数学归纳法及其应用课件.ppt

1、（一）（一）一、实验问题1、假设从教室到操场立摆着许多砖块，我们当然可以一块块把他们全部推倒，现在只允许推倒一块，你能保证外面的砖块都倒下吗？如果有办法，砖块应怎样摆？应先推倒哪一块？2、砖块全部倒下满足的条件：（1）第一块倒下；（2）若前一块倒下，则后一块也必倒下。3、满足条件1，不满足条件2，结果怎样？只满足条件2呢？一、实验问题n现在假定每一个同学，甚至世界上的每一个人都来摆砖，从教室摆到操场，从学校摆到街道，从中国摆到外国-所有这些砖块都按照“前砖碰倒后砖”的规格，没完没了地摆下去，那么你一个人还能不能一块又一块地去推倒所有的砖呐？多米诺骨牌演示请思考：满足什么样的条件才能便骨牌全部倒

2、下?并请你试 着用简单的数学语言（数学符号）表示。同时满足两个条件：1、第一张骨牌倒下；2、假设第K张骨牌倒下，保证第K+1张骨牌一定倒下。二、概念二、概念 从上面的“思维实验”中我们可以得出处理与正整数有关问题的一个方法：(1)处理第一号问题；（相当于推倒第一块砖）(2)验证前一号问题与后一号问题有传递关系；（相当于前砖碰倒后砖）例例1 1在等差数列在等差数列 中，已知首项为中，已知首项为 ，公差为，公差为 ，na1ad,2,1,0131211daadaadaa?,314 nadaadnaan)1(1 像这种由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方像这种由一系列有限的特殊事例得出一般结论的

3、推理方法通常叫做归纳法法通常叫做归纳法,用归纳法可以帮助我们从具体事例中用归纳法可以帮助我们从具体事例中发现一般规律发现一般规律,但是但是,仅根据一系列的特殊事例所得出的一仅根据一系列的特殊事例所得出的一般性结论有时是不正确的般性结论有时是不正确的.阅读材料阅读材料 费尔马是费尔马是17世纪法国著名的数学家，是解析世纪法国著名的数学家，是解析几何的发明人之一，是为微积分创立作出贡献最几何的发明人之一，是为微积分创立作出贡献最多的人，又是概率论创始者之一，对数论有很多多的人，又是概率论创始者之一，对数论有很多的贡献。的贡献。费尔马认为费尔马认为 一定都是质数，并验证当一定都是质数，并验证当n=0

4、，1，2，3，4时都是质数时都是质数 18世纪瑞士伟大的数学家欧拉确认证明世纪瑞士伟大的数学家欧拉确认证明=4294967297=6700417641从而否定了费尔马的从而否定了费尔马的猜想猜想122n1252阅读材料阅读材料f(n)=n2+n+41 ，当，当nN时，时，f(n)是否都是质数？是否都是质数？f(0)=41，f(1)=43，f(2)=47，f(3)=53，f(4)=61 f(5)=71 f(39)=1601 但是但是 f(40)=1681=412 是合数。是合数。dnaan)1(1 如果如果 是等差数列，已知首项为是等差数列，已知首项为 ，公差为，公差为 ，那么，那么na1ad对

5、一切对一切 都成立都成立 Nn第一步第一步(正确的基础正确的基础):当当n=1时，时，,1a 左边左边,011ada 右边右边等式是成立的等式是成立的假设当假设当n=k（k1)时等式成立，就是时等式成立，就是,)1(1dkaak 那么那么daakk 1dkadka1)1()1(11 第二步第二步(传递性的依据传递性的依据):n第三步（传递归纳）：把第一步得出的“n=1时等式成立”代入第二步，可推出“n=2时等式成立”依此类推，每一次都把已证实的前一号命题做基础，反复代入第二步。n第四步（传递的结论）：由第三步无穷传递下去，可得等式对一切正整数n都成立。从上面的例子可以看出：第三步是对第一、二步

6、的反复应从上面的例子可以看出：第三步是对第一、二步的反复应用，并且在形式上千篇一律，抓住方法的本质步骤，可以用，并且在形式上千篇一律，抓住方法的本质步骤，可以删去第三步，将其归纳为删去第三步，将其归纳为“验证两个条件，直接得出结验证两个条件，直接得出结论论”。步骤：步骤：验证验证n=nn=n0 0时命题成立。（时命题成立。（n n0 0为为n n取的第一个值）取的第一个值）假设假设n=k(kNn=k(kN*,kn,kn0 0)时命题成立时命题成立,证明证明n=k+1n=k+1 时命题也成立。时命题也成立。根据根据得出结论。得出结论。2.1 数学归纳法及其应用举例数学归纳法及其应用举例数学归纳法

7、证明一个与正整数有关的命题的步骤是：数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤是：这个方法我们就把它叫做数学归纳法。这个方法我们就把它叫做数学归纳法。例2、用数学归纳法证明 1+3+5+(2n-1)=n2.证明（1）当n=1 时，左边=1，右边=1，等式成立；（2）假设当n=k 时等式成立，就是 1+3+5+(2k-1)=k2.那么 1+3+5+(2k-1)+2(k+1)1 =1+3+5+(2k-1)+(2k+1)=k2+2k+1 =(k+1)2 这就是说：当 n=k+1 时，等式也成立（这句话不能省略）。根据和可知，等式对于任何正整数 n 都成立。1、二个步骤缺一不可、二个步骤缺一不可:第一

8、步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为 归纳基础归纳基础；第二步是；第二步是归纳步骤归纳步骤，是推理的依据，是判断命题的正确性能，是推理的依据，是判断命题的正确性能 否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中“假设假设n=k时成立时成立”称为称为归纳假设归纳假设(注意是注意是“假设假设”，而不是确认命题成立，而不是确认命题成立)。如果没有第一。如果没有第一 步，第二步就没有了意义；如果没有第二步，结论就没有可靠性；步，第二步就没有了意义；如果没有第二步，结论就没有可靠性；最后是总体结论，也不可少。最

9、后是总体结论，也不可少。2、在第二步的证明中、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设必须用到前面的归纳假设，否则就不是数学归纳法了。，否则就不是数学归纳法了。3、数学归纳法只适用于、数学归纳法只适用于和正整数有关和正整数有关的命题。的命题。由以上可知，用数学归纳法需注意：由以上可知，用数学归纳法需注意：练习：练习：2)1(nn 1、1+2+3+n=（nN ）2、首项为、首项为a1，公比为，公比为q的等比数列的通项公式为：的等比数列的通项公式为：an=a1qn-1（nN ）这节课我们学习了一个新的数学方法这节课我们学习了一个新的数学方法数学归纳法。它是解决与正整数有关命题数学归纳法。它是解决与正整数有关命题的有力工具，应用十分广泛，后面还要介绍的有力工具，应用十分广泛，后面还要介绍其用法。本节课首先掌握其用法。本节课首先掌握 了解数学归纳法无穷递推的本质，掌握了解数学归纳法无穷递推的本质，掌握数学归纳法；数学归纳法；能使用数学归纳法证明较简单的恒等式，能使用数学归纳法证明较简单的恒等式，初步理解第二步的作用与常规格式，规范书初步理解第二步的作用与常规格式，规范书写。写。小结小结(一）：一）：完