高等数学第二章导数与微分2课件.ppt

1、 2 21 1 导数的概念导数的概念 2 22 2 函数的求导法则函数的求导法则 2 23 3 高阶导数高阶导数 2 24 4 隐函数及由参数方程隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数所确定的函数的导数2 25 5 导数的简单应用导数的简单应用2 26 6 函数的微分函数的微分2.2 2.2 函数的求导法则函数的求导法则 一、四则运算法则一、四则运算法则二、反函数求导法则二、反函数求导法则 三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则 四、基本求导法则与导数公式四、基本求导法则与导数公式二、反函数求导法则二、反函数求导法则定理定理11()()0,()(),1().()yxyxf yIfyyfx

2、Ixf yyIfxfy 如果函数在区间 内严格单调、可导且则它的反函数在对应区间内也可导 且有即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.证证,xIx 任取任取xx 以以增增量量给给1()yfx由的严格单调性可知,0 y于是有于是有,1yxxy 1(),yfx连续),0(0 xy()0fy又知10()limxyfxx yxy 1lim01()fy11().()fxfy 即),0(xIxxx 例例7 7.arcsin的导数的导数求函数求函数xy 解解sin(,),2 2yxyI 在内严格单调、可导,0cos)(sin yy且且内有内有在在)1,1(xI)(sin1

3、 yycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx )(arcsin x.11)cot(2xx arc例例8 8.log的导数的导数求函数求函数xya,0ln)(aaayy且且,),0(内有内有在在 xI)(1)(log yaaxaayln1.ln1ax 解解(,),yyxaI 在内严格单调、可导特别地特别地.1)(lnxx 三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则定理定理即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链

4、式法则链式法则)(),()(),(),()(.)ug xxyf uug xyf g xdydydy dufug xdxxdxdu dx 或或如如果果在在点点 可可导导而而在在点点可可导导则则复复合合函函数数在在点点可可导导 且且其其导导数数为为推广推广),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的导数为的导数为则复合函数则复合函数 例例9 9.sinln的导数的导数求函数求函数xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 例例10.)1(102的导数的导数求函数求函数 xy解解例例1111.1sin

5、的导数的导数求函数求函数xey 解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 补充：指数求导法则补充：指数求导法则 0ln xuexuxuxvxv幂指函数幂指函数 xuxvxvexuln xuxvexuxvlnln xuxuxvxuxvxuxvln.sin的导数的导数求函数求函数xxy sinsincos lnxxxxxxxxxxesinsin lnxxexxsin lnsin ln 例例1212解解.的导数的导数求函数求函数xexy xeexxexln xexe

6、xxxexln.2的导数的导数练习：求函数练习：求函数xxy 2222,)(xxxxxxxx 例例1313解解1()0().xxxR 证证明明例例1414解解1(ln)0.xxx 证证明明例例1515解解(ln()().()0)()f xfxf xf x 更更一一般般地地，四、基本求导法则与导数公式四、基本求导法则与导数公式xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)(xxeex

7、x1)(ln)(2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu 可导，则可导，则（1）vuvu )(,（2）uccu )(（3）vuvuuv )(,（4）)0()(2 vvvuvuvu.(是常数是常数)C 2211)cot(arc11)(arccosxxxx 3.反函数求导法则反函数求导法则反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.4.复合函数的求导法则复合函数的求导法则).()()()()(,)(xgufxydxdududydxdyxfyxguufy 或或的的导导数数

8、为为都都可可导导，则则复复合合函函数数设设 利用上述公式及法则利用上述公式及法则,初等函数求导问题可完全解决初等函数求导问题可完全解决.结论结论:初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.例例1616.arcsin22222的导数的导数求函数求函数axaxaxy 解解)0(a例例17172221cos,.1cosxxyyx 求求解解 axaxaxyarcsin222222222222222121xaaxaxxa 222222(1 cos)(1 cos)(1 cos)(1 cos)(1 cos)xxxxyx 22)cos1(2sin2xx ,y(/2)=0.例例1818.)2(21l

9、n32的导数的导数求函数求函数 xxxy解解23ln1ln2yxx)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx211ln(1)ln(2),23xx.)(sin的导数的导数求函数求函数nnnxfy )(sin)(sin1nnnnnxfxnfy )(sin)(sin1nnnxxn 1cos nnnxx).(sin)(sin)(sin)(sincos1113nnnnnnnnnnxxfxxfxxn 例例1919解解例例20 双曲函数与反双曲函数的导数双曲函数与反双曲函数的导数sinh,cosh22xxxxeeeexx(sinh)cosh2xxeexx (sinh)coshxx (cosh)s

10、inhxx sinhtanhcoshxxx 21(tanh)coshxx 同理同理)11(1122xxxx 211x 211x 211x )11ln21(xx221)1()(arcsinhxxxxx )1(ln(2xx2ln(arcs1)inhxxx(arccosh)x (arctanh)x 小结小结注意注意:);()()()(xvxuxvxu .)()()()(xvxuxvxu 分段函数分段函数求导时求导时,分段点导数用分段点导数用左右导数左右导数求求.反函数的求导法则反函数的求导法则(注意成立条件注意成立条件);复合函数的求导法则复合函数的求导法则注意函数的复合过程注意函数的复合过程,合理

11、分解正确使用链式合理分解正确使用链式 法则法则;已能求导的函数已能求导的函数:可分解成基本初等函数可分解成基本初等函数,或常或常数与基本初等函数的和、差、积、商数与基本初等函数的和、差、积、商.任何初等函数的导数都可以按常数和基本初任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出等函数的求导公式和上述求导法则求出.关键关键:正确分解初等函数的复合结构正确分解初等函数的复合结构.1sinsinnynxx(),():dyf xg xydx2 2 设设可可导导，求求下下列列函函数数 的的导导数数)(cos)(sin)2()()1(222xfxfyxfy 0)()()()()3

12、(2222 xgxfxgxfy.yxxx3 3求函数的导数求函数的导数练习练习arctan(tanh)yx 4 4 求求第第3 3题的解答题的解答解解)(21 xxxxxxy)(211(21 xxxxxxx)211(211(21xxxxxx .812422xxxxxxxxxx 第第4 4题的解答题的解答解解)(tanhtanh112 xxyxx22cosh1tanh11 xxx222cosh1coshsinh11 xx22sinhcosh1 .sinh2112x Z 思考思考D2.2.幂函数在其定义域内（幂函数在其定义域内（）.解答解答正确的选择是正确的选择是（3）例例32)(xxf),(x在在 处不可导，处不可导，0 x)1(2)(xxf),(x在定义域内处处可导，在定义域内处处可导，)2(（1）必可导；）必可导；（2）必不可导；）必不可导；（3）不一定可导；）不一定可导；