材料力学基本第十一章-材料力学中的能量方法课件.ppt
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- 材料力学 基本 第十一 中的 能量 方法 课件
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1、第十一章第十一章 材料力学中的材料力学中的能量方法能量方法11.1 基本概念基本概念11.2 互等定理互等定理11.3 虚位移原理、内力虚功虚位移原理、内力虚功11.4 莫尔方法莫尔方法11.5 莫尔积分应用直杆时的图乘法莫尔积分应用直杆时的图乘法11.6 卡式定理卡式定理11.7 结论与讨论结论与讨论11.1.1 作用在弹性杆件上的力所做的常力功和变力功作用在弹性杆件上的力所做的常力功和变力功11.1 11.1 基本概念基本概念外力功:外力功:在外力作用下,固体的变形将引起外力的作用点沿在外力作用下,固体的变形将引起外力的作用点沿其作用方向产生位移,便引起外力做功其作用方向产生位移,便引起外
2、力做功。变形能或应变能:变形能或应变能:弹性固体因变形将具有作功的本领弹性固体因变形将具有作功的本领,即能量即能量。能量法:能量法:根据能量守恒原理,外力功根据能量守恒原理,外力功w应等于弹性体的应变能应等于弹性体的应变能 V。WV本章主要研究能量法的以下问题:本章主要研究能量法的以下问题:1.外力功与杆件应变能的计算外力功与杆件应变能的计算;2.能量法的卡式定理能量法的卡式定理;3.能量法的单位载荷法与莫尔积分能量法的单位载荷法与莫尔积分;4.能量法的力法求解超静定结构能量法的力法求解超静定结构。一、外力功的计算一、外力功的计算 线弹性结构上的外力功的计算线弹性结构上的外力功的计算。b)FF
3、Fd0dWF在线弹性范围内,在线弹性范围内,F与与成正比成正比12WFFa)AB1、F为一个集中力为一个集中力,就是沿就是沿F作用方向的线位移作用方向的线位移 1、轴向拉压杆、轴向拉压杆 需要指出:需要指出:F与与均为广义量均为广义量2、F为一个集中力偶为一个集中力偶,就是角位移就是角位移 3、F为为一对等值、反向的集中力或集中力偶一对等值、反向的集中力或集中力偶,就是就是相对线位移或相对角位移相对线位移或相对角位移 11.1.2、杆件的弹性应变能、杆件的弹性应变能轴向变形轴向变形 NddFxlxEA轴力在轴力在dl上作上作的功的功 2NN1ddd22FxWFxlxEA整根杆的应变能整根杆的应
4、变能 2Nd2lFxVxEA当当FN/EA为常量时为常量时 2N2FlVEA2、圆轴扭转、圆轴扭转 扭转圆轴的应变能扭转圆轴的应变能 当当T/GIT/GIp p为常量时为常量时 3、对称弯曲梁、对称弯曲梁 对称弯曲梁的应变能对称弯曲梁的应变能 由于刚架同样也是主要承受弯曲变形的结构,所以,上式亦由于刚架同样也是主要承受弯曲变形的结构,所以,上式亦适用于刚架。适用于刚架。2pd2lTxVxGI2p2TlVGI 2d2lMxVxEI4、组合变形杆、组合变形杆 222Npddd222lllFxTxMxVxxxEAGIEI例例11-1 悬臂梁如图所示,试计算其应变能以及悬臂梁如图所示,试计算其应变能以
5、及B截面截面的转角。已知梁的抗弯刚度为常量。的转角。已知梁的抗弯刚度为常量。解:(解:(1)梁的应变能)梁的应变能 梁任一横截面上的弯矩梁任一横截面上的弯矩(2)截面的转角)截面的转角 梁上外力的功为梁上外力的功为 MexBAl eM xM 即得梁的应变能即得梁的应变能 222eedd222llMxMM lVxxEIEIEIe12BWM由由 2ee122BM lMEI于是于是 eBM lEI旋向与外力偶矩的旋向一致,为顺时针。旋向与外力偶矩的旋向一致,为顺时针。例例11-2 试求下图所示结构的应变能。已知梁的抗弯试求下图所示结构的应变能。已知梁的抗弯刚度为刚度为EI,杆的拉压刚度为,杆的拉压刚
6、度为EA。解解(1)CB杆的轴力杆的轴力(2)由截面法,得梁的弯矩方程为)由截面法,得梁的弯矩方程为 得梁的应变能得梁的应变能 即得即得CB杆的应变能杆的应变能 所以,整个结构的应变能所以,整个结构的应变能 ClABxqaN12Fql22 2N28CBFaq l aVEAEA 21122M xqlxqx 2222 51122dd22240ABllqlxqxMxq lVxxEIEIEI2 22 58240CBABq l aq lVVVEAEI例例11-3 在下图所示三角支架中,若两杆的拉压刚度在下图所示三角支架中,若两杆的拉压刚度均为均为EA,试计算结点的竖直位移,试计算结点的竖直位移BV。解(
7、解(1)计算外力功)计算外力功(2)计算应变能)计算应变能由截面法,得由截面法,得AB、CB两杆的轴力分别为两杆的轴力分别为 三角支架上外力的功为三角支架上外力的功为 三角支架的应变能三角支架的应变能 21l45FACBV12BWFN1FFN22FF 222N2N1212 2222FlF lF lVEAEAEA(3)计算)计算BV 2V112 222BF lFEA由由 得得 V12 2BFlEA11.2 互等定理互等定理 22122 11.2.1、功互等定理、功互等定理 在载荷在载荷F1和和F2共同作用共同作用下,下,1、2点处的位移点处的位移先加先加F1,再加,再加F2 11112 2221
