专题4范希尔理论教材课件.ppt

1、专题专题4 4 范希尔的几何思维水平范希尔的几何思维水平知识点一：范希尔理论的核心内容及其特点知识点一：范希尔理论的核心内容及其特点知识点二：范希尔理论的应用（包括几何课程编制、知识点二：范希尔理论的应用（包括几何课程编制、几何思维水平评估、几何教学设计）几何思维水平评估、几何教学设计）知识点三：关于基于范希尔理论的进一步研究的展望知识点三：关于基于范希尔理论的进一步研究的展望 知识点一：范希尔理论的核心内容及其特点知识点一：范希尔理论的核心内容及其特点 范希尔理论有两个核心内容，一是几何思维的五个水平；二是与其对应的五个教学阶段。前者既可以用来诊断学生的几何思维水平，也可以用来设计教学活动；

2、后者则提出了一种几何教学的模式。1.1.几何思维水平几何思维水平层次0：视觉（visuality）儿童能够通过整体轮廓辨认图形，并能操作其几何构图元素（如边、角）；能画图或模仿画图形，使用标准或不标准名称描述几何图形；能根据对形状的操作解决几何问题，但无法使用图形的特征或要素名称来分析图形，也无法对图形做概括的论述。例如，儿童可能会说某个图形是三角形，因为它看起来像一个三明治。层次1：分析（analysis）儿童能分析图形的组成要素及特征，并依此建立图形的特征，利用这些特征解决几何问题，但无法解释性质之间的关系，也无法了解图形的定义；能根据组成要素比较两个图形，利用某一性质做图形分类，但无法解

3、释图形某些性质之间的联系，也无法导出公式和使用正式的定义。例如，儿童知道三角形有三条边和三个角，但不能理解如果内角越大，那么其所对的边越长的性质。层次2：非形式化的演绎（informal deduction）儿童能建立图形及图形性质之间的关系，可以提出非形式化的推论，了解建构图形的要素，能进一步探求图形的内在属性和其包含关系，使用公式与定义及发现的性质做演绎推理。但不能了解证明与定理的重要性，不能由不熟悉的前提去证明结果的成立，也不能建立定理网络之间的内在关系。例如，学生了解等腰三角形的性质后，会推出等腰直角三角形同时也是直角三角形的一种，因为等腰直角三角形比直角三角形多了一些性质的限制。因此

4、，儿童能作一些非正式的说明但还不能做系统性的证明。层次3：形式的演绎（formal deduction）学生可以了解到证明的重要性和了解“原始概念”、“公理”和“定理”的意义，确信几何定理是需要形式演绎推理才能建立的，理解解决几何问题必须具备充分或必要条件；能猜测并尝试用演绎方式证实其猜测，能够以逻辑推理解释几何学中的公理、定义、定理等，也能推理出新的定理，建立定理之间的关系网络，能比较一个定理的不同证明方式；能理解证明中的必要与充分条件，例如至少有一条边对应相等或至少一个角对应相等是证明两个三角形全等的必要条件，两角及夹边对应相等则是两个三角形全等的充分条件；能写出一个定理的逆定理，如平行四

5、边形的对角线互相平分，其逆定理是对角线互相平分的四边形是平行四边形。层次4：严密性（rigor）学生能在不同的公理系统下严谨地建立定理，以分析比较不同的几何系统，如欧式几何和非欧几何系统的比较。到了20世纪80年代，范希尔将五个思维水平合并为三个思维水平。直观水平（visual level）整体地认识几何对象。这一阶段是学生依据几何图形的外表来认识、命名、比较和画出这些图形。描述水平（descriptive level）通过几何性质认识几何对象。这一阶段，学生按照图形的组成部分和这些组成部分之间的联系来分析图形学生依据经验确立图形的性质和使用这些性质解决问题。理论水平（theoretical

