高中数学参数方程课件.ppt

1、第二节参 数 方 程【教材基础回顾教材基础回顾】1.1.曲线的参数方程曲线的参数方程在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标如果曲线上任意一点的坐标x,yx,y都是某个变数都是某个变数t t的函数的函数 并且对于并且对于t t的每一个的每一个 xf t,yg t,允许值允许值,由这个方程组所确定的点由这个方程组所确定的点M(x,y)M(x,y)都在这条曲线都在这条曲线上上,那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系联系变数变数x,yx,y的变数的变数t t叫做叫做_,_,简称简称_._.相对于参数方程而言相对于参数方程而言,直接给出

2、点的坐标间关系的方程直接给出点的坐标间关系的方程F(x,y)=0F(x,y)=0叫叫_方程方程.参变数参变数参数参数普通普通2.2.参数方程和普通方程的互化参数方程和普通方程的互化(1)(1)参数方程化普通方程参数方程化普通方程:利用两个方程相加、减、乘、利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数除或者代入法消去参数.(2)(2)普通方程化参数方程普通方程化参数方程:如果如果x=f(t),x=f(t),把它代入普通方把它代入普通方程程,求出另一个变数与参数的关系求出另一个变数与参数的关系y=g(t),y=g(t),则得曲线的则得曲线的参数方程参数方程 xftygt.（），（）3.3.直线、

3、圆与椭圆的普通方程和参数方程直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程轨迹轨迹普通方程普通方程参数方程参数方程直线直线y yy y0 0=tan(x=tan(xx x0 0)(，点斜式，点斜式)_(t(t为参数为参数)200 xxtcos,yytsin轨迹轨迹普通方程普通方程参数方程参数方程圆圆(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2 _(为参数为参数)椭圆椭圆 =1(ab0)=1(ab0)_(为参数为参数)xarcos,ybrsinxacos,ybsin2222xyab【金榜状元笔记金榜状元笔记】1.1.参数方程化普通方程参数方程化普通方程(1)(1)常用技巧常用技巧:

4、代入消元、加减消元、平方后加减消元等代入消元、加减消元、平方后加减消元等.(2)(2)常用公式常用公式:cos:cos 2 2+sin+sin 2 2=1,1+tan=1,1+tan 2 2=21.cos 2.2.直线参数方程的标准形式的应用直线参数方程的标准形式的应用过点过点M M0 0(x(x0 0,y,y0 0),),倾斜角为倾斜角为的直线的直线l的参数方程是的参数方程是 若若M M1 1,M,M2 2是是l上的两点上的两点,其对应参数分别其对应参数分别为为t t1 1,t,t2 2,则则(1)|M(1)|M1 1M M2 2|=|t|=|t1 1-t-t2 2|.|.00 xxtcos

5、,yytsin.(2)(2)若线段若线段M M1 1M M2 2的中点的中点M M所对应的参数为所对应的参数为t,t,则则t=t=中点中点M M到定点到定点M M0 0的距离的距离|MM|MM0 0|=|t|=|=|t|=(3)(3)若若M M0 0为线段为线段M M1 1M M2 2的中点的中点,则则t t1 1+t+t2 2=0.=0.12tt2，12tt|.2【教材母题变式教材母题变式】1.1.把下列参数方程化为普通方程把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什并说明它们各表示什么曲线么曲线?(1)(1)(t(t为参数为参数)(2)(2)(为参数为参数)x3t2,yt1 x5cos,

6、y4sin【解析解析】(1)(1)由由y=t-1y=t-1得得t=y+1,t=y+1,代入代入x=3t+2x=3t+2得得x=3(y+1)+2,x=3(y+1)+2,故所求普通方程为故所求普通方程为x-3y-5=0,x-3y-5=0,这是一条这是一条直线直线.(2)(2)曲线方程化为曲线方程化为 所以所以 这是椭圆这是椭圆.xcos,5ysin,422xy12516，2.2.已知曲线已知曲线C C的参数方程是的参数方程是 (t(t为参数为参数,aR),aR),点点M(-3,4)M(-3,4)在曲线在曲线C C上上.(1)(1)求常数求常数a a的值的值.(2)(2)判断点判断点P(1,0),Q

7、(3,-1)P(1,0),Q(3,-1)是否在曲线是否在曲线C C上上?2x12t,yat【解析解析】(1)(1)将将M(-3,4)M(-3,4)的坐标代入曲线的坐标代入曲线C C的参数方程的参数方程 消去参数消去参数t,t,得得a=1.a=1.22x12t,312t,yat4at 得(2)(2)由由(1)(1)可得可得,曲线曲线C C的参数方程是的参数方程是 把点把点P P的坐标的坐标(1,0)(1,0)代入方程组代入方程组,解得解得t=0,t=0,因此因此P P在曲线在曲线C C上上,把点把点Q Q的坐标的坐标(3,-1)(3,-1)代入方程组代入方程组,得到得到 这这个方程组无解个方程组

