高等数学第五节数量积向量积课件.ppt

1、第一章第一章 空间解析几何空间解析几何 向量代数向量代数5 5 数量积数量积 向量积向量积二、向量积二、向量积一、数量积一、数量积三、拓展与思考三、拓展与思考四、小结四、小结 一物体在常力F作用下，由点A沿直线移动到点B.设力F的方向与位移 向量的夹角为，AB引例一、数量积一、数量积|,|cosABFW .cos|三三者者之之乘乘积积与与模模、位位移移的的即即功功等等于于力力的的模模 ABF FAB定义一即即乘乘积积，记记作作它它们们之之间间的的夹夹角角余余弦弦的的量量的的长长度度与与的的数数量量积积等等于于这这两两个个向向向向量量.,baba.cos|baba 或称为或称为点积点积.则力则力

2、F F 所做的功为所做的功为;0)(20 ba时时，当当 定义二，即即作作，记记之之间间的的夹夹角角与与是是其其中中数数量量等等于于这这个个上上的的投投影影规规定定为为数数量量，在在向向量量向向量量babaaba)()(cos|.cos|)(aab 显然，显然，a()bab a()bab|cos|baba 两个向量的数量积也可用投影表示：两个向量的数量积也可用投影表示：.)(|ababa 或或.0)(2 ba时时，当当 ,)(|bab，垂垂直直时时，即即与与当当两两个个向向量量2 ba，若若ba 如果把零向量的方向规定为与任何一个向量都如果把零向量的方向规定为与任何一个向量都垂直，那么有垂直，

3、那么有，均均为为非非零零向向量量，且且与与反反之之，若若0 baba 两个向量垂直的两个向量垂直的充分必要条件充分必要条件是它们的数量积是它们的数量积为零为零.即即.0 baba例如：例如：,ikkjji .0,0,0 ikkjji.|2aaa 则则例如：例如：.111 kkjjii，;0 ba则则.垂垂直直与与则则ba数量积满足下列规律：数量积满足下列规律：);()1(交交换换律律abba 下面仅证下面仅证(2).显然显然.)(|)(acbacba );()()2(分分配配律律cabacba ).()()()()3(为为实实数数 bababa bcbc()ab()aca()abc,)()()

4、(aaacbcb 那么那么)()(|)(aacbacba ,)(|)(|aacaba ，而而babaa )(|.)(cabacba ，所所以以,)(|cacaa 数量积的坐标表示式是什么呢数量积的坐标表示式是什么呢？,222111kzjyixbkzjyixa 设设则则.和和的的对对应应系系数数两两两两乘乘积积之之、示示式式中中数数量量积积等等于于它它们们坐坐标标表表上上式式表表示示：两两个个向向量量的的kji)()(222111kzjyixkzjyixba kizxjiyxiixx 212121kjzyjjyyijxy 212121kkzzjkyzikxz 212121212121zzyyxx

5、 .0,1,01,01 ikkkkjjjjiii，注意到注意到212121zzyyxxba 即即两个向量的夹角，以及一个向量在另一个向量两个向量的夹角，以及一个向量在另一个向量上的投影如何表示呢上的投影如何表示呢？;222222212121212121zyxzyxzzyyxx|cosbaba 222222212121zyxzzyyxx|)(bbaab .212121212121zyxzzyyxx|)(ababa 或或例例1171)1(11222|cosbaba 222)2(231|)(bbaab .,)(,223,之之间间的的夹夹角角余余弦弦与与求求设设baabakjibkjiab 解解)2(

6、12)1(31 ba.1 .171 .511 例例2.),1,4,3(),1,0,1(),0,1,1(为为直直角角三三角角形形试试证证的的三三个个顶顶点点为为ABCCBAABC 解解 写出个边所在向量：写出个边所在向量：,2kjiAB )1()1()5(1)2()2(CAAB,244kjiBC .52kjiCA 容易计算容易计算.0，即即CAAB .是是直直角角三三角角形形所所以以 ABC 思考：思考：还有其他解法吗还有其他解法吗？.2,2321,22123的的角角）的的余余弦弦（不不大大于于角角边边形形两两条条对对角角线线之之间间夹夹边边（同同始始点点）的的平平行行四四为为邻邻，求求以以设设