6、level）利用演绎推理证明几何关系。在描述阶段中提出的概念网络图在这个阶段完整和稳定了。学生理解和接受了准确的定义，在谈论形状时涉及这些定义，理解图形内部和图形之间的联系。2.2.几何教学阶段几何教学阶段 皮亚杰的认知发展阶段依赖于心理的成熟，而与教学关系不大。与其不同，范希尔夫妇认为各个水平之间的学习成长历程，主要来自教学的组织与方法以及教材的选择与使用。因此，从某一水平过渡到下一个水平，教学活动起着重要作用。范希尔理论有助于教师认识到教学流程的重要性，并能帮助教师为学生建构学习环境，提高教学效率。对应于几何思维的五个水平，范希尔夫妇提出了五个阶段，这一教学系列既适用于教师的直接教学，也适

7、用于学生的独立学习。阶段1：学前咨询（information），教师和学生就学习对象进行双向交谈，教师了解学生如何理解指导语并且帮助学生理解要学习的课题。学生提出问题，对课题的对象和运用的词汇做出观察，确定下一步的学习。在这一阶段，使用词汇和术语是相当重要的，在这个层次中独特的词汇、用语和题目的标题通过对话而被引入。阶段2：引导定向（guided orientation），教师为学生仔细安排活动顺序，使学生认识到学习进行的方向，逐渐熟悉这一结构的特性，在这个阶段中，许多活动都是引起一个特定反应的一步作业。阶段3：阐明（explication），通过前面的经验和教师最低程度的提示，学生明确了词汇

8、的意义，表达自己对内在结构的看法，通过这一阶段，学生开始形成学习的关系系统，范希尔指出，在这个阶段，经验的获得取决于正确的语言符号和学生们在课堂上观察到的结构的讨论，教师只需注意这些讨论所使用的习惯措词，关联系统在这个阶段就有一部分形成了。阶段4：自由定向（free orientation），在这个阶段，学生碰到了多步作业或能以不同方式完成的作业。在寻找方法和解决问题的过程中，学生获得了经验，通过自己确定学习领域的方向，他们对学习对象之间的关系越来越明确。按照范希尔的观点，这个阶段是自由探索，探索的范围大多数是学生知道的，但学生仍需迅速地找到他的方向。阶段5：整合（integration），学

9、生回顾自己所用的方法，并形成一种观点，对象和关系被统一并内化进一个新的思维领域，教师对学生理解的东西做一个全面的评述，帮助学生完成这一过程，在此，教师要小心，不要提出新的或不一致的观点。在第五个阶段结束时，新的思维水平就形成了。表1 有关等距变换的范希尔思维水平和教学目标 3.范希尔理论的特点范希尔理论的特点 次序性。学生几何思维水平的发展是循序渐进的，要在特定的水平顺利发展，必须掌握前一个水平的各个概念和策略。也就是说，学生在没有通过前一层次之前，无法到达随后的层次。进阶性。学生几何思维水平的提升是经由教学，而不是随年龄成长或心理成熟自然而然的，没有一种教学方法能让学生跳过某一水平而进入下一

10、个水平，即由上一个水平进入下一个水平并不是一蹴而就的。内隐性与外显性。某一个水平的内隐性质成为下一个水平的外显性质，如某一个水平的个人化的模糊概念在下一个水平上通过外显的表征工具而得到澄清。语言性。每一层次都有其专属的阶段性语言符号。在某一层次使用的语言符号，可能到了另一层次就并必须调整为另一种语言符号，因此每一层次都有其独特的语言符号，称为语言性。不适配性。如果学生的思维处于一个水平，而教师的教学处于另一个水平，那么就不可能取得预期的教学效果。尤其是当教师的教学内容、教具选择及词汇使用均属于较高层次时，学生将无法理解、思考其过程与结果。知识点二：范希尔理论的应用知识点二：范希尔理论的应用 课

11、程编制 能力评估 教学设计1.1.编制几何课程编制几何课程 前苏联学者皮什卡罗在研究范希尔论文的基础上，设计了一项新的八年几何教学大纲。根据范希尔的几何思维水平，他又分析了1960年1-8年级学生所用的学习材料，并用这些水平进行了长达四年的调查研究，得出了很多重要的发现。美国有学者按照范希尔几何思维水平编写了中学几何教材。这本教材的主要想法是将“几何学年”的第一学期都用来进行活动和实验，以为学生应用演绎系统（水平3）做好准备，正规的证明方法则推迟到第二学期。这套教材可以使学生学到更多的几何知识，尤其是有关面积、体积和变换的知识。另外，使用这套教材的学生超过了所有优秀班级的学生，那些班级的学生使