8、21111)a(2121FFFV先加先加F2,再加,再加F1 111212222)b(2121FFFV应变能与加载次序无关应变能与加载次序无关 F1在在F2单独作用下引起的单独作用下引起的1点的位移点的位移12上所作的功,上所作的功,等于等于F2在在F1单独作用下引起的单独作用下引起的2点处的位移点处的位移21上所上所作的功,这就是作的功,这就是功互等定理功互等定理。)b()a(VV212121FF11.2.2、位移互等定理、位移互等定理当当F1=F2 时,有时,有 12=21 当当F1、F2数值相等时,数值相等时,F2在在1点引起的沿点引起的沿F1方向的位方向的位移移12,等于,等于F1在在
9、2点引起的沿点引起的沿F2方向的位移方向的位移21,此,此为为位移互等定理位移互等定理。例例 所示外伸梁,抗弯刚度所示外伸梁,抗弯刚度EI为常量。已知在跨度中点为常量。已知在跨度中点C处作用集中力处作用集中力F时,截面时,截面B的转角为的转角为 ,试,试求在截面求在截面D作用力偶作用力偶MD时,跨度中点时,跨度中点C的挠度。的挠度。解解图图a为第一载荷系统,为第一载荷系统,图图b为第二载荷系统为第二载荷系统 由功互等定理由功互等定理 于是有于是有)16/(2EIFlBBDCMFEIlMFEIFlMDDC161162211.3.1 虚位移原理虚位移原理(1)刚体)刚体虚位移 满足约束条件的假想的
10、任意微小位移。虚位移原理 作用于刚体上的力对于任何虚位移所作的总功等于零(平衡的必要和充分条件)。11.3 11.3 虚位移原理、内力虚功虚位移原理、内力虚功(2)可变形固体)可变形固体 满足约束条件和变形连续条件的假想的任意微小位移。外力作用下,物体产生变形的同时产生内力外力作用下,物体产生变形的同时产生内力虚位移 虚位移原理外力和内力对于虚位移所作的总虚功等于零(平衡的充要条件),即We(外力虚功)Wi(内力虚功)0 (815)1.梁的虚位移原理梁的虚位移原理 图a所示的位移为由荷载产生的实际位移,简称实位移。荷载对于其相应位移上所作的功为实功。图b所示的位移为梁的虚位移,它是满足约束条件
11、和变形连续条件的假想的任意微小位移,与梁上的荷载及其内力完全无关。(a)x 实际位移实际挠曲线lxdxy(b)x 虚位移虚设挠曲线lxdxy 梁上广义力 的作用点沿其作用方向的虚位移分别为nFFF,21n,21 外力对于虚位移所作的总虚功为niiinFFFFW132211e (a)(a)外力虚功外力虚功(b)x 虚位移虚设挠曲线lxdxy(b)内力虚功内力虚功 取梁的dx微段进行分析。图c为微段的原始位置,其上面各力均由荷载产生,它们为梁的内力,也是微段的外力。11.3.2 各种受力形式下的内力虚功各种受力形式下的内力虚功由于梁的虚位移,使微段位移至图d 所示位置。微段的虚位移可分为两部分:一
12、为刚性体位移一为刚性体位移。暂不计微段的变形,由于梁的其它部分的变形,而引起的微段的虚位移,微段由abcd 位置移至 。1111dcba(图d 的实线)(d)(b)x 虚位移虚设挠曲线lxdxy二为变形虚位移二为变形虚位移。由于微段本身的虚变形而引起的位移,使微段由 移到 (图d的虚线)。变形虚位移包括由弯曲和剪切产生的两部分,如图(e)和图(f)所示。1111dcbadcba(d)(b)x 虚位移虚设挠曲线lxdxy)2d)(d()2d()2d)(d()2d(SSSFFFMMMddSFM(b)M、对于刚体虚位移要做虚功,但由刚体虚位移原理可知,所有外力对于微段的刚体虚位移所作的总虚功等于零。
13、SFM、对于变形虚位移(图e,f),所做的虚功为SF(b)式为微段的外力虚功dWe,设微段的内力虚功为dWi。由变形固体的虚位移原理(3-15),即。0dddSiFMW)dd(dSFMWi (c)梁的内力虚功为llFMWW0S0ii)dd(d (d)0)dd(0S1liniiFMF将(a),(d)式代入(315)式,得梁的虚位移原理表达式虚位移原理表达式为得即liniiFMF0S1)dd(8-16)组合变形时,杆横截面上的内力一般有弯矩M,剪力Q,轴力N及扭矩Mn。与轴力相应的虚变形位移为沿轴力方向的线位移dd,与扭矩相应的虚变形位移为扭转角 dj。仿照梁的虚位移原理,可得组合变形时的虚位移原
14、理表达式为lniniiMNQMF01)dddd(jd (8-17)2.组合变形的虚位移原理组合变形的虚位移原理 由于以上分析中没有涉及材料的物理性质,所以(3-17)式适用于弹性体和非弹性体问题。式中Fi为广义力,M,FS,FN,T是由荷载产生的内力,为广义虚位移,d,d,dd,为微段的变形虚位移。ijd单位力法单位力法 (1)因为由荷载引起的位移,满足约束条件和变形连续条件,且为微小位移,满足可变形固体的虚位移条件。因此,可以把由荷载引起的实际位移,作为虚位移。由荷载引起的微段的变形位移d,d,dd,dj 作为变形虚位移。即以实际位移以实际位移作为虚位移。作为虚位移。(2)若要确定在荷载作用
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