8、无解,因此点因此点Q Q不在曲线不在曲线C C上上.2x12t,yt,2312t,1t 3.3.已知点已知点P P是椭圆是椭圆 +y+y2 2=1=1上任意一点上任意一点,求点求点P P到直到直线线l:x+2y=0:x+2y=0的距离的最大值的距离的最大值.2x4【解析解析】因为椭圆因为椭圆 +y+y2 2=1=1的参数方程为的参数方程为 (为参数为参数),),故可设点故可设点P P的坐标为的坐标为(2cos(2cos,sin,sin),),又直线又直线l:x+2y=0.x+2y=0.2x4x2cos,ysin因此点因此点P P到直线到直线l的距离的距离d=d=又又0,2),0,2),所以所以

9、d dmaxmax=即点即点P P到直线到直线l:x+2y=0:x+2y=0的距离的最大值为的距离的最大值为 222 2|sin()|2cos2sin|4.5122 22 1055，2 10.5【母题变式溯源母题变式溯源】题号题号知识点知识点源自教材源自教材1 1参数方程化普通方程参数方程化普通方程P25P25例例3 32 2用参数方程研究点与曲用参数方程研究点与曲线的位置关系线的位置关系P22P22例例1 13 3参数方程研究最值问题参数方程研究最值问题P28P28例例1 1考向一考向一 参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程的互化【典例典例1 1】将下列参数方程化为普通方程将下列参数方

10、程化为普通方程.221xt1(t).1yt1tx2sin 2().y1 cos 2 ，为参数为参数【解析解析】(1)(1)由由t t2 2-10-10t1t1或或t-1t-10 x10 x1或或-1x0.-1x0,0,所以所以t t1 1t t2 2=-11,=-11,即即|PA|PA|PB|=11.|PB|=11.3x1t,21y2t2 2231(1t)(2t)1622，3考向三考向三 极坐标方程和参数方程的综合应用极坐标方程和参数方程的综合应用 高频考点高频考点【典例典例3 3】(1)(2017(1)(2017全国卷全国卷)在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中中,直线直线l1 1的参数方

11、程为的参数方程为 (t(t为参数为参数),),直线直线l2 2的参数的参数方程为方程为 (m(m为参数为参数).).设设l1 1与与l2 2的交点为的交点为P,P,当当k k变化时变化时,P,P的轨迹为曲线的轨迹为曲线C.C.世纪金榜导学号世纪金榜导学号1256038312560383x2tykt，x2mmyk ，写出写出C C的普通方程的普通方程;以坐标原点为极点以坐标原点为极点,x,x轴正半轴为极轴建立极坐标系轴正半轴为极轴建立极坐标系,设设l3 3:(cos+sin)-:(cos+sin)-=0,M=0,M为为l3 3与与C C的交点的交点,求求M M的极径的极径.2(2)(2018(2

12、)(2018衡水模拟衡水模拟)已知曲线已知曲线C C的极坐标方程是的极坐标方程是2 2=4cos+6sin-12.=4cos+6sin-12.以极点为原点以极点为原点,极轴为极轴为x x轴的正半轴建立平面直角坐标轴的正半轴建立平面直角坐标系系,直线直线l的参数方程为的参数方程为 (t(t为参数为参数).).1x2t,23y1t2 写出直线写出直线l的普通方程与曲线的普通方程与曲线C C的直角坐标方程的直角坐标方程,并判并判断它们的位置关系断它们的位置关系;将曲线将曲线C C向左平移两个单位向左平移两个单位,再向下平移三个单位得再向下平移三个单位得到曲线到曲线D,D,设曲线设曲线D D经过伸缩变

13、换经过伸缩变换 得到曲线得到曲线E,E,设曲线设曲线E E上任一点为上任一点为M(x,y),M(x,y),求求 的取值范围的取值范围.xx,y2y 13xy2【解析解析】(1)(1)直线直线l1 1的普通方程为的普通方程为y=k(x-2),y=k(x-2),直线直线l2 2的普通方程为的普通方程为x=-2+ky,x=-2+ky,消去消去k k得得x x2 2-y-y2 2=4,=4,即即C C的普通方程为的普通方程为x x2 2-y-y2 2=4.=4.l3 3的直角坐标方程为的直角坐标方程为x+y=x+y=联立联立 所以所以2 2=x=x2 2+y+y2 2=所以所以l3 3与与C C的交点

