沪科版八年级数学上册教学课件《角的平分线》.ppt

1、第15章 轴对称图形与等腰三角形15.4 角平分线第1课时角平分线的尺规作图问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分 线吗？用量角器度量，也可用折纸的方法问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?ABC(E)D其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等.问题：如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该 仪器的功能吗？ABO尺规作角平分线一做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并

2、说明 作图方法与仪器的关系.提示：(1)已知什么？求作什么？(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢?(3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？(4)你能说明为什么OC是AOB的平分线吗？作法：1.以_为圆心，_长为半径作圆弧，与角的两边分别交于M、N两点；2.分别以 _ 为圆心，_的长为半径作弧，两条圆弧交于AOB内一点_；3.作射线_；_就是所求作AOB的平分线.点O任意M、N大于POPOPABNMP MN21想一想：为什么OP是角平分线呢？BANMP 已知：OM=ON，MP=NP.求证：OP平分AOB.

3、证明：在OMP和ONP中，OM=ON，MP=NP，OP=OP，OMP ONP,（SSS）MOP=NOP,即OP平分AOB.如何过一点P作已知直线l的垂线呢？由于两点确定一条直线，因此我们可以通过在已知直线上作线段的垂直平分线来找出垂线上的另一点，从而确定已知直线的垂线.问题引导过一点作已知直线的垂线二在直线l 上点P 的两旁分别截 取线段PA，PB，使PA=PB；(1)当点P在直线l上.分别以A，B 为圆心 以大于 AB 的长为半径画弧，两弧相交于点C；12过点C，P作直线CP，则直线CP为所求作的直线.PABCl这一步的目的是什么？(2)当点P在直线l外.以点P 为圆心，以大于点P 到直线l

4、的距离的线段长为半径 画弧，交直线l于点A，B；分别以A，B 为圆心 以大于 AB 的长为半径画 弧，两弧相交于点C；12过点C,P作直线CP，则直线CP为所 求作的直线.PABCl第一步的目的是什么？画弧的半径为什么要大于P到l的距离？例 利用直尺和圆规作一个等于45的角.作法:1.作直线AB；2.过点A作直线AB的垂线AC；3.作CAB的平分线AD.DAB就是所要求作的角.当堂练习1.如图所示的作图痕迹作的是 （）A.线段的垂直平分线B.过一点作已知直线的垂线C.一个角的平分线D.作一个角等于已知角B2.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明AOC=BOC的依据是（）A.

5、SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等ABMCOA3.请在图中作出线段AD,使其平分BAC且长度等于mCBAmCNMPABD解：角平分线的尺规作图已知：根据文字语言用数学语言写出题目中的条件课堂小结求作：根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件作法：根据作图的过程写出每一步的操作过程课后作业1、必做题：见畅言教育本课时配套基础练习2、选做题：见畅言教育本课时配套提高练习和培优练习第2课时角平分线的性质及判定情境引入 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为120000）O1.操作测

6、量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PDOA，PE OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：2.观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结：_ PD PE 第一次第一次第二次第二次 第三次第三次 COBAPD=PEpDE实验：OC是AOB的平分线，点P是射线OC上的 任意一点猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.角平分线的性质一验证猜想已知：如图，AOC=BOC,点P在OC上，PDOA,PEOB,垂足分别为D,E.求证：PD=PE.PAOBCDE证明：PDOA,PEOB，PDO=PEO=90.在PDO和PEO中，PDO=PEO，AOC=BOC，OP=OP

7、，PDO PEO(AAS).PD=PE.角的平分线上的点到角的两边的距离相等u 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.定理的作用：证明线段相等.u应用格式：OP 是AOB的平分线，PD=PE（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.知识要点PDOA,PEOB，BADOPEC判一判：（1）如下左图，AD平分BAC（已知），=，()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BD CDBADC(2)如上右图，DCAC，DBAB （已知）.=,()在角的平分线上的点

8、到这个角的两边的距离相等BD CDBADC例1：已知：如图，在ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DEAB,DFAC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.ABCDEF证明：AD是BAC的角平分线，DEAB,DFAC，DE=DF,DEB=DFC=90.在RtBDE 和 RtCDF中，DE=DF，BD=CD，RtBDE RtCDF(HL).EB=FC.典例精析例2:如图，AM是BAC的平分线，点P在AM上，PDAB，PEAC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=_cm.BACPMDE4温馨提示：存在两条垂线段直接应用ABCP变式：如 图，在RtABC中，AC=BC,C90，AP平分BA

9、C交BC于点P，若PC4,AB=14.（1）则点P到AB的距离为_.D4温馨提示：存在一条垂线段构造应用ABCP变式：如图，在Rt ABC中，AC=BC,C900，AP平分BAC交BC于点P，若PC4，AB=14.（2）求APB的面积.D14PD BCPDPBD BPCPBD BBCD BADD BAB（3）求PDB的周长.ABPD=28.12PD BS由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4，=1.应用角平分线性质：存在角平分线涉及距离问题2.联系角平分线性质：面积周长条件知识与方法利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解角平分线的判定二PAOBCDE角的内部到角的两边距离相等的点在角

