高中数学选修44曲线的参数方程课件.ppt

1、参数方程参数方程第二讲第二讲 .,.求求曲曲线线参参数数方方程程的的问问题题下下面面我我们们就就来来研研究究曲曲线线的的方方程程出出即即参参数数可可以以帮帮助助我我们们得得要要适适合合的的条条件件所所坐坐标标那那么么就就可可以以方方便便地地得得出出桥桥梁梁为为联联系系它它们们的的但但如如果果利利用用某某个个参参数数作作易易的的关关系系并并不不容容接接确确定定曲曲线线上上点点的的坐坐标标直直在在求求某某些些曲曲线线方方程程时时曲曲线线方方程程的的方方法法握握了了一一些些求求去去的的学学习习中中我我们们已已经经掌掌在在过过0 yxfyxyx曲线的参数方程曲线的参数方程一一参数方程的概念参数方程的概

2、念.1?),(./,如如何何确确定定投投放放时时机机呢呢飞飞行行员员应应计计空空气气阴阴力力不不落落于于灾灾区区指指定定地地面面投投放放的的救救援援物物资资准准确确为为使使作作水水平平直直线线飞飞行行的的速速度度高高处处以以救救援援飞飞机机离离地地面面一一架架如如图图探探究究smm10050012 12 图图.放物资过程放物资过程动画模拟投动画模拟投A500100m/sv yxOM22 图图 .,.,AyxA轴经过点线地平面与这个平面的交轴为其中直角坐标系建立于地平面的平面上且垂直直线飞行航线在经过将物资投出机舱设飞机在点如图22 .,.,关系式并不容易所要满足的所以建立种不同的运动得到的是由

3、两与高度由水平位移物资距地面的高度表示表示物资的水平位移则置为点时物资的位在时刻刻记物资投出机舱时为时yxyxyxyxMt0A500100m/sv yxOM22 图图.换个角度看问题.;/:,动的反方向作自由落体运沿度作匀速直线运动的速方向以沿种运动的合成它的运动是下列两舱后物资投出机由物理知识OysmOx100即离地面的高度它在水平方向的位移量在时刻物资出舱后,221500100gtytxt 221500100tgytx ./.289smgg 是重力加速度A500100m/sv yxOM22 图图.,mmmymxst3246003246006高度约为即物资水平位移量为时当比如 ,021500

4、02 gty即应有救援物资落地时 .,.,的位置就惟一确定了点确定时当是说就也值的惟一确定可以由值一个给定的取值范围内在yxMtyxtt.,.,.mxtst101010101010 得到代入把解得.,地点可以使其准确落在指定投放物资时平距离约为飞行员在离救援点的水所以m1010.,机还可以确定物资投放时位置一个时刻的可以确定物资投放后每由由上所述的函数的函数都是某个变数都是某个变数一点的坐标一点的坐标如果曲线上任意如果曲线上任意在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中一般地一般地tyx,tgytfx .,意义的变数意义的变数也可以是没有明显实际也可以是没有明显实际义或几何意义的变数义或几何意义的变

5、数可以是一个物理意可以是一个物理意的桥梁的桥梁参数是联系变数参数是联系变数yx由方程组由方程组的每一个允许值的每一个允许值并且对并且对,t .,.,系的方程叫做系的方程叫做直接给出点的坐标间关直接给出点的坐标间关而言而言数方程数方程相对参相对参简称简称叫做叫做的变数的变数联系变数联系变数就叫做这条曲线的就叫做这条曲线的程程那么方那么方都在这条曲线上都在这条曲线上所确定的点所确定的点tyxyxM参数方程参数方程参数参数参变参变数数通方程通方程普普数方程是数方程是已知曲线的参已知曲线的参例例1.,1232 tytx .为参数为参数t .,置关系置关系的位的位与曲线与曲线判断点判断点CMM45101