7、 bajibkjia 例例3解解bac abcd)2321()22123(jikji ,22kji .22kjibad 类类似似可可得得的的夹夹角角余余弦弦为为不不大大于于2 2222222212)1(2|222)1(12|cosdcdc .94 先求两条对角线上的向量先求两条对角线上的向量 运动电荷在磁场中要受到洛伦兹力的作用，由物理学知道，一个运动的单位正电荷所受力 f 的大小为引例二、向量积二、向量积.,旋旋法法则则向向量量的的方方向向符符合合右右手手螺螺三三个个和和且且也也垂垂直直于于的的方方向向既既垂垂直直于于力力BvfBvf.的的向向量量积积、向向量量在在数数学学上上，它它称称为为

8、向向量量Bvsin|Bvf ,Bv.之之间间的的夹夹角角与与是是是是磁磁场场强强度度，是是带带电电粒粒子子的的速速度度，其其中中BvBv Bv,;,sin|:)1(之之间间的的夹夹角角与与为为其其中中的的模模babacc 两个向量 a,b的向量积规定为一个向量c，c由下列条件规定：定义三;,)2(bcac .,)3(bacc角角到到以以逆逆时时针针方方向向转转看看的的方方向向为为：面面向向.的的方方向向指指向向为为食食指指和和中中指指的的大大拇拇指指的的的的方方向向，那那么么垂垂直直的的方方向向，中中指指指指向向食食指指指指向向手手系系，即即如如果果右右手手的的这这样样规规定定的的方方向向简简

9、称称右右baba.,也也称称为为“叉叉积积”的的向向量量积积记记作作两两个个向向量量baba.sin|baba 即即;,bbaaba 有有.的的方方向向指指向向为为食食指指和和中中指指的的大大拇拇指指的的的的方方向向，那那么么垂垂直直的的方方向向，中中指指指指向向食食指指指指向向手手系系，即即如如果果右右手手的的这这样样规规定定的的方方向向简简称称右右baba abab 2 abab 2 .,组组成成右右手手系系baba.,积积邻邻边边的的平平行行四四边边形形的的面面（始始点点重重合合）为为以以意意义义是是：它它的的数数值值是是向向量量积积模模的的几几何何ba可可表表示示为为引引例例中中的的洛

10、洛伦伦兹兹力力这这样样,.Bvf|sinab，或或则则它它们们之之间间的的夹夹角角为为 0,均均为为非非零零向向量量反反之之，若若ba;,jikikjkji 由由定定义义可可得得如何判断向量的特殊关系呢如何判断向量的特殊关系呢?,/ba若若,0sin|ba也也即即为为零零向向量量，所所以以ba.0 ba即即，或或的的夹夹角角为为与与可可知知那那么么由由 0,0baba ./ba即即.0/baba所所以以.0,0,0 kkjjii例例如如.,jkiijkkij 而而,0sin 即即向量积满足下列规律：向量积满足下列规律：;)1(abba .证证明明（略略）,222111kzjyixbkzjyix

11、a 设设;)()2(cabacba ;)(acabacb .()()()()3(为为实实数数）bababa 向量积能否用向量的坐标表示呢向量积能否用向量的坐标表示呢？)()(222111kzjyixkzjyixba kizxjiyxiixx 212121kjzyjjyyijxy 212121kkzzjkyzikxz 212121.,0,0,0jkijikkkijkikjjjkijkjiii ，注意到注意到则则.)()()(122112211221kyxyxjxzxzizyzy 利用二阶行列式，上式可写为利用二阶行列式，上式可写为为了便于记忆，借用三阶行列式的计算规律，记为为了便于记忆，借用三阶

