足强度要求还需校核最大工作压应力吗？还需校核最大工作压应力吗？例例24:24:图示悬臂梁在自由端受集中力作用，图示悬臂梁在自由端受集中力作用，P=20KNP=20KN。试在下列三种截面形状下，比较所耗材料：试在下列三种截面形状下，比较所耗材料：(1)(1)高宽比高宽比h/b=2h/b=2的矩形；的矩形；(2)(2)圆形；圆形；(3)(3)工字钢工字钢。140MPa1lmP=20KNP=20KN解解:作弯矩图作弯矩图P l max20MP lKN m maxmaxzMW由强度条件由强度条件 33

22、3max620 10143140 10zMWmcm(1)矩形矩形26zbhW b=6cm h=12cm2172Acm(2)圆形圆形332zdWd11.3cm22100Acm(3)工字形工字形查型钢表，取查型钢表，取16号工字钢号工字钢3141zWcm2326.1Acm工字形截面最省料，圆形截面最费料。工字形截面最省料，圆形截面最费料。你知道为什么吗？你知道为什么吗？合理选择截面形状是梁设计中的合理选择截面形状是梁设计中的一个重要问题一个重要问题 本题中，工字形截面的弯曲截面系数本题中，工字形截面的弯曲截面系数略小于临界值，其最大工作应力将略大略小于临界值，其最大工作应力将略大于许用应力，但不超

23、过于许用应力，但不超过5%5%，这在工程中，这在工程中是允许的。是允许的。例例2525：一槽形截面铸铁梁，试求梁的许可荷载一槽形截面铸铁梁，试求梁的许可荷载 F已知已知b=2m,445493 10zImm30MPa90MPaFCBDAbbbFqb12040180y2020解解:求出中性轴位置求出中性轴位置 作弯矩图作弯矩图z86134 Fb/2Fb/4分析可知，不论截面分析可知，不论截面B或截面或截面C，梁的强度均由最大拉应力控制梁的强度均由最大拉应力控制6max8420.134430 105493 10CFmmPam6max8420.086230 105493 10BFmmPam24.6FKN19.2FKNF