12、用的是传统教材，他们几乎花了整整一年时间学习几何证明。另外，范希尔理论还被作为不同教材比较研究的理论框架。美国学者弗斯等人利用范希尔水平体系评价了三套K-8年级的数学教材，发现了一些共同的特点。魏特曼等人对日本、美国几何教材每个课时内容的范希尔水平进行了比较，得出了很多结论。日本、美国的小学几何教材在范希尔思维水平上有很大的差异。另外，通过比较具体的教学内容后发现，日本教材在知识与习题的呈现上较好地反映了范希尔理论的教学序列，而美国教材则显得杂乱无章，缺乏层次。2.2.评估几何思维水平评估几何思维水平 范希尔理论在几何评价上的应用主要包括两个方面：一是在每个思维水平上设计出相应的测试题；二是利

13、用编制好的测试题考查学生的范希尔思维水平。最经典的研究是芝加哥大学开展的“中学几何课上学生认知的发展和成就”的课题研究，研究结果如下：（1）以纸笔测试进行施测，有8%的初中生可以达到范希尔层次3之上；（2）范希尔几何思维层次和几何测验分数之间有显著的相关性；（3）部分学生的思维水平处于两个层次之间，难以指派到某一层次；（4）完成中学几何课程以后，仍有40%学生的几何发展处于范希尔水平3以下；（5）范希尔思维水平在性别之间有差异；（6）利用范希尔几何思维水平可以预测学生在几何学习上遇到的困难。我国台湾地区的数学教育研究者也开始了学生几何思维水平评估方面的研究。有学者考察了范希尔思维水平与几何概念

14、理解及错误概念的关系。有学者提出了范希尔几何思维水平的量化模式，采用了试题反应理论，以获得更精确的能力估计数值。有学者利用三角形图形概念分析了小学生的几何思维特征。有学者将试题关联结构分析法应用于小学生范希尔几何思维水平的研究。3.3.设计几何教学设计几何教学 范希尔理论侧重于在每个水平上对教学任务与学生活动进行描述与分析，就自然成为一个教学设计的理论框架。于是，在水平测试的基础上，有研究者尝试利用范希尔理论去设计单元教学和教学阶段，考察能否由此改变学生的思维水平。以下提供一个有关四边形的教学设计，教学阶段分别如下：阶段1：提供信息的活动（1）辨认图形（2）复制图形 阶段2：特定方向的活动（3

15、）分类活动（4）描绘与建构图形（5）进行平铺活动（6）学生寻找多种多边形的对称轴（7）学生测量出图形的成分并观察 阶段3：解释活动（8）学生在卡片上列出自己熟悉的多边形的性质（9）列出不同图形的类别 阶段4：自由探索阶段（10）学生检验全等图形的对应边、对应角，并通过过几何画板等软件简化图形的性质（11）学生使用软件画出非常规的图形（12）以LOGO软件为例，学生必须写出画某个熟悉多边形图形的程序或步骤 阶段5：整合活动（13）以游戏的方式，学生试着从自己列出的性质中辨认出特定的图形（14）学生对自己在活动1中做出的图形加以描述及评论，并改进所有不精确的用语，包括所有相关的性质知识点三：关于范希尔理论的进一步研究的展望知识点三：关于范希尔理论的进一步研究的展望 是否存在其他的几何思维水平？如何细化各水平的评价指标？如何刻画不同教学内容（或活动）的范希尔思维水平？如何编制符合我国教学实际的范希尔水平测试题？如何考察不同年级学生的范希尔思维水平？我国学生在范希尔思维水平上是否存在性别差异？如何帮助学生在不同思维水平之间过渡？范希尔理论对我国的几何课程设计与评价有什么意义？能否把范希尔理论推广到其他的数学内容？