高中数学必修1同步课件：第2章函数214215.pptx

1、2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数的图象(选学)1.结合具体函数,了解函数的奇偶性的含义.2.会根据奇偶性的定义判断和证明函数的奇偶性.3.会利用奇偶性来研究函数的定义域、值域、解析式、单调性及函数的图象等.1231.奇、偶函数的概念 名师点拨在奇函数和偶函数的定义中,都要求xD,-xD,这就是说一个函数不论是奇函数还是偶函数,它的定义域一定关于坐标原点对称.名师点拨在奇函数和偶函数的定义中,都要求xD,-xD,这就是说一个函数不论是奇函数还是偶函数,它的定义域一定关于坐标原点对称.123A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数答案:C【做一做1-2】下列条件可

2、以说明函数y=f(x)是偶函数的是()A.在定义域内存在x,使得f(-x)=f(x)B.在定义域内存在x,使得f(-x)=-f(x)C.对定义域内任意x,都有f(-x)=-f(x)D.对定义域内任意x,都有f(-x)=f(x)答案:D123解析:满足奇函数的定义,满足偶函数的定义.答案:1232.奇函数、偶函数的图象特征(1)如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形;反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.(2)如果一个函数是偶函数,则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形;反之,如果一个函数的图象关于y轴对称,则

3、这个函数是偶函数.123答案:C【做一做2-2】函数f(x)是偶函数,则其图象()A.关于原点对称B.关于x轴对称C.关于y轴对称D.关于直线y=x对称答案:C1233.(选学)用计算机图形技术作函数图象的指令步骤(1)给自变量x赋值;(2)给出计算法则,求对应的y值;(3)由x和对应的y值组成有序数对集合;(4)建立直角坐标系,并根据有序数对,在直角坐标系中作出对应的点集;(5)通过这些点集描出函数的图象.注意:只要函数的表达式已知,就能画出函数的图象.一、解读函数的奇偶性剖析:(1)函数的奇偶性与单调性的差异.奇偶性是函数在定义域上的对称性,单调性是反映函数在某一区间上函数值的变化趋势.奇

4、偶性是相对于函数的整个定义域来说的,这一点与函数的单调性不同,从这个意义上来讲,函数的单调性是函数的“局部”性质,而奇偶性是函数的“整体”性质,只有对定义域中的每一个x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x),才能说f(x)是奇(偶)函数.(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.由函数奇偶性的定义知,若x是定义域中的一个数值,则-x必然在定义域中,因此,函数y=f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称.换言之,若所给函数的定义域不关于原点对称,则函数一定不具有奇偶性.如函数y=2x在(-,+)内是奇函数,但在-2,3上不具有奇偶性.(3)根据函数

5、奇偶性的定义,函数可分为奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数又是偶函数.当函数f(x)的定义域不关于原点对称,或虽然定义域关于原点对称,但f(-x)f(x)且f(-x)-f(x)时,f(x)是非奇非偶函数.尤其要注意f(x)=0,xA,若定义域A关于原点对称,则它既是奇函数又是偶函数.(4)若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有意义,则一定有f(0)=0.但要注意,反之结论是不一定成立的.(5)若函数f(x)是偶函数,则有f(x)=f(-x)=f(|x|).知识拓展奇函数在其对称区间上的单调性相同,偶函数在其对称区间上的单调性相反;若奇函数f(x)在区间a,b(0ab)上有最大值M,最小值

6、m,则f(x)在区间-b,-a上的最大值为-m,最小值为-M;偶函数f(x)在区间a,b,-b,-a(0ab)上有相同的最大(小)值.二、判断函数奇偶性的几种方法剖析:判断函数的奇偶性,常用的有定义法、图象法、性质法.(1)根据函数奇偶性的定义判断,其基本步骤为:求函数的定义域并考察定义域是否关于原点对称.若函数没有标明定义域,应先找到使函数有意义的x的集合,因为它是判断函数奇偶性的一个重要依据.如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称,那么这个函数既不是奇函数,也不是偶函数.例如,函数f(x)=x4+1,x-1,2,因为它的定义域不关于原点对称,当1x2时,f(-x)没有定义,所以它不符合奇函