10、的平分线上思考：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.思考：这个结论正确吗？逆命题已知：如图，PDOA，PEOB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在AOB的角平分线上.证明：作射线OP，点P在AOB 角的平分线上.在RtPDO和RtPEO 中，（全等三角形的对应角相等）.OP=OP（公共边），PD=PE（已知），BADOPEPDOA,PEOB.PDO=PEO=90，RtPDORtPEO（HL）.AOP=BOP证明猜想u 判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.PAOBCDE应用所具

11、备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.定理的作用：判断点是否在角平分线上.u应用格式：PDOA,PEOB，PD=PE.点P 在AOB的平分线上.知识总结例3:如图，已知CBD和BCE的平分线相交于点F，求证：点F在DAE的平分线上 证明：过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于M.点F在BCE的平分线上，FGAE，FMBC.FGFM.又点F在CBD的平分线上，FHAD，FMBC，FMFH，FGFH.点F在DAE的平分线上.GHMABCFED例4 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，

12、希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)ONMABONMABP方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上.解：如图所示：活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？三角形的内角平分线三发现：三角形的三条角平分线相交于一点活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？发现：过交点作三角形三边的垂线段相等你能证明这个结论吗？已知：如图，ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，

13、CA的距离相等.证明结论证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.BM是ABC的角平分线，点P在BM上，PD=PE.同理PE=PF.PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.D E F A B C P N M 想一想：点P在A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？点P在A的平分线上.结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.D E F A B C P N M MENABCPOD变式：如图，在直角ABC中，AC=BC,C90，AP平分BAC，BD平分ABC;AP,BD交于点O，过点O作OMAC,若OM4,(1

14、)求点O到ABC三边的距离和.温馨提示：不存在垂线段构造应用12解：连接OC1112221()21432642ABCAO CBO CAO BSSSSABO EBCO NABO MO MABBCO MMENABCPOD(2)若ABC的周长为32，求ABC的面积.1.应用角平分线性质：存在角平分线涉及距离问题chs212.联系角平分线性质：距离面积周长条件知识与方法例5 如图，在ABC中，点O是ABC内一点，且点O到ABC三边的距离相等若A40，则BOC的度数为()A110 B120 C130 D140A解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，所以O是内心，即三条角平分线的交点，AO，BO，CO都

15、是角平分线，所以有CBOABO ABC，BCOACO ACB，ABCACB18040140，OBCOCB70，BOC18070110.1212归纳总结图形已知条件结论PCPCOP平分AOBPDOA于DPEOB于EPD=PEOP平分AOBPD=PEPDOA于DPEOB于E角的平分线的判定角的平分线的性质当堂练习2.ABC中,C=90,AD平分CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 .ABCD3E1.如图，DEAB，DFBG，垂足分别是E，F，DE=DF，EDB=60，则 EBF=度，BE=.60BFEBDFACGEDCBA68103.在RtABC中，BD平分ABC，DEAB于E，则：

16、(1)哪条线段与DE相等？为什么？(2)若AB10，BC8，AC6，求BE，AE的长和AED的周长.解：(1)DC=DE.理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等.（2）在RtCDB和RtEDB中，DC=DE，DB=DB，RtCDBRtEDB(HL)，BEBC=8.AEAB-BE=2.AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8.4.如图，已知ADBC，P是BAD与 ABC的平分线的交点，PEAB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.解：过点P作MNAD于点M，交BC于点N.ADBC，MNBC，MN的长即为AD与BC之间的距离.AP平分BAD,PMAD,PEAB，PM=PE.同理，PN=P

17、E.PM=PN=PE=3.MN=6.即AD与BC之间的距离为6.5.如图所示，D是ACG的平分线上的一点DEAC，DFCG，垂足分别为E，F.求证：CECF.证明：CD是ACG的平分线，DEAC，DFCG，DEDF.在RtCDE和RtCDF中，RtCDERtCDF(HL)，CECF.C DC D,D ED F,6.如图所示，已知ABC中，PEAB交BC于点E，PFAC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分BAC，并说明理由解：AD平分BAC理由如下：D到PE的距离与到PF的距离相等，点D在EPF的平分线上12又PEAB，13同理，2434，AD平

18、分BACABCEFD(3412P 7.已知：如图，OD平分POQ，在OP、OQ边上取OAOB，点C在OD上，CMAD于M，CNBD于N.求证：CMCN.证明：OD平分线POQ，AOD=BOD.在AOD与BOD中，OA=OB，AOD=BOD，OD=OD，AODBOD.ADO=BDO.CMAD，CNBD，CM=CN.拓展思维8.如图,直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,可选择的地址有几处?画出它的位置.l1l3l2P1P2P3P4l1l2l3课堂小结角平分线的性质及判定性 质定 理一个点：角平分线上的点；二距离：点到角两边的距离；两相等：两条垂线段相等判 定定 理角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上重 要结 论三角形的角平分线相交于内部一点课后作业1、必做题：见畅言教育本课时配套基础练习2、选做题：见畅言教育本课时配套提高练习和培优练习