人教八年级数学上册乘法公式.ppt

1、人教八年级数学上册乘法公式 平方差公式平方差公式文字叙述文字叙述字母表示字母表示公式推导依据公式推导依据平方差平方差公式公式两个数的和与这两个数的和与这两个数的差的积，两个数的差的积，等于这两个数的等于这两个数的平方差平方差(a+b)(a-b)=a2-b2多项式乘多项多项式乘多项式式知识知识解读解读平方差公平方差公式名称的式名称的由来由来两个二项式的积为两个二项式的积为“a2-b2”,即平方的即平方的差平方差差平方差平方差公平方差公式的特征式的特征等号的左边：两个二项式相乘，这两等号的左边：两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，而另一个二项式中有一项完全相同，而另一项互为相反数项互为相

2、反数相同项的平方减去相反数的项的平方相同项的平方减去相反数的项的平方注意：（1）公式中的字母可以是单项式或多项式；）公式中的字母可以是单项式或多项式；（2）平方差公式中的左右两边是两个数的关）平方差公式中的左右两边是两个数的关系，也就是说不存在第三个数系，也就是说不存在第三个数.平方差公式的几何意义 图图(1)是从一个边长为是从一个边长为 a 的大正方形中剪去一个边长为的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，的小正方形，S阴影阴影=a2-b2;图图(2)是在图是在图(1)基础上将阴影部分基础上将阴影部分切割，拼成一个长（切割，拼成一个长（a+b）,宽为（宽为（a-b）的大阴影长方形，）的大阴影

3、长方形，S阴影阴影=(a+b)(a-b).由图由图(1)(2)阴影部分的面积相等，得阴影部分的面积相等，得(a+b)(a-b)=a2-b2.(1)(2)例例1 计算下列各题：计算下列各题：（1）(5a+3b)(5a-3b);（2）;（3）(a2b-2a)(-2a-a2b);（4）(200-1)(200+1);（5）.22112222xx 31203220 解解：(1)(5a+3b)(5a-3b)=(5a)2-(3b)2=25a2-9b2.(2).(3)(a2b-2a)(-2a-a2b)=(-2a)2-(a2b)2=4a2-a4b2.(4)(200-1)(200+1)=2002-1=40 000

4、-1=39 999.(5).222222111122=242224xxxx 22111139682021212121333399 利用平方差公式计算，关键是找到相同数的利用平方差公式计算，关键是找到相同数的“a”和相反数的和相反数的“b”，与，与a和和b所处的位置无关所处的位置无关.完全平方公式完全平方公式文字叙述文字叙述字母表示字母表示公式推导公式推导完全完全平方平方公式公式两个数的和（或差）两个数的和（或差）的平方，等于它们的的平方，等于它们的平方和，加上（或减平方和，加上（或减去）它们的积的去）它们的积的2倍倍(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2多项式乘多项式

5、乘多项式多项式知识知识解读解读完全平完全平方公式方公式名称的名称的由来由来(a+b)2=a2+2ab+b2和和(a-b)2=a2-2ab+b2都叫做完全都叫做完全平方公式平方公式.为了区别，我们把前者叫作两数和为了区别，我们把前者叫作两数和的完全平方公式，后者叫作两数差的完全平方的完全平方公式，后者叫作两数差的完全平方公式公式完全平完全平方公式方公式的特征的特征（1）左边是两数和的平方或两数差的平方；右）左边是两数和的平方或两数差的平方；右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的加上或减去这两项乘积的2倍倍.（2）两数符号相同时，乘

6、积项用）两数符号相同时，乘积项用“+”连接；连接；两数符号相反时，乘积项用两数符号相反时，乘积项用“-”连接连接巧记乐背巧记乐背：首平方，尾平方，首平方，尾平方，两数之积在中央；两数之积在中央；两数同号积为正，两数同号积为正，两数异号负当家两数异号负当家.完全平方公式中的等量关系：完全平方公式中的等量关系：(a+b)2=a2+b2+2ab,(a-b)2=a2+b2-2ab,(a+b)2-(a-b)2=4ab,(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2).完全平方公式的几何意义：图完全平方公式的几何意义：图(1)中，由四部分面积和中，由四部分面积和等于大正方形的面积，得等于大正方形的面积，得(a