7、数、偶函数的定义,故f(x)=x4+1,x-1,2是非奇非偶函数.若定义域关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.这是因为定义域关于原点对称的函数也不一定是奇(偶)函数.例如,f(x)=x2+x,g(x)=x3+1,它们的定义域都是R,因为f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-xf(x)(或-f(x),所以它是非奇非偶函数.同理可证g(x)=x3+1也是非奇非偶函数.得出结论.(2)借助函数的图象判断奇偶性.例如,奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称等,从而直观地判断函数的奇偶性.(3)根据性质来判断函数的奇偶性,偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的

8、和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(注:利用上述结论要注意各函数的定义域)特别地,F1(x)=f(x)+f(-x)为偶函数,F2(x)=f(x)-f(-x)为奇函数.题型一题型二题型三题型四题型五【例1】判断下列函数是奇函数还是偶函数,并说明理由.(1)f(x)=x3+2x;(2)f(x)=x2-|x|+1;(3)f(x)=(x+4)2;(4)f(x)=|x-3|-|x+3|;分析:用定义判断函数的奇偶性时,先看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系,从而判断函数的奇偶性.题型一题型二题型三题型四题型五

9、解:(1)函数的定义域为R,关于原点对称.又因为f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-(x3+2x),即f(-x)=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.(2)函数的定义域为R,关于原点对称.又因为f(-x)=(-x)2-|-x|+1=x2-|x|+1,即f(-x)=f(x),所以函数f(x)是偶函数.(3)函数定义域为R,关于原点对称.又因为f(-x)=(-x+4)2=(x-4)2f(x),且f(-x)-f(x),所以函数f(x)是非奇非偶函数.题型一题型二题型三题型四题型五(4)函数定义域为R,关于原点对称.又因为f(-x)=|-x-3|-|-x+3|=|x+3|-|x-3|

10、=-(|x-3|-|x+3|)=-f(x).所以函数f(x)是奇函数.(5)因为函数的定义域为x|x1,不关于原点对称,所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.于是x2=16,即x=4.故函数定义域为4,-4,关于原点对称.又因为当x4,-4时,f(x)=0,所以f(-x)=f(x)=-f(x).所以函数f(x)既是奇函数,也是偶函数.题型一题型二题型三题型四题型五反思判断函数奇偶性的主要依据就是奇偶性的定义.若一个函数是非奇非偶函数,有时只要说明它的定义域不关于原点对称即可.例如,本例中的(5)小题,在x1时,虽有题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型

11、三题型四题型五【例2】(1)如图给出偶函数y=f(x)的局部图象,则f(1)+f(-2)的值是.(2)若奇函数f(x)的定义域为-5,5,其y轴右侧的图象如图所示,则f(x)0的x的取值集合为.分析:根据奇函数、偶函数图象的对称性解题.题型一题型二题型三题型四题型五(2)奇函数f(x)在-5,5上的图象如图所示,由图象可知,当x(2,5)时,f(x)0;当x(-5,-2)时,f(x)0;当x(-2,0)时,f(x)0;因此,使f(x)0的x的取值集合为x|-2x0或2x5.答案:(1)2(2)x|-2x0或2x5题型一题型二题型三题型四题型五反思函数奇偶性反映到图象上是图象的对称性,因而当问题

12、涉及奇函数或偶函数的有关问题时,不妨利用图象的对称性来解决,或者研究关于原点对称的区间上的函数值的有关规律即可.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练2】若f(x)是奇函数,且点(1,-4)在其图象上,则下列各点中在f(x)图象上的是()A.(1,4)B.(-4,1)C.(-1,-4)D.(-1,4)解析:点(1,-4)关于原点对称的点是(-1,4)也在函数图象上.答案:D题型一题型二题型三题型四题型五分析:因为f(x)是奇函数,所以f(-1)=-f(1),故只需求f(1)即可.反思充分利用奇函数的性质,无需求出当x-5,0时f(x)的解析式,通过转化只需求f(1)的值即可.题型一题型二题型

13、三题型四题型五答案:-6 题型一题型二题型三题型四题型五(2)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,其定义域为a-1,2a,求a,b的值.分析:对于(1),可根据奇函数的定义列出关于m的方程求解,也可采用特殊值法f(0)=0求解;对于(2),先由定义域的对称性求出a的值,再根据偶函数的定义求b的值.题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五反思已知函数f(x)是奇函数或偶函数,求f(x)解析式中的参数值问题,通常有两种解法,一是直接根据奇函数或偶函数定义的等价形式,建立关于参数的等式求值;二是采用取特殊值的方法求出参数值,然后再代入验证

