高二数学新人教选修45第三讲柯西不等式与排序不等式(共18张)课件.ppt

1、第三讲 柯西不等式与排序不等式一 二维形式的柯西不等式 （第一课时）)0,0(baabba222重要不等式重要不等式),(Rbabaabba222当且仅当a=b取等号adbcdbca2222sinabcdacbd,a b c dR adbc 当当且且仅仅当当时时，等等号号成成立立.cos 22222abcdacbd2222sinabcdacbdxy ,A a bO ,B c d ,a b ,c d cos2222coscosabcd acbd ,a b c dR 22222abcdacbdadbc 当当且且仅仅当当时时，等等号号成成立立.,a b c dR 若若，22222abcdacbd二维

2、形式柯西二维形式柯西不等式不等式Augustin-Louis Cauchy则则adbc 当当且且仅仅当当时时，等等号号成成立立.Cauchy大数学家柯西（Cauchy)法国数学家、力学家。1789年8月21日生于巴黎，1857年5月23日卒于索镇。曾为巴黎综合工科学校教授，当选为法国科学院院士。曾任国王查理十世的家庭教师。在中学数学中的主要贡献：1.对函数中的自变量命名，给出函数连续性的严格定义2.给出连续函数定积分定义，并简洁而严格证明微积分基本定理N-L公式3.对经典不等式的卓越贡献-如Cauchy不等式 Augustin-Louis Cauchy,a b c dR 若若，22222abc

3、dacbd二维形式的二维形式的柯西柯西不等式不等式Augustin-Louis Cauchy则则adbc 当当且且仅仅当当时时，等等号号成成立立.Cauchycos cos xy ,A a bO ,B c d 设设,是是两两个个向向量量，则则 当当且且仅仅当当 是是零零向向量量，,kk 或或存存在在实实数数使使时时，等等号号成成立立柯西柯西不等式的向量形式不等式的向量形式 ,a b ,c d ,a b c dR 若若，22222abcdacbd二维形式的柯西不等式二维形式的柯西不等式则则adbc 当当且且仅仅当当时时，等等号号成成立立.结构特点：实数结构特点：实数平方和的乘积不小于平方和的乘积

4、不小于实数实数乘积和的平方乘积和的平方讨论：讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法二维形式的柯西不等式的其它证明方法 22442xyab口答口答 222xyxyz 22223mnmxny2xa2y b12z24x29y 2222xyxy2122 222313xyxy ,x yR 2cossin_ab22ab 22222abcdacbd使用柯西不等式的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，使用柯西不等式的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式用柯西不等式 24422331

5、,.a bababab已已知知为为实实数数例例，证证明明根根据据柯柯西西证证明明：不不等等式式，有有 2442222332+=ababaa b bab柯柯西西不不等等式式的的简简单单应应用用：141,.a bRabab 1111设设，求求证证变变式式：24422331,.a bababab已已知知为为实实数数例例，证证明明,a bR 由由于于，根根据据柯柯西西不不证证明明：等等式式，有有 111142+=abababab柯柯西西不不等等式式的的简简单单应应用用：22222,.aba bRabba 设设，证证变变求求式式：141,.a bRabab 1111设设，求求证证变变式式：2442233

6、1,.a bababab已已知知为为实实数数例例，证证明明,a bR 由由于于，根根据据柯柯西西不不证证明明：等等式式，有有 2242+=abbaa bba柯柯西西不不等等式式的的简简单单应应用用：222abba22222,.aba bRabba 设设，证证变变求求式式：141,.a bRabab 1111设设，求求证证变变式式：24422331,.a bababab已已知知为为实实数数例例，证证明明柯柯西西不不等等式式的的简简单单应应用用：2223,)()().a bRx yRxyabxyab 变变设设，求求:(:(式式：证证22221,xyxy例例：已已知知求求的的最最小小值值.22221

7、4xyxy解解析析：2215 xy即即2215,xy 所所以以的的最最小小值值为为12255,.xyxy当当且且仅仅当当即即时时取取等等号号柯柯西西不不等等式式的的简简单单应应用用：课堂小课堂小 结结三、思想方法总结：三、思想方法总结：一、柯西不等式一、柯西不等式结构特点：结构特点：等号成立的条件：等号成立的条件：bcad 二、应用二、应用证明不等式证明不等式数形结合、等价转化数形结合、等价转化 .,.kk 当 且 仅 当中 有 零 向 量或 存 在 实 数使时 等 号 成 立向量形式向量形式平方和的乘积不小于乘积和的平方平方和的乘积不小于乘积和的平方 22222abcdacbd求最值求最值课后思考：课后思考：1、对于任何实数a,b,c,d,以下不等式成立吗？若成立，何时取等号？课后作业：课后作业：P36 3,4,52、根据二维形式的柯西不等式类比得到三维形式的柯西不等式2222acbdabcd2222acbdabcd