高中数学人教A版选修47第一讲优选法三黄金分割法-0618法名校课件（集体备课）.pptx

1、知识回顾知识回顾记忆记忆1.单峰函数单峰函数(1)f(x)在在a,b上只有唯一的最大（小）值点上只有唯一的最大（小）值点C;(2)f(x)在在a,c上递增（减），在上递增（减），在C，b上递减上递减（增）（增）.2.最佳点、好点、差点最佳点、好点、差点若目标函数为单峰函数，则最佳点与好点必在若目标函数为单峰函数，则最佳点与好点必在差点的同侧差点的同侧.3.存优范围存优范围我们以差点为分界点，把因素分为分成两部分，我们以差点为分界点，把因素分为分成两部分，并称好点所在的部分为并称好点所在的部分为存优范围存优范围.新课导入新课导入 对于一般的单峰函数，对于一般的单峰函数，如何安排试点才能迅速找到如

2、何安排试点才能迅速找到最佳点？最佳点？对于单峰函数，在同侧，离最佳点对于单峰函数，在同侧，离最佳点越近的点越是好点，且最佳点与好点必越近的点越是好点，且最佳点与好点必在差点的同侧由此，可按如下想法安在差点的同侧由此，可按如下想法安排试点排试点:先在因素范围先在因素范围 a a,b b 内任选两内任选两点各做一次试验，根据试验结果确定差点各做一次试验，根据试验结果确定差点与好点，在差点处把点与好点，在差点处把 a a,b b 分成两段，分成两段，截掉不含好点的一段，留下存优范围截掉不含好点的一段，留下存优范围 a a1,b b1，显然有，显然有 a a1,b b1 a a,b b；再在再在a1,

3、b1内任选两点各做一次试验，内任选两点各做一次试验，并与上次的好点比较，确定新的好点和新的并与上次的好点比较，确定新的好点和新的差点，并在新的差点处把差点，并在新的差点处把a1,b1分成两段，分成两段，截掉不包含新好点的那段，留下新的存优范截掉不包含新好点的那段，留下新的存优范围围a2,b2，同样有同样有a2,b2 a1,b1 重复重复上述步骤，可使存优范围逐步缩小上述步骤，可使存优范围逐步缩小.在这种方法中，试点的选取是任意的在这种方法中，试点的选取是任意的,只要试点在前一次留下的范围内就行了只要试点在前一次留下的范围内就行了.这这种任意性会给寻找最佳点的效率带来影响种任意性会给寻找最佳点的

4、效率带来影响.例如，假设因素区间为例如，假设因素区间为0,10,1，取两个，取两个试点试点2/102/10、1/101/10，那么对峰值在，那么对峰值在(0,1/10)(0,1/10)中中的单峰函数，两次试验便去掉了长度为的单峰函数，两次试验便去掉了长度为4/54/5的的区间区间(图图1)1)；但对于峰值在；但对于峰值在(2/10,1)(2/10,1)的函数，的函数，只能去掉长度为只能去掉长度为1/101/10的区间的区间(图图2)2)，试验效率，试验效率就不理想了就不理想了.图图 1-5教学目标教学目标1.1.知识与技能知识与技能 （1 1）了解如何选取合理的）了解如何选取合理的试验点试验点

5、.（2 2）掌握黄金分割分割常数的推导过）掌握黄金分割分割常数的推导过程程.（3 3）理解并掌握黄金分割法的概念）理解并掌握黄金分割法的概念.（4 4）掌握黄金分割法的具体操作方法）掌握黄金分割法的具体操作方法.2.2.过程与方法过程与方法 通过演示黄金分割常数的求导过程，通过演示黄金分割常数的求导过程，来得出黄金分割法的概念，利用黄金分割来得出黄金分割法的概念，利用黄金分割法的具体操作来寻找最佳点法的具体操作来寻找最佳点.3.3.情感态度与价值观情感态度与价值观 学会利用优选法中的黄金分割法来寻学会利用优选法中的黄金分割法来寻找最佳点解决优选问题，掌握一种解决优找最佳点解决优选问题，掌握一种

6、解决优选问题的科学方法选问题的科学方法.教学重难点教学重难点1.1.教学重点教学重点 通过实例概括出通过实例概括出0.6180.618法的基本思法的基本思想和步骤，能用想和步骤，能用0.6180.618法解决一些实际法解决一些实际问题，体会优选思想问题，体会优选思想.2.2.教学难点教学难点 概括出概括出x x n n=小小+大大-x-x m.m.本节导航本节导航一、黄金分割常数一、黄金分割常数二、黄金分割法二、黄金分割法 怎样选取各个试点，可以最怎样选取各个试点，可以最快地达到或接近最佳点快地达到或接近最佳点?议一议议一议我们希望能我们希望能“最快最快”找到或接近最找到或接近最佳点的方法不只