14、的交点M M的极径为的极径为 2,223 2xxy22xy42y.2，得，1825,445.(2)(2)直线直线l的普通方程为的普通方程为 曲线曲线C C的的直角坐标方程为直角坐标方程为(x-2)(x-2)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=1.=1.因为因为 所以直线所以直线l和曲线和曲线C C相切相切.3xy2 310,2|2332 31|1,31 曲线曲线D D为为x x2 2+y+y2 2=1,=1,曲线曲线D D经过伸缩变换经过伸缩变换 得到曲线得到曲线E E的方程为的方程为x x2 2+=1.+=1.则其参数方程为则其参数方程为 (为参数为参数),),代入代入 得得,xx,y2y

15、 2y4xcos,y2sin13xy2 所以所以 的取值范围为的取值范围为-2,2.-2,2.13xy3cossin2sin(),23 13xy2在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中,椭圆椭圆C C的方程为的方程为 (为参数为参数).).求过椭圆的右焦点求过椭圆的右焦点,且与直线且与直线 (t(t为参数为参数)垂直的直线垂直的直线l的普通方程的普通方程;求椭圆求椭圆C C的内接矩形的内接矩形ABCDABCD面积的最大值面积的最大值.x4cosy7sin，x42ty3t，【解析解析】椭圆方程为椭圆方程为 椭圆的右焦点为椭圆的右焦点为(3,0),(3,0),已知直线的斜率已知直线的斜率

16、k=,k=,于是所求直线于是所求直线l的方程的方程可设为可设为y=-2x+b,y=-2x+b,又直线过又直线过(3,0)(3,0)所以所求直线方程为所以所求直线方程为:y=-2x+6.:y=-2x+6.22xy1,16712设设A(4cos A(4cos,sin,sin),),则椭圆则椭圆C C的内接矩形的内接矩形ABCDABCD面积面积S=4|xy|=16|sin S=4|xy|=16|sin coscos|=8|sin 2|=8|sin 2|,|,面积最大为面积最大为8 .8 .7777【技法点拨技法点拨】极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略(1)(

17、1)求交点坐标、距离、线段长求交点坐标、距离、线段长.可先求出直角坐标系可先求出直角坐标系方程方程,然后求解然后求解.(2)(2)判断位置关系判断位置关系.先转化为平面直角坐标方程先转化为平面直角坐标方程,然后再然后再作出判断作出判断.(3)(3)求参数方程与极坐标方程综合的问题求参数方程与极坐标方程综合的问题.一般是先将一般是先将方程化为直角坐标方程方程化为直角坐标方程,利用直角坐标方程来研究问题利用直角坐标方程来研究问题.【同源异考同源异考金榜原创金榜原创】命题点命题点1 1求交点坐标、距离、线段长求交点坐标、距离、线段长1.1.在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中中,以坐标原点以坐标原

18、点O O为极点为极点,x,x轴正半轴轴正半轴为极轴建立极坐标系为极轴建立极坐标系,曲线曲线C C1 1:2 2-4cos+3=0,-4cos+3=0,0,20,2,曲线曲线C C2 2:=:=0,20,2.3,4sin()6(1)(1)求曲线求曲线C C1 1的一个参数方程的一个参数方程.(2)(2)若曲线若曲线C C1 1和曲线和曲线C C2 2相交于相交于A,BA,B两点两点,求求|ABAB|的值的值.【解析解析】(1)(1)由由2 2-4cos+3=0-4cos+3=0可知可知:x:x2 2+y+y2 2-4x+3=0,-4x+3=0,所以所以(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=1

19、.=1.令令x-2=cos,y=sin;x-2=cos,y=sin;所以所以C C1 1的一个参数方程为的一个参数方程为 (R).(R).x2cosysin，(2)C(2)C2 2:所以所以 即即2x-3=0,2x-3=0,因为直线因为直线2x-3=02x-3=0与圆与圆(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=1=1相交于相交于A,BA,B两点两点,4(sincoscossin)366 ，134(xy)322，2 3y2 3y所以圆心到直线的距离为所以圆心到直线的距离为d=d=所以所以 14，211515AB21()2.442命题点命题点2 2判断位置关系判断位置关系2.2.在极坐标系中在极

20、坐标系中,已知三点已知三点O(0,0),O(0,0),(1)(1)求经过求经过O,A,BO,A,B的圆的圆C C1 1的极坐标方程的极坐标方程.(2)(2)以极点为坐标原点以极点为坐标原点,极轴为极轴为x x轴的正半轴建立平面轴的正半轴建立平面直角坐标系直角坐标系,圆圆C C2 2的参数方程为的参数方程为(是参数是参数),),若圆若圆C C1 1与圆与圆C C2 2外切外切,求实数求实数a a的值的值.A(2),B(2 2,).24，x1 acos,y1 asin 【解析解析】(1)O(0,0),(1)O(0,0),对应的直对应的直角坐标分别为角坐标分别为O(0,0),A(0,2),B(2,2

