高等数学方明亮66空间直线及其方程课件.ppt

1、第六节第六节 空间直线及其方程空间直线及其方程 第六章第六章(Space Straight Line and Its Equation)四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角一、空间直线方程的一般方程一、空间直线方程的一般方程 二、空间直线方程的对称式方程和参数方程二、空间直线方程的对称式方程和参数方程三、两直线的夹角三、两直线的夹角五、平面束五、平面束六、小结与思考练习六、小结与思考练习2022-11-301xyzo01111DzCyBxA02222DzCyBxA1 2 L因此其一般式方程(General Equation of a Space Straight Line)直线可视为两平面

2、交线，(不唯一不唯一)一、空间直线方程的一般方程一、空间直线方程的一般方程2022-11-302(Symmetric Expression)1.对称式方程（点向式方程对称式方程（点向式方程),(0000zyxM故有说明说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.mxx0设直线上的动点为 则),(zyxMnyy0pzz0此式称为直线的对称式方程对称式方程(也称为点向式方程点向式方程)直线方程为s已知直线上一点),(0000zyxM),(zyxM例如,当,0,0时pnm和它的方向向量,),(pnms sMM/0二、空间直线方程的对称式方程和参数方程二、空间直线方程的对称式方程和参数方程00yyxx20

3、22-11-303设得参数式方程:tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz03.参数式方程参数式方程(Parametric Form)2022-11-304解解:先在直线上找一点.102340 xyzxyz 632zyzy再求直线的方向向量2,0zy令 x=1,解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点.)2,0,1(故.s,)1,1,1(1n)3,1,2(2n21ns,ns21nns例例1 1 用对称式及参数式表示直线（补充题）（补充题）2022-11-305故所给直线的对称式方程为参数式方程为tztytx32 41t41x1y32z解题思路解题思路:先找直线上一点;

4、再找直线的方向向量.)3,1,4(21nns312111kji(自学课本自学课本 例例1)2022-11-306例例 2 求与两平面x4y=3 和2xy5z=1 的交线平行且过点(3,2,5)的直线的方程.解：解：因为所求在直线与两平面的交线平行，也就是直线的方向向量s 一定同时与两平面的法线向量n1、n2垂直，所以可以取 12104(43)215ijksnnijk 因此所求直线的方程为 325431xyz2022-11-307例例3 求直线 234112xyz与平面2xyz6=0的交点.解：解：所给直线的参数方程为x=2+t,y=3+t,z=4+2t,代入平面方程中，得 2(2+t)+(3+

5、t)+(4+2t)6=0.解上列方程，得t=1.把求得的t值代入直线的参数方程中，即得所求交点的坐标为 x=1,y=2,z=2.（由课本例（由课本例3改编）改编）2022-11-3082L1L则两直线夹角 满足21,LL设直线 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)的方向向量分别为212121ppnnmm212121pnm222222pnm),(,),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s（The Angle between Two Straight Lines）三、两直线的夹角三、两直线的夹角2022-11-309特别地有特别地有:21)1(LL 21/)

6、2(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss2022-11-3010解解:直线直线二直线夹角 的余弦为13411:1zyxL220:20 xyLxz cos22从而4的方向向量为1L的方向向量为2L)1,2,2()1(1)2()4(212221)4(1222)1()2(2)1,4,1(1s2010112kjis 例例4（由课本（由课本例例4改编）改编）求以下两直线的夹角2022-11-3011（The Angle between a Straight Lines and a Plane）当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;L当直线

7、与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为则直线与平面夹角 满足.2222222CBApnmpCnBmA直线和它在平面上的投影直),(pnms),(CBAn),cos(sinnsnsns sn四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角2022-11-3012特别有特别有:L)1(/)2(L0pCnBmApCnBmAns/ns例例5 求过点(1,2,4)且与平面解解:取已知平面的法向量421zyx则直线的对称式方程为0432zyx直的直线方程.为所求直线的方向向量.132垂)1,3,2(nn2022-11-3013五、平面束五、平面束 有时用平面束的方程解题比较方便，现在我们来介绍