7、+b)2=a2+2ab+b2;图图(2)中，中，由阴影部分面积等于大正方形的面积减去其他部分的由阴影部分面积等于大正方形的面积减去其他部分的面积，得面积，得(a-b)2=a2-2ab+b2.例例2 计算下列各题：计算下列各题：（1）(-2a+1)2;（2）;21-22ab解解：（1）(-2a+1)2=(1-2a)2=12-212a+(2a)2 =1-4a+4a2.（2）22222211222211222221244ababababa bab（3）(x-2)(x2-4)(x+2);（4）1982.解解：（3）(x-2)(x2-4)(x+2)=(x+2)(x-2)(x2-4)=(x2-4)(x2-

8、4)=(x2-4)2 =(x2)2-2x24+42 =x4-8x2+16.（4）1982=(200-2)2=2002-22002+22 =40 000-800+4=39 204.添括号的法则添括号的法则文字叙述文字叙述字母表示字母表示添括添括号号法则法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号负号，括到括号里的各项都改变符号a+b+c=a+(b+c)a-b-c=a-(b+c)知识知识解读解读（1）添括号法则是去括号法则的逆用；）添括号法则是去括号法则的逆用；（

9、2）添括号，只是改变了原式的形式，不会改变原式值的）添括号，只是改变了原式的形式，不会改变原式值的大小；大小；（3）添括号的目的是通过改变原式的形式，便于对公式的）添括号的目的是通过改变原式的形式，便于对公式的运用运用例例3 计算：计算：（1）(x-2y+3z)(x+2y-3z);（2）(a+b-c)2.解解:（1）(x-2y+3z)(x+2y-3z)=x-(2y-3z)x+(2y-3z)=x2-(2y-3z)2 =x2-(4y2-12yz+9z2)=x2-4y2+12yz-9z2.（2）(a+b-c)2=a+(b-c)2 =a2+2a(b-c)+(b-c)2 =a2+2ab-2ac+b2-2

10、bc+c2.运用完全平方公式时出错运用完全平方公式时出错例例4 计算下列各题：计算下列各题：（1）(2x+y)2;（2）(-1+xy)(1-xy);（3）.解解:（1）(2x+y)2=4x2+4xy+y2.（2）(-1+xy)(1-xy)=-(1-xy)(1-xy)=-(1-xy)2 =-(1-2xy+x2y2)=-1+2xy-x2y2.（3）2 22 21 1 ba 2 22222111222 2222142.4abbbaababa （1）运用完全平方公式时，易遗漏两数积的）运用完全平方公式时，易遗漏两数积的2倍；倍；（2）对）对(a+b)(a-b)=a2-b2与与(ab)2=a22ab+b

11、2混淆不混淆不清，导致运算错误；清，导致运算错误；（3）对完全平方公式理解不到位，混用两数和与两）对完全平方公式理解不到位，混用两数和与两数差的完全平方公式；数差的完全平方公式；（4）添加括号错误，导致运用乘法公式时出现错误）添加括号错误，导致运用乘法公式时出现错误.添括号时，出现错误添括号时，出现错误例例5 计算：计算：(1+x+y)(x-y+1).解解:(1+x+y)(x-y+1)=(x+1)+y(x+1)-y =(x+1)2-y2=x2+2x+1-y2.添加括号运用乘法公式时，要找出两个因式中符号相添加括号运用乘法公式时，要找出两个因式中符号相同的项与符号相反的项常常出现类似同的项与符号

12、相反的项常常出现类似-y+1=-(y+1)这样的这样的错误，导致出现错误的结果错误，导致出现错误的结果.题型一题型一 运用乘法公式进行计算运用乘法公式进行计算例例6 计算下列各题：计算下列各题：（1）4(a-b)2-(2a+b)(-b+2a);（2）(3x-y)2-2(2x+y)(3x-y)+(2x+y)2.分析：分析：（1）先利用完全平方公式以及平方差公式，将原）先利用完全平方公式以及平方差公式，将原式展开，再合并同类项；（式展开，再合并同类项；（2）先把（）先把（3x-y）和（）和（2x+y）当）当作整体，逆用完全平方公式，再整理，最后利用完全平方作整体，逆用完全平方公式，再整理，最后利用