21、),O(0,0),A(0,2),B(2,2),则过则过O,A,BO,A,B的圆的普通方程为的圆的普通方程为x x2 2+y+y2 2-2x-2y=0,-2x-2y=0,又因为又因为代入可求得经过代入可求得经过O,A,BO,A,B的圆的圆C C1 1的极坐标方程为的极坐标方程为=A(2),B(2 2,)24，xcosysin ，2 2cos().4(2)(2)圆圆C C2 2:(:(是参数是参数)对应的普通方程为对应的普通方程为(x+1)(x+1)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=a=a2 2,当圆当圆C C1 1与圆与圆C C2 2外切时外切时,有有 +|a|=2 ,+|a|=2 ,解得解

22、得a=a=.x1 acos,y1 asin 222命题点求最值和取值范围问题命题点求最值和取值范围问题 (2018(2018唐山模拟唐山模拟)在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中中,曲线曲线C C1 1:x+y=4,:x+y=4,曲线曲线C C2 2:(为参数为参数),),以坐标原点以坐标原点O O为极为极点点,x,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系轴的正半轴为极轴建立极坐标系.x1 cosysin，(1)(1)求曲线求曲线C C1 1,C,C2 2的极坐标方程的极坐标方程.(2)(2)若射线若射线l:=(0):=(0)分别交分别交C C1 1,C,C2 2于于A,BA,B两点两点,求求 的最大

23、值的最大值.OBOA【解析解析】(1)(1)因为在直角坐标系因为在直角坐标系xOyxOy中中,曲线曲线C C1 1:x+y=4,:x+y=4,曲线曲线C C1 1的极坐标方程为的极坐标方程为(cos+sin)=4,(cos+sin)=4,C C2 2的普通方程为的普通方程为(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=1,=1,所以曲线所以曲线C C2 2的极坐标方程为的极坐标方程为=2cos.=2cos.(2)(2)设设A(A(1 1,),B(,),B(2 2,),),则则1 1=2 2=2cos,=2cos,2cos(cos+sin)2cos(cos+sin)42 ，4,cossin21OB1

24、OA4 当当=时时,取得最大值取得最大值 11(cos 2sin 21)2cos(2)1444，8OBOA121.4（）核心素养系列（七十四）核心素养系列（七十四）数学建模数学建模参数方程中的核心素养参数方程中的核心素养建立有关曲线的参数方程建立有关曲线的参数方程,研究解析几何中位置关研究解析几何中位置关系、交点坐标、弦长和最值问题系、交点坐标、弦长和最值问题.【典例典例】(2016(2016全国卷全国卷)在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中中,曲线曲线C C1 1的参数方程为的参数方程为 (t(t为参数为参数,a0).,a0).在以坐标在以坐标原点为极点原点为极点,x,x轴正半轴为极轴的极

25、坐标系中轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线曲线C C2 2:=4cos.:=4cos.xacos ty 1asin t，(1)(1)说明说明C C1 1是哪一种曲线是哪一种曲线,并将并将C C1 1的方程化为极坐标方的方程化为极坐标方程程.(2)(2)直线直线C C3 3的极坐标方程为的极坐标方程为=0 0,其中其中0 0满足满足tan tan 0 0=2,=2,若曲线若曲线C C1 1与与C C2 2的公共点都在的公共点都在C C3 3上上,求求a.a.【解析解析】(1)(1)消去参数消去参数t t得到得到C C1 1的普通方程为的普通方程为x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=a=a2

26、 2.C.C1 1是以是以(0,1)(0,1)为圆心为圆心,a,a为半径的圆为半径的圆.将将x=cos,y=sin x=cos,y=sin 代入代入C C1 1的普通方程中的普通方程中,得到得到C C1 1的极坐标方程为的极坐标方程为2 2-2sin+1-a-2sin+1-a2 2=0.=0.(2)C(2)C2 2:=4cos,:=4cos,两边同乘两边同乘,得得2 2=4cos,=4cos,因为因为2 2=x=x2 2+y+y2 2,cos=x,cos=x,所以所以x x2 2+y+y2 2=4x.=4x.即即(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=4.=4.C C3 3:化为直角坐标方程为化为直角坐标方程为y=2x,y=2x,由题意由题意:C:C1 1和和C C2 2的公共弦所在直线即为的公共弦所在直线即为C C3 3.-得得:4x-2y+1-a:4x-2y+1-a2 2=0,=0,即为即为C C3 3,所以所以1-a1-a2 2=0,=0,所以所以a=1.a=1.