7、针对某个具体的单峰函佳点的方法不只针对某个具体的单峰函数数，而是对这类函数有普遍意义而是对这类函数有普遍意义.由于在由于在试验之前无法预先知道哪一次试验效果试验之前无法预先知道哪一次试验效果好，哪一次差，即这两个试点有同样的好，哪一次差，即这两个试点有同样的可能性作为因素范围可能性作为因素范围a,b的分界点的分界点，所所以为了克服盲目性和侥幸心理以为了克服盲目性和侥幸心理，在安排在安排试点时，试点时，最好使两个试点关于最好使两个试点关于a,b的中的中心心(a+b)/2对称对称.同时，为了尽快找到最佳点，每次截同时，为了尽快找到最佳点，每次截去的区间不能太短，但是也不能很长去的区间不能太短，但是

8、也不能很长.因因为为了一次截得足够长，就要使两个试点为为了一次截得足够长，就要使两个试点x1 1和和x2 2与与(a+b)/2足够近，这样，第一次可足够近，这样，第一次可以截去以截去a,b的将近一半的将近一半.但是按照对称原但是按照对称原则，做第三次试验后就会发现，以后每次则，做第三次试验后就会发现，以后每次只能截去很小的一段，结果反而不利于很只能截去很小的一段，结果反而不利于很快接近最佳点快接近最佳点.为了使每次去掉的区间有一定的为了使每次去掉的区间有一定的规律性，我们这样来考虑：规律性，我们这样来考虑：每次舍去每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相同的区间占舍去前的区间的比例数相同.下面进

9、一步分析如何按上述两个原下面进一步分析如何按上述两个原则确定合适的试点则确定合适的试点.,2 2,1 1,12211221x xb baxb ba axxxxxx-=-即即的中心对称的中心对称关于关于且且和和试点分别为试点分别为第第试点试点设第设第如图如图abx1x2ax1x2x3 显然显然,不论点不论点x2(或点或点x2 2)是好点还是好点还是差点，由对称性，舍去的区间长度是差点，由对称性，舍去的区间长度等于等于b-x1 1.不妨设行不妨设行x2 2是好点，是好点，x1 1是差是差点，于是舍去（点，于是舍去（x1 1,b.再在存优范围再在存优范围a,x1 1内安排第三次试验，设试点为内安排第

10、三次试验，设试点为x3 3,x3 3与与x2 2关于关于a,x1 1的中心对称（如的中心对称（如图）图）.)1 1(,.,)(,.,(,.1 12 21 11 12 21 12 23 31 12 22 23 32 23 32 23 3a ax xx xx xa ab bx xb bx xx xx xx xb bx xx xa ax xx xx xx xx xx x-=-我们有等式我们有等式成比例舍去的原则成比例舍去的原则按按于于被舍去的区间长度都等被舍去的区间长度都等差点差点是好点还是是好点还是或点或点不论点不论点于是于是原则原则违背成比例舍去的违背成比例舍去的的长度相同的长度相同区间区间的的

11、而它的长度与上次舍去而它的长度与上次舍去舍去区间舍去区间要要是差点时是差点时是好点是好点那么当那么当的右侧的右侧在点在点因为如果点因为如果点左侧左侧应在点应在点点点)2(.,11,)1(.,1211211axaxabaxaxxxabxb-=-=-即即得得形形变变对式对式例数例数右边是第二次舍去的比右边是第二次舍去的比例数例数左边是第一次左边是第一次舍去舍去的比的比其中其中)4(1)3(,.)2(2121tabaxaxxbtabaxt-=-=-=-可得可得则由则由即即数为数为前全区间的比例前全区间的比例弃后的存优范围占舍弃弃后的存优范围占舍弃设每次舍设每次舍比例数比例数范围占舍弃前全区间的范围占