13、完全平方公式展开公式展开.解解:（1）原式）原式=4(a2-2ab+b2)-(2a)2-b2 =(4a2-8ab+4b2)-(4a2-b2)=5b2-8ab.（2）原式）原式=(3x-y)-(2x+y)2=(x-2y)2=x2-4xy+4y2.方法点拨：方法点拨：在计算前应先仔细观察式子的特点，如果出现平方在计算前应先仔细观察式子的特点，如果出现平方差公式的形式或完全平方公式的形式，那么就可以利用差公式的形式或完全平方公式的形式，那么就可以利用公式进行计算，特别注意的是一定要将结果化成最简形公式进行计算，特别注意的是一定要将结果化成最简形式式.题型二题型二 运用乘法公式进行简便计算运用乘法公式

14、进行简便计算例例7 利用简便方法计算：利用简便方法计算：（1）2 0172 015-2 0162;（2）.思路导图：思路导图：利用平方差公式求解利用平方差公式求解 1584221211211211211 先将式子进行变形，再先将式子进行变形，再利用平方差公式计算利用平方差公式计算解解:（1）原式）原式=(2 016+1)(2 016-1)-2 0162 =2 0162-1-2 0162=-1.（2）原式）原式=248152481522481541111112111112222221111112111112222221111121111222221212 48158815161515151111

15、1222111211222112122112222 方法点拨：方法点拨：在计算时，通过对整式整体或部分进行变形，构建平在计算时，通过对整式整体或部分进行变形，构建平方差或完全平方公式模型，可以减少计算量，减小出现错方差或完全平方公式模型，可以减少计算量，减小出现错误的机率误的机率.对于几个类似式子连续乘积的形式，一般考虑对于几个类似式子连续乘积的形式，一般考虑构造平方差公式进行计算；对于两个数和或差的平方的形构造平方差公式进行计算；对于两个数和或差的平方的形式，一般考虑用完全平方公式进行计算式，一般考虑用完全平方公式进行计算.题型三题型三 运用乘法公式变形求值运用乘法公式变形求值例例8（1）已

16、知已知a+b=3,a-b=-1,则则a2-b2的值为的值为 ;（2）已知已知a2+b2=12，(a+b)2=6,则则ab的值为的值为 .解析解析:（1）逆用平方差公式）逆用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)进进行求值行求值.a2-b2=(a+b)(a-b)=3(-1)=-3.（2）用完全平方公式的变形）用完全平方公式的变形2ab=(a+b)2-(a2+b2)求值求值.(a+b)2=(a2+b2)+2ab=12=6+2ab,ab=(6-12)2=-3.-3-3方法点拨：方法点拨：利用整体思想，将利用整体思想，将a+b,a-b,a2-b2或者或者(a+b)2,(a-b)2,a2+b2,ab

17、分别看成几个相关的量，分别看成几个相关的量，列出等式求解列出等式求解.题型四题型四 乘法公式与图形面积乘法公式与图形面积例例9 图图14-2-1（1）是一个长为是一个长为2m，宽为，宽为2n的长方形，的长方形，沿图中的虚线将其剪成四个全等的小长方形，再按图沿图中的虚线将其剪成四个全等的小长方形，再按图14-2-1（2）围成一个较大的正方形围成一个较大的正方形.图图14-2-1（1）请用两种方法表示图请用两种方法表示图14-2-1（2）中阴影部分的中阴影部分的面积（只需表示，不必化简）面积（只需表示，不必化简）.（2）比较比较（1）的两种结果，你能得到怎样的等量关的两种结果，你能得到怎样的等量关

18、系？系？（3）请你用请你用（2）中得到的等量关系解决下面的问题：中得到的等量关系解决下面的问题：如果如果m-n=4,mn=12，求，求m+n的值的值.思路导图：思路导图：利用四个全等的小利用四个全等的小长方形面积不变的长方形面积不变的关系，列式求解关系，列式求解（1）由图（）由图（2）中大正方形面）中大正方形面积减去四个相等的长方形面积积减去四个相等的长方形面积或直接表示出阴影部分小正方或直接表示出阴影部分小正方形的面积；形的面积；（2）由表示图（）由表示图（2）中的阴影）中的阴影面积的两种方法得出结论；面积的两种方法得出结论；（3）把已知代入（）把已知代入（2）的结论）的结论中，求出中，求出