14、.特别地,当f(x)是在原点有定义的奇函数时,可利用f(0)=0求得参数值.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练4】若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=.解析:依题意,f(-x)=f(x)恒成立,即x2-|-x+a|=x2-|x+a|恒成立,即|x-a|=|x+a|恒成立.故a=0.答案:0题型一题型二题型三题型四题型五【例5】若f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x(1-x),求当x0时,函数f(x)的解析式.分析:利用奇函数满足f(-x)=-f(x),将x0上.解:当x0时,-x0,因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-(-x)1-(-x)=

15、x(1+x),当x=0时,f(0)=-f(0),即f(0)=0.所以当x0时,f(x)=x(1+x).反思注意求哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x,然后把x转化为-x,则-x为另一已知解析式的区间上的变量,通过互化,求得所求区间上的解析式.题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五(1)确定函数f(x)的解析式;(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数;(3)解不等式f(t-1)+f(t)0.(2)利用函数单调性的定义证明;(3)先将f(t-1)+f(t)0等价化归为f(t-1)-f(t)=f(-t),再利用单调性将抽象不等式化为具体不等式.题型一题型二题型三题

16、型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五(3)解:由f(t-1)+f(t)0,且f(x)为奇函数,得f(t-1)-f(t)=f(-t).又f(x)在(-1,1)上是增函数,反思函数的单调性、奇偶性是函数的重要性质,这两部分内容与函数的其他性质经常结合在一起,出现一些难度较大的综合题.解题的关键是化归思想及数形结合思想的充分利用.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练6】已知函数f(x)在R上是偶函数,且在(-,0上是单调递减的,试比较f(3)与f()的大小.解:方法一:f(x)是偶函数,且在(-,0上是单调递减的,f(x)在(0,+)上是单调递增的.又3,f(3)-,f(-3)f(-),即f

17、(3)f().题型一题型二题型三题型四题型五 正解:要使函数f(x)有意义,应满足x-20,即x2,即函数f(x)的定义域为x|x2,显然定义域不关于原点对称,故f(x)是非奇非偶函数.题型一题型二题型三题型四题型五解:显然f(-3)=0,但f(3)无意义,即函数定义域不关于原点对称,故f(x)是非奇非偶函数.1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6答案:A 1 2 3 4 5 63有下列说法:偶函数的图象一定与y轴相交;若y=f(x)是奇函数,则由f(-x)=-f(x)可知f(0)=0;既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0,xR;若一个图形关于y轴成轴对称,则该图形一定是偶函数的

18、图象.其中不正确的是()A.B.C.D.解析:中可举反例f(x)=x2+2,x(-,-2)(2,+);中f(x)在x=0处可能无定义;中也可以是f(x)=0,xA(A为关于原点对称的数集);中该图形可能不是函数的图象.故均错误.答案:D1 2 3 4 5 64设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是()A.f(x)+|g(x)|是偶函数B.f(x)-|g(x)|是奇函数C.|f(x)|+g(x)是偶函数D.|f(x)|-g(x)是奇函数1 2 3 4 5 6解析:因为函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x

19、).令F(x)=f(x)+|g(x)|,F(-x)=f(-x)+|g(-x)|=f(x)+|-g(x)|=f(x)+|g(x)|=F(x).故F(x)为偶函数,即f(x)+|g(x)|是偶函数.答案:A1 2 3 4 5 65若f(x)是奇函数,当x0时,f(x)=3x2-4x,则f(1)=.解析:f(1)=-f(-1)=-3(-1)2-4(-1)=-7.答案:-71 2 3 4 5 66如果奇函数f(x)在区间3,7上是增函数,且最小值是5,那么f(x)在区间-7,-3上的最(填“大”或“小”)值为.解析:根据奇函数在对称区间上的单调性一致,且函数图象关于原点对称,可得f(x)在-7,-3上为增函数,且在-3处取得最大值为f(-3)=-f(3)=-5.答案:大-5