12、舍弃前全区间的的存优的存优两边分别是两次舍弃后两边分别是两次舍弃后式式.01,1),5()4()3()5(,)2(2121=-+-=-=-tttttabaxabaxabax即即得得代入代入与与把把得得由式由式.618.0,618.0,215.,.,.251,251121法法割法叫做割法叫做也把黄金分也把黄金分相应地相应地取其近似值取其近似值我们往往我们往往具体应用时具体应用时是无理数是无理数由于由于金分割法金分割法确定试点的方法叫做黄确定试点的方法叫做黄利用黄金分割常数利用黄金分割常数试验方法中试验方法中表示表示用用分割常数分割常数这就是黄金这就是黄金为对本问题有意义的根为对本问题有意义的根中

13、中其其解得解得-=+-=w ww wttt 想一想想一想 把试点安排在黄金分割点来寻找最佳把试点安排在黄金分割点来寻找最佳点的方法，即黄金分割法，最常用的单因点的方法，即黄金分割法，最常用的单因素单峰目标函数的优选法之一素单峰目标函数的优选法之一.那么它的具那么它的具体操作步骤是怎样的呢？体操作步骤是怎样的呢？下面我们通过例子来说明它的下面我们通过例子来说明它的具体操作方法具体操作方法.案例：案例：炼钢时通过加入含有特定化学元素的炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料，使炼出的钢满足一定的指标要求材料，使炼出的钢满足一定的指标要求.假设假设为了炼出某种特定用途的钢，每吨需要加入为了炼出某种特定用

14、途的钢，每吨需要加入某种元素的量在某种元素的量在1000g到到2000g之间，问如何之间，问如何通过实验的方法找到它的最优加入量？通过实验的方法找到它的最优加入量？最朴素的想法就是以最朴素的想法就是以1g为间隔，从为间隔，从1001开始一直到开始一直到1999，把，把10002000g间所有间所有的可能性都做一遍试验，就一定能找到最优的可能性都做一遍试验，就一定能找到最优值值.这种方法称为均分法这种方法称为均分法.但这样要做但这样要做1000次次试验，在时间、人力和物力上都是一种浪费试验，在时间、人力和物力上都是一种浪费.用用0.618法，可以更快、更有效地找出最佳法，可以更快、更有效地找出最

15、佳点点.具体操作方法如下具体操作方法如下：用一张纸表示用一张纸表示10002000g，以，以1000为为起点标出刻度起点标出刻度.找出它的黄金分割点找出它的黄金分割点x1的对的对称点称点x2作为第作为第2试点（如图试点（如图1-8）图图1-81-8这两点的材料加入量是这两点的材料加入量是:X110000.618（20001000）1618(g),X210002000 x11382(g)如果称因素范围的两端分别为大头和小头，如果称因素范围的两端分别为大头和小头，那么上述两式可表示为那么上述两式可表示为 X1小小0.618（大小（大小);（1）X2小大小大x1 （2）对于式（对于式（2 2），相当

16、于是），相当于是“加两头，减中加两头，减中间间”.类似的在确定第类似的在确定第n n个试点个试点x x n n时，如果存时，如果存优范围内相应的好点是优范围内相应的好点是x x m m，那么有那么有 X X n n 小大小大x x m （*）比较两次试验结果，如果第比较两次试验结果，如果第2试点比第试点比第1试点好试点好，则沿则沿1 618处将纸条剪断去掉处将纸条剪断去掉1 618以上的部分，保留以上的部分，保留1 618以下的部分以下的部分.将保留将保留的纸条对折，找出第的纸条对折，找出第2试点试点x2的对称点的对称点x3作作为第为第3试点（图试点（图1-9）.按公式（按公式（*），有），有

17、 X=1000+1618-1382=1236,即第即第3 次的材料加入量是次的材料加入量是1236g.如果第如果第2次试点仍是好，则减掉次试点仍是好，则减掉1236以下的部分，在留下部分内寻找以下的部分，在留下部分内寻找 x2的对称点的对称点x4作为第作为第4试点（如图试点（如图1-10），），按照公式（按照公式（*）可得第）可得第4试点的试点的材料加入量为材料加入量为1472.1000100016181618xx2xx312361382图图1-91-91236123616181618xx2xx4x3x113821472图图1-101-10 如果这点比第如果这点比第2点好，则剪掉点好，则剪掉1

18、382以以下部分，在留下的部分内按同样的方法继下部分，在留下的部分内按同样的方法继续下去，就能迅速逼近该元素的最佳加入续下去，就能迅速逼近该元素的最佳加入量量.对于一般的因素范围对于一般的因素范围a,b,用用0.618法法确定试点的操作过程与上述过程完全一致确定试点的操作过程与上述过程完全一致.从上述过程可看到，用从上述过程可看到，用0.618法寻找最法寻找最佳点时，虽然不能保证在有限次内准确找佳点时，虽然不能保证在有限次内准确找出最佳点出最佳点.但随着试验次数的增加，最佳点但随着试验次数的增加，最佳点被限定在越来越小的范围内，即存优被限定在越来越小的范围内，即存优范围会越来越小范围会越来越小