8、它的方程.设直线L由方程组111122220,0,AxB yC zDA xB yC zD所确定，其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例.我们建立三元一次方程：11112222()0AxB y CzDA xB y C zD(III)其中 为任意常数.因为A1、B1、C1与A2、B2、C2不成 (II)(I)（Pencil of Planes）2022-11-3014比例，所以对于任何一个 值，方程(III)的系数：121212AABBCC、不全为零，从而方程(III)表示 一个平面，若一点在直线L上，则点的坐标必同时满足方程(I)和(II)，因而也满足方程(III)，故方程(III)

9、表示通过直线L的平面，且对于于不同的 值，方程(III)表示通过直线L的不同的平面.反之，反之，通过直线L 的任何平面(除平面(II)外)都包含在方程(III)所表示的一族平面内.通过定直线的所有平面的全体称为平面束，而方程(III)就作为通过直线L的平面束的方程(事实上，方程(III)表示缺少平面(II)的平面束).2022-11-3015例例6 求直线 10,10 xyzxyz 在平面x+y+z=0上的投影直线的 方程.解：解：过直线 10,10 xyzxyz 的平面束的方程为 (x+y-z-1)+(xy+z+1)=0,(1+)x+(1-)y+(-1+)z+(-1+)=0,即(*)其中 为

10、待定常数.这平面与平面x+y+z=0垂直的条件是 01)1(1)1(1)1(即 10 由此得=-1 代入(*)式，得投影平面的方程为 2y-2z-2=0 即 y-z-1=0所以投影直线的方程为 10,0.yzxyz 2022-11-3016解：解：2022-11-3017解：解：2022-11-30181.空间直线方程空间直线方程一般式对称式参数式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000)0(222pnm内容小结内容小结2022-11-3019,1111111pzznyymxxL：直线0212121ppnnmm,2222222pzz

11、nyymxxL：212121ppnnmm直线夹角公式:),(1111pnms),(2222pnms 021ss21LL 21/LL021ss2121cosssss 2.线与线的关系线与线的关系2022-11-3020,0DzCyBxACpBnAm平面 :L L/夹角公式：夹角公式：0CpBnAmsin,pzznyymxx直线 L:),(CBAn),(pnms 0 ns0nsnsns L3.面与线间的关系面与线间的关系4.平面束平面束2022-11-3021课外练习课外练习习题习题66 1（偶数题）；（偶数题）；3；4（2）（）（4）；）；6（2）；）；7（偶数题）；（偶数题）；10；12思考与

12、练习思考与练习D2022-11-3022CC面面面面面面面；面；xoyQDxozQCyozQBxoyQA)(;)(;)()(面面面面面面面；面；xoyQDxozQCyozQBxoyQA)(;)(;)()(A2022-11-3023BB2022-11-3024)1,2,1(A,11231:1zyxLiL设直线解：解：,2上在因原点LO12:2zyxL相交,求此直线方程.的方向向量为过 A 点及 的平2L面的法向量为则所求直线的方向向量方法方法1 利用叉积.),2,1(isi,n,1nss所以OAsn2121112kjikji333且垂直于直线 又和直线nOA2L2s2.一直线过点2022-11-3025设所求直线与的交点为512231zyx12000zyx0000,2yzyx待求直线的方向向量方法方法2 利用所求直线与L2 的交点.即故所求直线方程为 2L),(000zyxB则有2L)1,2,1(Anss1333123kji)523(3kji),(000zyxB2022-11-30260)1()2(2)1(3000zyx78,716,78000zxy512231zyx0000,2yzyx将代入上式,得由点法式得所求直线方程而)1,2,1(000zyxAB)5,2,3(731L)715,76,79(AB2L)1,2,1(A),(000zyxB2022-11-3027