12、行列式的计算规律，记为）式式可可得得由由（若若1,0 ba.122112211221yxyxxzxzzyzy ，即即)1(.221122112211kyxyxjzxzxizyzyba )2(.222111zyxzyxkjiba .0,0,0221122112211 yxyxzxzxzyzy若所有的数均不为若所有的数均不为0 0，则上述三个式子可化简为，则上述三个式子可化简为)3(.212121zzyyxx .122112211221yxyxxzxzzyzy ，得得到到下下述述结结论论：，这这样样，约约定定为为分分子子，如如若若分分母母为为00012 xx.,/之之也也成成立立的的对对应应系系数

13、数成成比比例例；反反中中的的的的坐坐标标表表示示式式与与，则则对对应应非非零零向向量量，若若kjibaba结论结论1，则则有有）式式的的比比例例为为若若令令（3.212121zzyyxx ，.ba 即即.,/baba 使使的的充充要要条条件件是是存存在在常常数数非非零零向向量量结论结论2./212121zzyyxxba 即即.32,2bakjbkjia ，计计算算设设例例4320121 kjiba解解 利用利用(2)式，得式，得kji202130113212 .238kji .4面面积积为为邻邻边边的的平平行行四四边边形形的的，中中的的计计算算以以例例ba例例5|baA 解解 由向量积模的几何

14、意义知，其面由向量积模的几何意义知，其面A为为2222)3(8 .77 为为邻邻边边的的三三角角形形的的面面积积，ba问题：问题：？bakjickjbkjia 问问，设设,31,32平平行行吗吗？与与c例例6101132 kjiba解解.33kji .,000kbjiabcacc 其其中中使使求求单单位位向向量量例例7解解应应有有两两个个：0c,3cba 显显然然有有./cba 所所以以,00bcac 因因为为./0bac 故故100011kjiba 而而.ji|0babac ).(21ji 例例8 8.|3|32,3|,2|bababa 求求，之之间间的的夹夹角角与与且且设设 解解,|3|3

15、32bababa ）（）注注意意到到（三、拓展与思考三、拓展与思考2|3|3|baba ）（）（baba 33babbaa 69 cos|6|922baba 32cos32632922 .73 例例9 9解解已已知知向向量量0 a，0 b，证证明明2222)(|bababa .)(sin|,2222bababa )(cos1|,222baba 22|ba )(cos|,222baba 22|ba .)(2ba 结结论论是是否否成成立立？问问下下列列是是非非零零实实数数都都是是非非零零向向量量，、设设.cba思考题思考题.,)3(,2,1bacbcabacbcababa 则则若若；则则若若）（；

16、则则）若若（,222111kzjyixbkzjyixa 设设解解 命题(1)成立，命题(2)、(3)不成立.,ba ,222111kzjyixkzjyix ,212121zzyyxx ，即即，由由于于0 ,212121zzyyxx ，因因此此.)1(,成成立立命命题题即即ba (I)(I),3,2,2kjickjibkjia 设设，即即有有显显然然cabacaba ,0,0(II)(II).ba 但但是是,22,kjickjibjia 设设，即即有有有有cabajicajiba ,(III)(III).ba 但但是是四、小结四、小结1 1、本节基本要求、本节基本要求 理解数量积和向量积的概念，

17、了解向量投影的理解数量积和向量积的概念，了解向量投影的概念，概念，了解向量积长度的几何意义；了解向量积长度的几何意义；掌握数量积和掌握数量积和向量积的计算公式，会判断两个向量的特殊关系向量积的计算公式，会判断两个向量的特殊关系（垂直、平行）（垂直、平行）.2 2、本节重点、难点、本节重点、难点 重点：重点：数量积、向量积数量积、向量积.难点：难点：向量积向量积.数量积数量积 向量积向量积数量积数量积3 3、本节知识结构、本节知识结构向量积向量积定义、性质定义、性质数量积的坐标表示数量积的坐标表示向量的夹角公式向量的夹角公式向量垂直的条件向量垂直的条件定义、性质定义、性质向量积的坐标表示向量积的坐标表示几何意义几何意义向量平行的条件向量平行的条件