6、21 .,的值的值求求上上线线在曲在曲已知点已知点aCaM623 解得代入方程组的坐标把点解,1011M.,上在曲线所以CMt10 所以上在曲线因为点,CaM623.,12362 tat.,992 aat故解得.,上不在曲线故点这个方程组无解CM3,124352 tt 得方程组代入的坐标把点,452M圆的参数方程圆的参数方程2?,.,.中点的位置呢中点的位置呢怎样刻画运动怎样刻画运动那么那么图图速圆周运动速圆周运动物体中各个点都作匀物体中各个点都作匀定轴作匀速转动时定轴作匀速转动时当物体绕当物体绕常见的常见的圆周运动是生产生活中圆周运动是生产生活中32 32 图图.,.,.,)(,为为参参数数

7、因因此此可可以以取取惟惟一一确确定定的的位位置置由由时时刻刻点点显显然然建建立立直直角角坐坐标标系系轴轴所所在在的的直直线线为为为为原原点点以以圆圆心心转转动动的的角角速速度度为为绕绕点点点点动动上上作作匀匀速速圆圆周周运运按按逆逆时时针针方方向向在在圆圆出出发发置置时时的的位位从从初初始始位位置置点点的的半半径径是是设设圆圆如如图图ttMxOMOOMOtMMrO00042 .,tyxMt 那么那么坐标是坐标是转过的角度是转过的角度是点点如果在时刻如果在时刻rMOxy0M42 图图 .,tyxMt 那么那么坐标是坐标是转过的角度是转过的角度是点点如果在时刻如果在时刻 .,tyxMt 那么那么坐

8、标是坐标是转过的角度是转过的角度是点点如果在时刻如果在时刻有有那么由三角函数定义那么由三角函数定义设设,|rOM ,sin,cosrytrxt 即即 为参数为参数t.sin,costrytrx .,时刻时刻质点作匀速圆周运动的质点作匀速圆周运动的确的物理意义确的物理意义有明有明其中其中的圆的参数方程的圆的参数方程半径为半径为这是圆心在原点这是圆心在原点trO于是有于是有为参数为参数也可以取也可以取考虑到考虑到,t .为参数为参数.sin,cosryrx .,.,转转过过的的角角度度置置时时的的位位逆逆时时针针旋旋转转到到绕绕点点的的几几何何意意义义是是数数其其中中参参的的圆圆的的参参数数方方程

9、程半半径径为为这这也也是是圆圆心心在在原原点点00OMOMOOMrO.,.,.,.,值值范范围围要要注注明明参参数数及及参参数数的的取取数数方方程程时时在在建建立立曲曲线线的的参参另另外外相相同同的的却却可可以以是是们们表表示示的的曲曲线线它它形形式式不不同同的的参参数数方方程程形形式式数数方方程程也也可可以以有有不不同同的的因因此此得得到到的的参参参参数数可可以以选选取取不不同同的的变变数数为为一一条条曲曲线线同同一一般般地地圆圆有有不不同同的的参参数数方方程程由由于于选选取取的的参参数数不不同同 .,.,的轨迹的参数方程的轨迹的参数方程求点求点匀速圆周运动时匀速圆周运动时作作绕绕当点当点的

10、中点的中点是是轴上的定点轴上的定点是是是圆上的动点是圆上的动点径为径为的半的半圆圆如图如图例例MOPPQMxQPO062522 的参数方程是的参数方程是则圆则圆为参数为参数取取分析分析OxOP,.为参数为参数.sin,cosryrx .,.,为参数是合适的为参数是合适的选选于是于是定的定的决决的运动可以看成是由角的运动可以看成是由角点点所以所以运动运动从而使点从而使点也随之变动也随之变动线段线段上运动上运动在定圆在定圆动点动点变化时变化时当当MMPQOP。MOPyx 6,0Q52 图图。MOPyx 6,0Q52 图图 公式可得由中点坐标的坐标是则点的坐标是设点解.sin,cos,22PxOPy