19、.我们用存优范围与原我们用存优范围与原始范围的比值来衡量一种试验方法的始范围的比值来衡量一种试验方法的效率，这个比值叫做精度，即效率，这个比值叫做精度，即n次试次试验后的精度为验后的精度为nn=次试验后的存优范围原始的因素范围显然，在相同试验次数下，精度越高，显然，在相同试验次数下，精度越高，方法越好方法越好.用用0.618法确定试点时，从第法确定试点时，从第2次试验次试验开始，每一次试验都把存优范围缩小为原开始，每一次试验都把存优范围缩小为原来的来的0.618.因此，因此，n次试验后的精度为：次试验后的精度为：n 1n0.618-=如果这两次试验结果一样，则应具如果这两次试验结果一样，则应具

20、体分析，看最佳点可能在那一边，再决定体分析，看最佳点可能在那一边，再决定取舍取舍.在一般情况下，可以同时划过去因在一般情况下，可以同时划过去因素范围素范围1000，1382和和1618，2000，仅仅保留中间因素范围保留中间因素范围1382，1618.那么这样那么这样做会不会划去最佳点呢？做会不会划去最佳点呢？如果目标是单峰函数，那么就不会划去如果目标是单峰函数，那么就不会划去最佳点最佳点.具体推理过程可以参考如下：具体推理过程可以参考如下：若若f(x)是是a,b上的单峰函数，上的单峰函数，x=c是最佳是最佳点点，且且f(x1)=f(x2),则根据则根据f(x)在在a,c和和c,b上上单调，可

21、知单调，可知x1,x2不会同在不会同在a,c或或c,b上，因上，因此此x1,x2分别在分别在c的两侧，即的两侧，即c在保留的中间范在保留的中间范围围x1,x2上上.探究探究 用用0.618法寻找最佳点时法寻找最佳点时，达达到精度到精度0.05的要求需要多少次试验？的要求需要多少次试验？精度精度0.01呢？精度呢？精度呢？呢？分析分析设达到精度设达到精度0.05的要求的要求n次试验，次试验，那么那么 0.618n-10.05,即即lg0.05n+17.22lg0.618于是，只要安排于是，只要安排8次试验，就能次试验，就能保证精度达到保证精度达到0.05.同理可得，安排同理可得，安排11次试验，

22、就能保证精度达到次试验，就能保证精度达到0.01.一般地一般地给给定精度定精度，为了达到，为了达到这个精度，所要做的试验次数这个精度，所要做的试验次数n满满足：足：0.618n-11,即即(n-1)lg0.618lg0.所以所以lgn1lg 0.618+黄金分割法适用目标函数为单峰的黄金分割法适用目标函数为单峰的情形，第情形，第1个试点确定在因数范围的个试点确定在因数范围的0.618处，后续试点可以用处，后续试点可以用“加两头，减加两头，减中间中间”的方法来确定的方法来确定.课堂小结课堂小结1.黄金分割常数的导出黄金分割常数的导出.2.为了合理选取试验点，需要注意两点：为了合理选取试验点，需要

23、注意两点：（1）每次要进行比较的两个试验点，）每次要进行比较的两个试验点，应关于相应试验区间的中心对称；应关于相应试验区间的中心对称；（2）每次舍去的区间占舍去前的区间）每次舍去的区间占舍去前的区间长度的比例数应为相同长度的比例数应为相同.3.用折纸的方法，可以简化计算过程，这样用折纸的方法，可以简化计算过程，这样做是使用几何操作方法来保证以下两点：做是使用几何操作方法来保证以下两点：（1）每次要进行比较的两个试验点，应）每次要进行比较的两个试验点，应关于相应试验区间的中心对称；关于相应试验区间的中心对称；（2）每次舍去的区间长占舍去前的区间）每次舍去的区间长占舍去前的区间长的比例数应相同长的