19、m+n的值的值.解解:（1）（方法一）（方法一）大正方形的面积为大正方形的面积为(m+n)2，四，四个小长方形的面积为个小长方形的面积为4mn,中间阴影部分的面积中间阴影部分的面积S=(m+n)2-4mn.（方法二）由图（方法二）由图14-2-1（2）可知阴影部分小正方形的）可知阴影部分小正方形的边长为边长为m-n,则则S=(m-n)2.（2）由表示图（）由表示图（2）中的阴影部分面积的两种方法）中的阴影部分面积的两种方法,得得(m+n)2-4mn=(m-n)2.方法点拨：方法点拨：在图形的拼接中，利用边长的关系和等面积进在图形的拼接中，利用边长的关系和等面积进行转化，建立等式，是常用的求解图

20、形问题的方法行转化，建立等式，是常用的求解图形问题的方法.解解:（3）由（）由（2）得）得(m+n)2-412=42,即即(m+n)2=64,m+n=8.又又m,n都是正数，都是正数，m+n=8.题型五题型五 运用乘法公式进行化简、求值运用乘法公式进行化简、求值例例10 先化简，再求值：先化简，再求值：(a+b)(a-b)+(a+b)2,其中其中a=-1,b=.解解:原式原式=a2-b2+a2+2ab+b2=2a2+2ab.当当a=-1,b=时时,原式原式=2(-1)2+2(-1)=2-1=1.211212方法点拨方法点拨：对于此类题，直接将对于此类题，直接将a,b的值代入代数式求值会的值代入

21、代数式求值会很麻烦，且计算量较大，一般是先利用乘法公式化很麻烦，且计算量较大，一般是先利用乘法公式化简，去括号、合并同类项，再将简，去括号、合并同类项，再将a,b的值代入计算的值代入计算.题型六题型六 运用乘法公式探究规律运用乘法公式探究规律例例11 观察下列关于自然数的等式：观察下列关于自然数的等式：32-412=5;52-422=9;72-432=13;根据上述规律解决下列问题：根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：）完成第四个等式：92-4 2=.（2）写出你猜想的第）写出你猜想的第 n 个等式（用含个等式（用含n的式子表示），并的式子表示），并验证其正确性验证其正确性.174

22、解解:（2）第）第 n 个等式为个等式为(2n+1)2-4n2=4n+1.验证：验证：左边左边=4n2+4n+1-4n2=4n+1,右边右边=4n+1,左边左边=右边右边,(2n+1)2-4n2=4n+1.方法点拨：方法点拨：找规律时，先分析已知中式子的特征，再探求找规律时，先分析已知中式子的特征，再探求其规律比较归纳式子中不变的是什么，变化的是其规律比较归纳式子中不变的是什么，变化的是什么，变化的是按怎样的规律变化的，从序列数什么，变化的是按怎样的规律变化的，从序列数n=1找起，通常要用字母来表示数或式，从中探求找起，通常要用字母来表示数或式，从中探求出变化规律出变化规律.解读中考解读中考：

23、乘法公式是中考命题中比较重要的考点乘法公式是中考命题中比较重要的考点之一，要求熟练掌握乘法公式的结构特征，灵活运之一，要求熟练掌握乘法公式的结构特征，灵活运用乘法公式计算用乘法公式计算.在中考中一般以填空题、选择题在中考中一般以填空题、选择题和简单计算题的形式出现，也常与整式运算及以后和简单计算题的形式出现，也常与整式运算及以后学习的分式运算、因式分解等知识综合命题学习的分式运算、因式分解等知识综合命题.考点一考点一 运用乘法公式计算运用乘法公式计算例例12 (湖南怀化中考湖南怀化中考)下列计算正确的是下列计算正确的是()A.(x+y)2=x2+y2 B.(x-y)2=x2-2xy-y2 C.

24、(x+1)(x-1)=x2-1 D.(x-1)2=x2-1 解析：解析：A.(x+y)2=x2+y2+2xy，此选项错误，此选项错误;B.(x-y)2=x2-2xy+y2,此选项错误此选项错误;C.(x+1)(x-1)=x2-1，此选项正确；，此选项正确；D.(x-1)2=x2-2x+1,此选项错误此选项错误.故选故选C.C例例13 (湖北武汉中考湖北武汉中考)运用乘法公式计算运用乘法公式计算(x+3)2的结果是的结果是（）A.x2+9 B.x2-6x+9 C.x2+6x+9 D.x2+3x+9解析：解析：运用完全平方公式，得运用完全平方公式，得(x+3)2=x2+23x+32=x2+6x+9