11、xM .sinsin,coscos 223262yx的轨迹的参数方程是点所以M,.sin,cos yx3 为参数?,?,?,轨轨迹迹又又是是什什么么内内在在圆圆如如果果点点什什么么轨轨迹迹是是上上在在圆圆如如果果点点迹迹是是什什么么曲曲线线吗吗你你能能判判断断这这个个轨轨在在圆圆外外这这里里定定点点思思考考OQOQQ.,们们的的轨轨迹迹是是什什么么曲曲线线并并指指出出它它形形成成轨轨迹迹的的过过程程位位置置动动点点在在各各不不同同分分别别观观察察点点通通过过动动画画演演示示MQ化化参参数数方方程程和和普普通通方方程程互互.3由参数方程由参数方程上例中上例中,.sin,cos yx3 为参数为参

12、数 .,.,sin,cos,的圆的圆半径为半径为的轨迹是圆心在的轨迹是圆心在这就容易得出点这就容易得出点于是于是参数方程得参数方程得即由即由熟悉的普通方程熟悉的普通方程如果将参数方程转化为如果将参数方程转化为但但容易容易的轨迹的曲线类型并不的轨迹的曲线类型并不直接判断点直接判断点10313322MyxyxM .,曲线的类型曲线的类型有利于识别有利于识别普通方程普通方程将曲线的参数方程化为将曲线的参数方程化为 ,.,.那那么么的的关关系系求求出出另另一一个个变变数数与与参参数数它它代代入入普普通通方方程程把把例例如如的的关关系系中中的的一一个个与与参参数数如如果果知知道道变变数数参参数数方方程程

13、得得到到普普通通方方程程可可以以通通过过消消去去参参数数而而从从一一般般地地不不同同形形式式方方程程是是曲曲线线方方程程的的曲曲线线的的参参数数方方程程和和普普通通tgytfxtyx tgytfx ,.就就是是曲曲线线的的参参数数方方程程.,的的取取值值范范围围保保持持一一致致必必须须使使的的互互化化中中在在参参数数方方程程与与普普通通方方程程yx:,们们各各表表示示什什么么曲曲线线并并说说明明它它通通方方程程把把下下列列参参数数方方程程化化为为普普例例3 ,1111 xttx有由解;,tytx211 1 为为参参数数t.sin,cossin21 yx 2 为为参参数数62 图图O123xy1

14、-1-2-3-1.,3221 xyty得到代入 .,13211 xxytx普通方程是所以与参数方程等价的又 .,6211 图包括端点为端点的一条射线这是以 ,sincossinyxyx 2212得到后减去平方把 .,sincossin2242 xx所以又 .,222 xyx普通方程是所以与参数方程等价的 .72 图这是抛物线的一部分Oxy1-1-11222-372 图图 .示的点形成轨迹的过程示的点形成轨迹的过程观察直接由参数方程表观察直接由参数方程表2 .,;,cos:为参数为参数设设为参数为参数设设的参数方程的参数方程求椭圆求椭圆例例ttyxyx2231149422 ,cos,cos149

15、93122 yx得到代入椭圆方程把解 .sin,sincos2414222 yy即所以的参数方程是椭圆所以可取的任意性由参数149222 yxy,sin,为参数.sin,cos23 yx ,14492222 txty得代入椭圆方程把 .,2221319txtx 于是的参数方程是椭圆所以14922 yx,tytx2132 为参数t 为参数t,tytx2132?是椭圆的参数方程是椭圆的参数方程来才来才中的两个参数方程合起中的两个参数方程合起为什么例为什么例思考思考24.,中提出的问题中提出的问题思考思考在实验中理解在实验中理解通过动画演示通过动画演示归纳小结 参数方程的概念参数方程的概念 圆的参数方程圆的参数方程 参数方程和普通方程的互化参数方程和普通方程的互化（1）代入法：利用解方程的技巧求出参数）代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数然后代入消去参数（2）三角法：利用三角恒等式消去参数）三角法：利用三角恒等式消去参数（3）整体消元法：根据参数方程本身的结构特）整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去征，从整体上消去 练习1：求下列椭圆的参数方程：1416)1(22yx1128)2(22yx练习2：下列各参数方程各表示什么图形？)(sin9cos16)1(为参数yx)(sincos)2(为已知数为参数，mmymx