24、比例数应相同.4.试验点的选取：试验点的选取：x1=小小+0.618(大小大小)；x2=小小+大大x1.一般：一般：xn=小小+大大xm.概括为概括为“加两头，减中间加两头，减中间”.课堂练习课堂练习 若某原始的因素范围是若某原始的因素范围是100,1100，现准，现准备用黄金分割法进行试验找到最优加入量备用黄金分割法进行试验找到最优加入量.分分别以别以an表示第表示第n次试验的加入量次试验的加入量(结果都取整数结果都取整数).(1)求求a1，a2.(2)若干次试验后的存优范围包含在区间若干次试验后的存优范围包含在区间700,750内，请写出内，请写出an的前的前6项项.(3)在条件在条件(2

25、)成立的情况下，写出第成立的情况下，写出第6次试次试验后的存优范围验后的存优范围.答：答：(1)由黄金分割法知：第一次由黄金分割法知：第一次的加入量为：的加入量为：a1=100+0.618(1100100)=718.所以所以a2=100+1100718=482.(2)因为因为700,750包含存优范包含存优范围围所以最优点在区间所以最优点在区间700,750上上.解答解答由此知前两次试验结果中，好点由此知前两次试验结果中，好点是是718，所以此时存优范围取所以此时存优范围取482,1100，所以所以a3=482+1100718=864，同理可知第三次试验后，好点仍同理可知第三次试验后，好点仍是

26、是718，此时存优范围是，此时存优范围是482,864，所，所以以a4=482+864718=628.同理可求得同理可求得a5=628+864718=774；a6=628+774718684.(3)由由(2)知第知第6次试验前的存优范围是次试验前的存优范围是628,774，又又718是一个好点，第是一个好点，第6次试验点是次试验点是684，比较可知比较可知718是好点，去掉是好点，去掉684以下的范围，以下的范围，故所求存优范围是故所求存优范围是684,774.调酒师为了调制一种鸡尾酒调酒师为了调制一种鸡尾酒.每每100k烈性酒中需要加入柠檬汁的量烈性酒中需要加入柠檬汁的量1000g到到200

27、0g之间，现准备用黄金分割法找到它的之间，现准备用黄金分割法找到它的最优加入量最优加入量.(1)写出这个试验的操作流程写出这个试验的操作流程.(2)如果加入柠檬汁误差不超出如果加入柠檬汁误差不超出1g，问问需要多少次试验需要多少次试验?解答：解答：(1)试验可按以下进行试验可按以下进行：做第一次试验做第一次试验：第一次试验的加入第一次试验的加入量为量为:(20001000)0.618+1000=1618(g)，即即取取1618g柠檬汁进行第一次试验柠檬汁进行第一次试验.做第二次试验：在第一点的对称点做第二次试验：在第一点的对称点处做为第二次试验点，这一点的加入量可处做为第二次试验点，这一点的加

28、入量可用下面公式计算用下面公式计算(此后各次试验点的加入量此后各次试验点的加入量也按下面公式计算也按下面公式计算)：大：大中中+小小=第二点第二点.即第即第2点的加入量：点的加入量：20001618+1000=1382(g).比较两次试验结果，如果第二点比比较两次试验结果，如果第二点比第一点好，则去掉第一点好，则去掉1618克以上的部分；如克以上的部分；如果第一点较好，则去掉果第一点较好，则去掉1382克以下分假克以下分假定试验结果第一点较好，那去掉定试验结果第一点较好，那去掉1382克以克以下的部分，即存优范围为下的部分，即存优范围为1382，2000，在此范围找出第一点在此范围找出第一点(

29、即即1618)的对称点做的对称点做第三次试验第三次试验.其加入量用公式计算：加入其加入量用公式计算：加入量量=大大-中中+小小.即第三次试验的加入量为：即第三次试验的加入量为：2000-1618+1382=1764(g).再将第三次试验结果与第一点比较，再将第三次试验结果与第一点比较，如果仍然是第一点好些，则去掉如果仍然是第一点好些，则去掉1764克以克以上部分，如果第三点好些，则去掉上部分，如果第三点好些，则去掉1618克克以下部分以下部分.假设第三点好些，则在留下部假设第三点好些，则在留下部分分(即即1618,2000)找出第三点找出第三点(即即1764)的的对称点做第四次试验对称点做第四次试验.第四点加入量为：第四点加入量为：2000-1764+1618=1854(g).第四次试验后，再与第二点比较，第四次试验后，再与第二点比较，并取舍并取舍.在留下部分用同样方法继续试验，在留下部分用同样方法继续试验，直至找到最佳点为止直至找到最佳点为止.(2)若误差不超出若误差不超出1g，即精度，即精度(21)/1000=0.002.所以所以0.618n-1 0.002，得，得n lg0.002/lg0.618+1，即即n 18.697.故需要故需要19次试验次试验.