25、.故选故选C.C例例14 (四川南充中考四川南充中考)如果如果x2+mx+1=(x+n)2,且且m0,那那么么n的值是的值是 .解析：解析：x2+mx+1=(x+n)2,x2+mx+1=x2+2nx+n2,解得解得 或或 又又m0,m=2,n=1.1221mn,n,21m,n 21m,n.考点二考点二 运用乘法公式化简求值运用乘法公式化简求值例例15 (湖南湘西中考湖南湘西中考)先化简，再求值先化简，再求值：(a+b)(a-b)-b(a-b),其中其中a=-2,b=1.解：解：原式原式=a2-b2-ab+b2=a2-ab.当当a=-2，b=1时，时，原式原式=4+2=6.例例16 (浙江湖州中

26、考浙江湖州中考)当当a=3,b=-1时，求下列代数式的时，求下列代数式的值值.(1)(a+b)(a-b);(2)a2+2ab+b2.解：解：（1）当）当a=3,b=-1时，原式时，原式=a2-b2=9-1=8.(2)当当a=3,b=-1时，原式时，原式=(a+b)2=22=4.例例17 (山东菏泽中考山东菏泽中考)已知已知4x=3y，求代数式，求代数式(x-2y)2-(x-y)(x+y)-2y2的值的值.解：解：(x-2y)2-(x-y)(x+y)-2y2=x2-4xy+4y2-(x2-y2)-2y2 =-4xy+3y2=-y(4x-3y).4x=3y,4x-3y=0.原式原式=0.考点三考点

27、三 运用乘法公式探求图形或式子的规律运用乘法公式探求图形或式子的规律例例18 (山东临沂中考山东临沂中考)如图如图14-2-2，用大小相同的小正，用大小相同的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方个图形中小正方形的个数是形的个数是(C C)A.2n+1 B.n2-1 C.n2+2n D.5n-2图图14-2-2解析：解析：第第1个图形中，小正方形的个数是个图形中，小正方形的个数是22-1=3；第；第2个个图形中，小正方形的个数是图形中，小正方形的个数是32-1=8；第；第3个图形中，小个图形中，小正方形的个数是正方形的个数是42-1=15；第第n个

28、图形中，小正方形个图形中，小正方形的个数是的个数是(n+1)2-1=n2+2n+1-1=n2+2n.故选故选C.例例19 (四川广安中考四川广安中考)我国南宋数学家杨辉用三角形解释二我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为项和的乘方规律，称之为“杨辉三角杨辉三角”.这个三角形给出了这个三角形给出了(a+b)n(n=1，2，3，4，)的展开式的系数规律的展开式的系数规律(按按a的次数的次数由大到小的顺序由大到小的顺序)：1 1 (a+b)1=a+b 1 2 1 (a+b)2=a2+2ab+b2 1 3 3 1 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b31 4 6 4 1 (a+b

29、)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4请依据上述规律，写出请依据上述规律，写出 的展开式中含的展开式中含x2 014项的系数项的系数是是 -4032 .016016 2 2 xx-2解析：解析：根据杨辉三角，知根据杨辉三角，知 的展开式中第二项的展开式中第二项为为-2 016x2 015 =-4 032x2 014,的展开式中的展开式中含含x2 014项的系数是项的系数是-4 032.20162xx 20162xx 2x例例20 (广西百色中考广西百色中考)观察下列各式的规律：观察下列各式的规律：(a-b)(a+b)=a2-b2；(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3；(a-b)

30、(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4；可得到可得到(a-b)(a2 016+a2 015b+ab2 015+b2 016)=a2 017-b2 017.解析：解析：由由(a-b)(a+b)=a2-b2；(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3；(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4；可得可得(a-b)(a2 016+a2 015b+ab2 015+b2 016)=a2 017-b2 017.核心素养核心素养例例21 一个大正方形和四个全等的小正方形按图一个大正方形和四个全等的小正方形按图14-2-3的两种方式摆放，则图的两种方式摆放，则图14-2-3（2）的大正方形中未被）的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是小正方形覆盖部分的面积是 ab (用含用含a,b的代数的代数式表示式表示).图图14-2-3解析：解析：设大正方形的边长为设大正方形的边长为x1，小正方形的边长为，小正方形的边长为x2.由图（由图（1）和（）和（2）列出方程组，得）列出方程组，得 解得解得 则图则图14-2-3(2)中大正方形未被小正方中大正方形未被小正方形覆盖部分的面积形覆盖部分的面积 S121222xxa,xxb,1224abx,abx,2222122222222244241144141224144ababxxababababaabbaabbabab